思维拓展奥数 第三十一讲抽屉原理与染色证明（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

构造抽屉 按余数、配对或位置分类 染色方法 观察每次覆盖的颜色 抽屉与染色 最不利情况 先安排每类的最大数量 证明与反例 证明保证并寻找极限例子 第31讲 抽屉原理与染色证明 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 从到中任取个不同整数，证明其中必有两个互质。 解析：把整数分成对：。取个必取全某一对，连续两整数的公因数只能是，所以互质。 跟踪1 【模拟练习】 从到中取出所有偶数，共个。能找到两个互质的数吗？这说明例中的数量能减到吗？ 解析：这些数都含公因数，任意两个不互质，所以不能把保证条件减到个。 例2 【模拟练习】 如图，棋盘删去第行第格、第行第格、第行第格。能否用直的骨牌铺满余下格子？可旋转，不能重叠或越界。 解析：按行号加列号除以的余数三染色，原来每色格。被删三格的和依次为，同属一种颜色；剩下三色数量。每块横放或竖放的三连格都覆盖三色各一格，因此不能铺满。 跟踪2 【模拟练习】 完整的棋盘，用直骨牌能否铺满？给出一种铺法。 解析：可以，每行并排横放块，共块。颜色数量相同是必要条件，仍要给出实际铺法来证明可行。 例3 【模拟练习】 边长的正方形内任放个点，证明有两点距离小于。 解析：分成个边长的小正方形，必有两点归入同一块。其距离不超过小正方形对角线，对角线平方为，小于，所以距离小于。 跟踪3 【模拟练习】 边长的正方形内任放个点，证明仍有两点距离小于。 解析：分成个边长的小正方形，同样用抽屉原理找同一格的两点，再比较对角线。分界点任选相邻一格归属。 例4 【模拟练习】 六个人中，任意两人要么彼此认识，要么彼此不认识，关系是双向的。证明总有三人两两认识，或三人两两不认识。 解析：固定一人，其他五人与他有两类关系，至少有三人同属一类。若三人都认识，其中任两人认识就与组成三位两两认识者；若三人任两人都不认识，他们本身已合要求。若三人都不认识，他们中有一对互不认识，就与组成三位两两不认识者；若他们任两人都认识，三人本身就符合要求。 跟踪4 【模拟练习】 六个点任意两点之间都连一条红线或蓝线。如果从某个点发出的五条线中有三条蓝线，怎样根据这三条线的端点判断一定存在同色三角形？ 解析：若三个端点之间有一条蓝线，它与固定点组成蓝三角形；否则三个端点之间都是红线，它们组成红三角形。 例5 【模拟练习】 如图，把到分别写在张卡片上，任取张。证明其中一定有两张卡片上的数的和是。 解析：按图分成组，每组两数和为。取张，至少有一组取出两张，故必有一对和为。 跟踪5 【模拟练习】 从到的卡片中至少取多少张，才能保证至少有张上的数同为奇数或同为偶数？ 解析：奇数与偶数视作两个抽屉，取张时必有一个抽屉至少张；取张可各取两个奇数和偶数，不能保证。因此至少取张。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 从到中任取个不同整数，证明其中有两数和为。 解析：按分成对，取个必取全某一对。 A2 【模拟练习】 任取个人，能保证其中至少两人出生在一周的同一个星期几吗？ 解析：一周只有种星期几，，必有至少两人同类。这里只比较星期几，不比较年月日。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 棋盘上放骨牌，不重叠、不越界。至少空几格？给出能达到的铺法。 解析：每块盖偶数格，总共有格，至少空格。先竖放块盖前两行，再横放块盖第三行前两格，恰好空格。 B2 【模拟练习】 长为的线段上任放个点，证明某段长度不超过的子线段内至少有点。 解析：把原线段分成段长度的小段，分界点只分配一次。若每段至多点，最多点；故至少有一段点。 B3 【模拟练习】 五个顶点连成一个五边形，每个顶点涂红或蓝。能否让所有相邻顶点都不同色？ 解析：不能。从一个点起若一直红蓝交替，第个点与第个点同色且相邻。奇数个点的环不能这样二染色。 B4 【模拟练习】 袋中有红、黄、蓝三种颜色的球。至少取多少个球，才能保证其中有个颜色相同？假设每种颜色的球都足够多。 解析：最不利时每色各取个，共个仍无个同色；再取一个必有一色达到个，所以至少个。 B5 【模拟练习】 任取个整数，证明其中有两个数除以的余数相同。 解析：除以的余数只有共种。个整数至少有两个属于同一余数。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 例4若只有五个点，任意两点连线红或蓝，还能保证同色三角形吗？给出反例。 解析：不能。把五边形的五条边涂红，五条对角线涂蓝。红边只成五边形，蓝边只成五角星，两色都没有三角形。交叉处不算新顶点。 C2 【模拟练习】 边长厘米的正方形内任放个点，证明其中有两点的距离小于厘米。 解析：把正方形分成个边长厘米的小正方形。至少两点在同一小方格，对角线的平方为，故两点距离小于厘米。 C3 【模拟练习】 平面上任取个坐标都是整数的点，证明其中两个点的连线中点的横、纵坐标也都是整数。 解析：按横坐标与纵坐标的奇偶性分为四类：奇奇、奇偶、偶奇、偶偶。个点中至少两个同类，它们的横坐标之和与纵坐标之和均为偶数，所以中点的两个坐标都是整数。 真题拓展 真题1 【真题改编】 从到中至少取出多少个不同整数，才能保证有两个数，其中一个是另一个的倍数？ 解析：按不断除以得到的奇数分为八组：。取个必有两个同组，同组较大数是较小数的的整数次幂倍。取个时可取，其中任两数互不成倍数，所以最少个。 真题2 【真题改编】 六名歌手进入决赛，每位评委都投出互不相同的冠军、亚军、季军各一人。至少多少位评委，才能保证有三位评委的三名人选和名次完全相同？ 解析：一种完整投票按名次区分，共种。最不利时每种投票各人，共人，仍无三人相同；第人必使某种达到三人。所以最少位。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第31讲 抽屉原理与染色证明 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 抽屉不一定是真盒子，也可以是一对连续整数、一种投票顺序或一块小区域。染色也不只是涂漂亮颜色，而是让每块拼图、每次操作都显出某种固定的数量关系。学会先分组、再观察保持不变的东西，就能说明“必然有”或“不可能”。 知识梳理 要保证某类至少有个，先考虑每类最多个还能容纳多少，再多个。类别要覆盖所有对象，每个对象只归入一类。 按需要成对、按余数、按奇偶或按最大奇因数分组，都可以造出抽屉。证明“最少”时，还要给出少一个不能保证的反例。 棋盘可按坐标的奇偶二染色，也可按行号与列号之和除以的余数三染色。直的三连格每次恰好覆盖三种颜色各一格。 几何分区要包含边界：分界线上的点任选一个相邻区域归属，每点只记一次。用抽屉找到同一区域的两点，再用该区域最大距离给出结论。 任意两点连线涂红或蓝，相当于给两人关系分两类。先固定一个点，看它到其余点的连线，再分情况检查那些点之间的边。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 从到中任取个不同整数，证明其中必有两个互质。 跟踪1 【模拟练习】 从到中取出所有偶数，共个。能找到两个互质的数吗？这说明例中的数量能减到吗？ 例2 【模拟练习】 如图，棋盘删去第行第格、第行第格、第行第格。能否用直的骨牌铺满余下格子？可旋转，不能重叠或越界。 跟踪2 【模拟练习】 完整的棋盘，用直骨牌能否铺满？给出一种铺法。 例3 【模拟练习】 边长的正方形内任放个点，证明有两点距离小于。 跟踪3 【模拟练习】 边长的正方形内任放个点，证明仍有两点距离小于。 例4 【模拟练习】 六个人中，任意两人要么彼此认识，要么彼此不认识，关系是双向的。证明总有三人两两认识，或三人两两不认识。 跟踪4 【模拟练习】 六个点任意两点之间都连一条红线或蓝线。如果从某个点发出的五条线中有三条蓝线，怎样根据这三条线的端点判断一定存在同色三角形？ 例5 【模拟练习】 如图，把到分别写在张卡片上，任取张。证明其中一定有两张卡片上的数的和是。 跟踪5 【模拟练习】 从到的卡片中至少取多少张，才能保证至少有张上的数同为奇数或同为偶数？ 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 从到中任取个不同整数，证明其中有两数和为。 A2 【模拟练习】 任取个人，能保证其中至少两人出生在一周的同一个星期几吗？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 棋盘上放骨牌，不重叠、不越界。至少空几格？给出能达到的铺法。 B2 【模拟练习】 长为的线段上任放个点，证明某段长度不超过的子线段内至少有点。 B3 【模拟练习】 五个顶点连成一个五边形，每个顶点涂红或蓝。能否让所有相邻顶点都不同色？ B4 【模拟练习】 袋中有红、黄、蓝三种颜色的球。至少取多少个球，才能保证其中有个颜色相同？假设每种颜色的球都足够多。 B5 【模拟练习】 任取个整数，证明其中有两个数除以的余数相同。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 例4若只有五个点，任意两点连线红或蓝，还能保证同色三角形吗？给出反例。 C2 【模拟练习】 边长厘米的正方形内任放个点，证明其中有两点的距离小于厘米。 C3 【模拟练习】 平面上任取个坐标都是整数的点，证明其中两个点的连线中点的横、纵坐标也都是整数。 真题拓展 真题1 【真题改编】 从到中至少取出多少个不同整数，才能保证有两个数，其中一个是另一个的倍数？ 真题2 【真题改编】 六名歌手进入决赛，每位评委都投出互不相同的冠军、亚军、季军各一人。至少多少位评委，才能保证有三位评委的三名人选和名次完全相同？ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $null