思维拓展奥数 第二十二讲组合图形的分割与补形（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

第22讲 组合图形的分割与补形 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 长方形纸片长厘米、宽厘米，剪去一个长厘米、宽厘米的角，剩余面积是多少？ 解析：整体面积，剪去，剩余平方厘米。 跟踪1 【模拟练习】 一个长方形长厘米、宽厘米，剪去一个长方形角后剩下平方厘米。已知缺角宽厘米，缺角长多少厘米？ 解析：缺角面积为平方厘米，缺角长为厘米。 例2 【模拟练习】 长方形花圃长米、宽米。一条斜道路贯穿两条长边，道路两侧互相平行，它在每条长边上截出的路段长米。道路及剩余花圃的面积各是多少？ 解析：道路是底米、高米的平行四边形，可割补成长方形。道路面积，剩余平方米。这里的米是长边上的截长。 跟踪2 【模拟练习】 一块长米、宽米的长方形花圃内有一条斜道路贯穿两条长边。道路两侧互相平行，道路面积为平方米。道路在每条长边上截出的路段长多少米？ 解析：斜道路是一个高为米的平行四边形，长边上的截长为米。 例3 【模拟练习】 边长厘米的正方形内，以相邻两条边为直径向内各画一个半圆，求两个半圆重叠的鱼形面积。圆周率取。 解析：两圆半径均为，圆心在相邻边中点。重叠部分可分为两个相同圆弓形，每块为一个扇形减去直角边为的等腰直角三角形。面积平方厘米。 跟踪3 【模拟练习】 边长厘米的正方形内，以相邻两条边为直径向内各画一个半圆。已知重叠的鱼形面积为平方厘米，两个半圆合起来覆盖多少平方厘米？圆周率取。 解析：每个半圆面积为平方厘米。合起来覆盖平方厘米。 例4 【模拟练习】 连接长厘米、宽厘米的长方形四边中点，得到一个四边形，求它的面积。 解析：四角三角形每个面积，共。中间面积平方厘米，是原长方形面积的一半。 跟踪4 【模拟练习】 一个平行四边形面积平方厘米，连接各边中点所得四边形面积是多少？ 解析：连接对角线辅助比较，四角三角形的面积和是原图一半，因此中间面积平方厘米。 例5 【模拟练习】 一个长厘米、宽厘米的长方形镜框，四周向内各留厘米宽的边框。边框面积是多少？ 解析：外部长方形面积为平方厘米；内部可见长方形长厘米、宽厘米，面积平方厘米。边框面积为平方厘米。 跟踪5 【模拟练习】 一个长厘米、宽厘米的长方形纸框，四周向内各留厘米宽的边框。边框面积是多少？ 解析：内部长厘米、宽厘米。边框面积为平方厘米。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 大长方形面积平方厘米，缺口面积平方厘米，剩余多少？ 解析：平方厘米。 A2 【模拟练习】 两个图形面积分别为和平方厘米，重叠平方厘米，覆盖总面积多少？ 解析：平方厘米。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 两个图形面积均为平方厘米，覆盖总面积为平方厘米，重叠部分面积多少？ 解析：平方厘米。 B2 【模拟练习】 边长米的正方形内，有两条各宽米的通长直路，分别平行于两组边且互相垂直。种植区总面积多少？ 解析：道路交叉处不应扣两次。种植面积平方米。 B3 【模拟练习】 长方形内连接四边中点所得四边形面积为平方厘米，原长方形面积多少？ 解析：中间四边形占原图一半，原面积平方厘米。 B4 【模拟练习】 长方形纸片长厘米、宽厘米。从一个角沿直线剪去一个三角形，三角形在两条相邻边上截出的长度分别为厘米和厘米。剩余面积是多少？ 解析：剪去的三角形面积为平方厘米，剩余平方厘米。 B5 【模拟练习】 一个正方形的边长增加厘米后，面积增加平方厘米。原来边长是多少？ 解析：增加部分可分成两个长为原边长、宽为厘米的长方形和一个边长厘米的正方形。两个长方形共增加平方厘米，原边长为厘米。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 半径厘米的半圆内，剪去一个以原半圆直径为斜边、直角顶点在圆弧最高点的三角形。剩余面积多少？圆周率取。 解析：三角形底为直径、高为，面积；半圆面积。剩余平方厘米。 C2 【模拟练习】 如图，两个边长分别为厘米和厘米的正方形部分重叠，重叠处是长厘米、宽厘米的长方形。两正方形合起来覆盖的面积是多少？ 解析：两正方形面积之和是平方厘米，重叠面积为平方厘米。覆盖面积为平方厘米。 C3 【模拟练习】 三角形底为厘米、高为厘米。靠底边剪下一条梯形纸带，纸带高厘米，上底长厘米，下底与原三角形底重合。纸带面积是多少？ 解析：纸带是上、下底分别为和厘米、高为厘米的梯形，面积为平方厘米。也可用原三角形面积，减去上方三角形面积。 真题拓展 真题1 【真题改编】 正方形内分别以四条边为直径，向内画四个半圆。相邻半圆相交的四块花瓣区域为空白，其余部分为阴影。已知阴影面积为，圆周率取，求正方形边长。 解析：设半圆半径为，正方形边长为。每一块花瓣由两个相同圆弓形组成，面积为。四块花瓣总面积为；它们只在中心相接，没有面积重叠。阴影面积为。因此，半径，正方形边长。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 第22讲 组合图形的分割与补形 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 设计校园活动区时，有的地面缺了一个角，有的道路斜着穿过花圃，有的装饰由圆弧围成。图形越复杂，越要先找容易计算的整体，再观察哪些部分可以移动、补齐或互相抵消。辅助线要画出实际需要的部分，不能凭外形猜面积。 知识梳理 “大图形减缺口”适用于能补成矩形、正方形、三角形等基本图形的情况；“分成几块再相加”要保证各块不重叠、不遗漏。 平移、旋转一块图形不改变面积。斜道路可以割下左端补到右端，拼成同底等高的平行四边形；题目给的宽要辨清是水平截长还是垂直宽。 两个图形覆盖的总面积等于两图面积之和减重叠面积。反过来，重叠面积等于两图面积之和减覆盖面积。 边中点连接问题常把四角补成三角形；带圆弧的图形则可把几个扇形合成半圆或整圆。面积公式中的底和高必须对应。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 长方形纸片长厘米、宽厘米，剪去一个长厘米、宽厘米的角，剩余面积是多少？ 跟踪1 【模拟练习】 一个长方形长厘米、宽厘米，剪去一个长方形角后剩下平方厘米。已知缺角宽厘米，缺角长多少厘米？ 例2 【模拟练习】 长方形花圃长米、宽米。一条斜道路贯穿两条长边，道路两侧互相平行，它在每条长边上截出的路段长米。道路及剩余花圃的面积各是多少？ 跟踪2 【模拟练习】 一块长米、宽米的长方形花圃内有一条斜道路贯穿两条长边。道路两侧互相平行，道路面积为平方米。道路在每条长边上截出的路段长多少米？ 例3 【模拟练习】 边长厘米的正方形内，以相邻两条边为直径向内各画一个半圆，求两个半圆重叠的鱼形面积。圆周率取。 跟踪3 【模拟练习】 边长厘米的正方形内，以相邻两条边为直径向内各画一个半圆。已知重叠的鱼形面积为平方厘米，两个半圆合起来覆盖多少平方厘米？圆周率取。 例4 【模拟练习】 连接长厘米、宽厘米的长方形四边中点，得到一个四边形，求它的面积。 跟踪4 【模拟练习】 一个平行四边形面积平方厘米，连接各边中点所得四边形面积是多少？ 例5 【模拟练习】 一个长厘米、宽厘米的长方形镜框，四周向内各留厘米宽的边框。边框面积是多少？ 跟踪5 【模拟练习】 一个长厘米、宽厘米的长方形纸框，四周向内各留厘米宽的边框。边框面积是多少？ 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 大长方形面积平方厘米，缺口面积平方厘米，剩余多少？ A2 【模拟练习】 两个图形面积分别为和平方厘米，重叠平方厘米，覆盖总面积多少？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 两个图形面积均为平方厘米，覆盖总面积为平方厘米，重叠部分面积多少？ B2 【模拟练习】 边长米的正方形内，有两条各宽米的通长直路，分别平行于两组边且互相垂直。种植区总面积多少？ B3 【模拟练习】 长方形内连接四边中点所得四边形面积为平方厘米，原长方形面积多少？ B4 【模拟练习】 长方形纸片长厘米、宽厘米。从一个角沿直线剪去一个三角形，三角形在两条相邻边上截出的长度分别为厘米和厘米。剩余面积是多少？ B5 【模拟练习】 一个正方形的边长增加厘米后，面积增加平方厘米。原来边长是多少？ C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 半径厘米的半圆内，剪去一个以原半圆直径为斜边、直角顶点在圆弧最高点的三角形。剩余面积多少？圆周率取。 C2 【模拟练习】 如图，两个边长分别为厘米和厘米的正方形部分重叠，重叠处是长厘米、宽厘米的长方形。两正方形合起来覆盖的面积是多少？ C3 【模拟练习】 三角形底为厘米、高为厘米。靠底边剪下一条梯形纸带，纸带高厘米，上底长厘米，下底与原三角形底重合。纸带面积是多少？ 真题拓展 真题1 【真题改编】 正方形内分别以四条边为直径，向内画四个半圆。相邻半圆相交的四块花瓣区域为空白，其余部分为阴影。已知阴影面积为，圆周率取，求正方形边长。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $分割求和 各部分不重叠、不遗漏 图形重叠 面积之和减去重叠部分 分割与补形 补形成整体 大图面积减去缺口 平移与旋转 保持面积不变后再计算