思维拓展奥数 第三十二讲逻辑判断与博弈策略（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

真假判断 逐一代入并排除矛盾 不变与对称 寻找操作前后不变的性质 逻辑与博弈 天平称重 按结果分组并验证下界 取胜策略 列小局面并检查所有应对 第32讲 逻辑判断与博弈策略 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 甲、乙、丙、丁四盒中恰有一盒装奖品。四块标牌依次写：“奖品不在甲盒”“奖品不在乙盒”“奖品在甲盒”“奖品在丙盒或丁盒”。恰有两块标牌说真话，奖品在哪盒？ 解析：若在甲盒，四句为假、真、真、假，有真；在乙盒为真、假、假、假，有真；在丙或丁盒都为真、真、假、真，有真。只有甲盒符合。 跟踪1 【模拟练习】 保持四块标牌不变，若改为恰有三句真话，能唯一确定奖品在哪盒吗？ 解析：不能。丙盒与丁盒两种情况都恰有句真话，只能确定在这两盒之一。 例2 【模拟练习】 九枚外观相同的硬币中有一枚较轻，其余等重。用无砝码天平，最少称几次能保证找出它？说明方法和下界。 解析：分成三组三枚，先称两组，较轻者所在组或平衡时的剩余组就是可疑三枚；再从可疑三枚中称一对，即可确定。需次；只称次最多三种结果，不能区分九个候选，故不能保证。 跟踪2 【模拟练习】 八枚硬币中一枚较重，能否两次保证找出？ 解析：可以，分成三、三、二。先称三对三；不平衡时在重的三枚里称一对；平衡时在余下两枚里称一对。两次均可找到。 例3 【模拟练习】 圆桌上轮流放完全相同的圆形硬币，硬币不能重叠、不得越过桌边，允许相切，最后能放下一枚者胜。桌面能容下一枚硬币，先手怎样保证获胜？ 解析：先把一枚放在圆心。以后对方放在哪里，就在关于圆心对称的位置放一枚。每次回应前，旧局面都中心对称，所以对方位置合法，其对称位置也合法；对方的新硬币与中心币不重叠，因而它与自己的对称硬币也不会重叠。桌面有限、硬币有固定大小，最终无法再放时，最后一次必为先手回应或最初那枚，因此先手胜。 跟踪3 【模拟练习】 桌面改为长方形，中心位置能放下硬币，同样规则下，这个策略还成立吗？ 解析：成立。长方形关于中心也成中心对称，边界和旧硬币都保持对称，回应的合法性与圆桌相同。 例4 【模拟练习】 桌上颗石子，两人轮流取，每次只能取颗，取最后一颗者胜。先手第一步怎样走，才能保证获胜？ 解析：先取颗，留下。关键败局为或颗（其中为非负整数）。若留下，对方取时，我分别取，又留下这种败局；若留下，对方取时，我分别取，仍回到更小的败局。只剩颗时对方只能取，我再取结束；只剩颗时表示我刚取走最后一颗。回应始终合法，所以先取可保证获胜。 跟踪4 【模拟练习】 同样规则，桌上颗，轮到你时能保证获胜吗？ 解析：不能。就是上述败局。你取、或，对方可分别取、或，留下或，此后他保持败局给你，最终获胜。 例5 【模拟练习】 如图，盏灯中有盏亮、盏灭。每次选两盏不同的灯，同时把它们的状态翻转。能否经过若干次操作使所有灯都灭？ 解析：每次亮灯数增加、减少或不变，奇偶性不变。起初亮灯数为奇数，而全灭是，所以不能。 跟踪5 【模拟练习】 如果开始时盏灯中恰有盏亮、其余都灭，每次仍翻转两盏不同的灯，能否全灭？说明操作。 解析：可以。先选两盏亮灯翻转，剩盏亮；再把这两盏翻转，即可全灭。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 甲、乙、丙三人排队，没有并列，甲在乙前面，乙不是末位。第一和第三分别是谁？ 解析：乙只能在中间，甲第一，丙第三。 A2 【模拟练习】 九枚硬币中一枚假币，但不知道它较轻还是较重。仅称两次，能否保证同时找出假币并判定轻重？ 解析：不能。共有种候选情况，两次称重最多种结果分支，无法把全部情况区分开。这里只证明两次不够。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 八张不透明卡片中恰有一张背面红色，正面完全相同。不看背面逐张翻，最少翻几张才能保证见到红色？ 解析：最坏情况下前张都不是红色，必须翻第张才能“见到”。若只是“确定红色在哪张”，看完前张已能判断，两个设问不同。 B2 【模拟练习】 五张卡按排列，每次可交换任意两张，变成完全倒序最少交换几次？ 解析：交换与，再交换与，共次。初始有张不在最终位置，一次交换最多使两张就位，至少需次。这里并不限于相邻交换。 B3 【模拟练习】 在棋盘上标记若干格，使每行、每列都至少有一个标记，最少标记几格？ 解析：每一行至少一格，所以至少格；标记主对角线的格，所有行列都满足，故最少格。 B4 【模拟练习】 甲、乙、丙三人中恰有一人做对一道题。甲说“甲做对了”，乙说“乙做对了”，丙说“甲没做对”。恰有两人说真话，谁做对了？ 解析：逐一代入：甲做对时只有甲说真话；乙做对时乙和丙说真话；丙做对时只有丙说真话。因此乙做对了。 B5 【模拟练习】 枚硬币中恰有一枚较重，其余一样重。用无砝码天平，最少称几次能保证找出较重的硬币？ 解析：两次最多有种结果，不能区分种候选。分成三组各枚，先称两组；可疑枚分成、称一次，再从较重的枚中称一次，共次。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 五张卡片按排列，每次交换相邻的两张。能否恰好交换次后变成完全倒序？ 解析：最初逆序对数为，完全倒序有个逆序对。每次交换相邻卡片只改变这一对的先后，逆序对的奇偶性必改变；交换次后应为奇数，不能得到偶数，所以不能。 C2 【模拟练习】 枚硬币中恰有一枚较轻，其余一样重。用无砝码天平，最少称几次能保证找出较轻的硬币？ 解析：两次最多区分种情况，不能保证。每次把可疑硬币等分成三组，称其中两组，可疑数量依次从减为、、，所以最少次。 C3 【模拟练习】 桌上有颗石子，两人轮流取，每次取至颗，取走最后一颗的人获胜。先手怎样保证获胜？ 解析：先手先取颗，留下颗。以后对方取颗，先手取颗，每轮合取颗，依次留下颗，先手取得最后一颗。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 第32讲 逻辑判断与博弈策略 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 不同游戏的“赢”可能是拿到最后一个，也可能是让对手无处可放；同一句条件还可能只确定几个候选，而不能确定唯一答案。解这类题先把规则说完整，再列出所有情况。发现一种取胜办法后，还要检查对手的每种应对都能处理。 知识梳理 真假话题可把可能结果逐一代入每句话，数一数真假是否符合题设。得到一个可行结果以后，继续排查其他结果，才能说明是否唯一。 天平称重有左轻、平衡、右轻三种结果。一次称重最多把候选分成三类，两次最多有条结果分支；不知道轻重时，候选情况数还要区分“轻”与“重”。 对称策略先占住对称中心，再对对方每步作中心对称回应。要验证回应合法、两个新物体不互相妨碍，不能只说“照着做”。 取子游戏可从接近结束的小局面开始。轮到的人无论怎样走都会让对方获胜，是败局；能走到败局的是胜局。归纳出一类败局后，要检查所有允许的走法和最末几个边界。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 甲、乙、丙、丁四盒中恰有一盒装奖品。四块标牌依次写：“奖品不在甲盒”“奖品不在乙盒”“奖品在甲盒”“奖品在丙盒或丁盒”。恰有两块标牌说真话，奖品在哪盒？ 跟踪1 【模拟练习】 保持四块标牌不变，若改为恰有三句真话，能唯一确定奖品在哪盒吗？ 例2 【模拟练习】 九枚外观相同的硬币中有一枚较轻，其余等重。用无砝码天平，最少称几次能保证找出它？说明方法和下界。 跟踪2 【模拟练习】 八枚硬币中一枚较重，能否两次保证找出？ 例3 【模拟练习】 圆桌上轮流放完全相同的圆形硬币，硬币不能重叠、不得越过桌边，允许相切，最后能放下一枚者胜。桌面能容下一枚硬币，先手怎样保证获胜？ 跟踪3 【模拟练习】 桌面改为长方形，中心位置能放下硬币，同样规则下，这个策略还成立吗？ 例4 【模拟练习】 桌上颗石子，两人轮流取，每次只能取颗，取最后一颗者胜。先手第一步怎样走，才能保证获胜？ 跟踪4 【模拟练习】 同样规则，桌上颗，轮到你时能保证获胜吗？ 例5 【模拟练习】 如图，盏灯中有盏亮、盏灭。每次选两盏不同的灯，同时把它们的状态翻转。能否经过若干次操作使所有灯都灭？ 跟踪5 【模拟练习】 如果开始时盏灯中恰有盏亮、其余都灭，每次仍翻转两盏不同的灯，能否全灭？说明操作。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 甲、乙、丙三人排队，没有并列，甲在乙前面，乙不是末位。第一和第三分别是谁？ A2 【模拟练习】 九枚硬币中一枚假币，但不知道它较轻还是较重。仅称两次，能否保证同时找出假币并判定轻重？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 八张不透明卡片中恰有一张背面红色，正面完全相同。不看背面逐张翻，最少翻几张才能保证见到红色？ B2 【模拟练习】 五张卡按排列，每次可交换任意两张，变成完全倒序最少交换几次？ B3 【模拟练习】 在棋盘上标记若干格，使每行、每列都至少有一个标记，最少标记几格？ B4 【模拟练习】 甲、乙、丙三人中恰有一人做对一道题。甲说“甲做对了”，乙说“乙做对了”，丙说“甲没做对”。恰有两人说真话，谁做对了？ B5 【模拟练习】 枚硬币中恰有一枚较重，其余一样重。用无砝码天平，最少称几次能保证找出较重的硬币？ C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 五张卡片按排列，每次交换相邻的两张。能否恰好交换次后变成完全倒序？ C2 【模拟练习】 枚硬币中恰有一枚较轻，其余一样重。用无砝码天平，最少称几次能保证找出较轻的硬币？ C3 【模拟练习】 桌上有颗石子，两人轮流取，每次取至颗，取走最后一颗的人获胜。先手怎样保证获胜？ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $