精品解析：广东惠州市惠阳区第一中学2026-2027学年高三上学期第二次质量检测数学试题

惠阳一中高中部2026—2027学年第一学期高三年级 第二次质量检测数学试卷 注意事项： 1．答卷前填写好自己的姓名、班级、考号等个人信息. 2．请将答案正确填写在答题卡上. 3．祝大家考的都会，做的都对，取得好成绩！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组数据为：1，2，5，3，7，10，4，6，8，9，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】将数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共10个数据， 因为，所以该组数据的第60百分位数是. 2. 已知集合，且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】已知集合，且， 所以. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知角的终边经过点，则， ， ． 4. 已知，，，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由整理得， 由， 当且仅当，即时取等，即的最小值为． 5. 若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值. 【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，， 令，则，即，则， 6. 若函数的定义域为，则成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到与的关系求出解集，再根据必要不充分条件选出答案. 【详解】由题目可得，因为定义域为，所以， 故可以化为，与的区别为可以取等号， 故的解集为，因为是的真子集， 所以成立的一个必要不充分条件是. 7. 已知函数，的最大值M，最小值为m，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】将原函数拆分为奇函数与常数的和，利用奇函数在对称区间上最大值与最小值互为相反数的性质求解. 【详解】构造函数，其定义域为，关于原点对称，  ，因此为奇函数， 设的最大值为，最小值为，由奇函数的性质得， 由于，故的最大值，最小值， 因此. 8. 已知是函数的导函数，且对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据要求解的不等式可变形为，构造函数，并结合已知可得，从而得，利用求得参数c的值，由此可将不等式 化为，即可求得答案. 【详解】令 ①,则 ， ∵， ∴ ， 即 ， ∴（c为常数）②， 由①②知， ， ∴ ，又， ∴ ，即 ， ， 不等式 即， ∴ 或， 即不等式的解集为， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决此类根据导函数的表达式求解不等式解集的问题时，一般方法是要构造函数，利用导数判断函数性质进行求解，关键点就是要根据求解的不等式进行合理变形，并结合已知的导函数表达式进行构造恰当的新函数. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 函数的最大值是 C. 中，是的充要条件 D. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【答案】CD 【解析】 【详解】选项A：当时，，A错误. 选项B：当时，函数的最大值是，B错误. 选项C：充分性，在中，由，，由正弦定理得， 是的充分条件. 必要性，在中，，由正弦定理得，， 是的必要条件.是的充要条件，C正确. 选项D：设扇形的弧长为，由扇形的面积公式得，， ，，，.D正确. 10. 给出以下四个判断，其中正确的是（　　） A. 函数的值域为 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数定义域，值域，则满足条件的有3个 D. 若函数，且，则实数m的值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项用分离常数法求分式函数值域；B选项由复合函数定义域推导规则，结合分式、偶次根号限制求定义域；C选项由值域反推定义域可选元素，列举符合条件的子集；D选项用配凑法求函数解析式，结合自变量取值范围解方程。 【详解】对于A项，， 当时，，则，所以， 所以函数的值域为，故A正确； 对于B项，因为，所以函数的定义域为， 对于函数定义域需要满足，解得， 则函数的定义域为，故B正确； 对于C项，函数，值域，即定义域里的元素平方等于4，则，解得， 定义域A必须是的子集，且至少包含能输出4的元素， 满足条件的定义域：，共3 个，则有3个，故C正确； 对于D项，，令， 则，，，故D错误. 11. 已知函数，则（     ） A. 若函数在上不单调，则 B. 当时，若函数至少有个零点，则的取值范围是 C. 当时，若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则 D. 当时，恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导后，利用特殊值可判断A选项，通过极大值不小于零、极小值不大于零建立不等式组求参数范围可判断B选项，利用三次函数图象关于对称中心对称的性质，将线段相等转化为对称关系求出根之和即可判断C选项，由判别式非正得函数单调递增，再比较指数与对数的结构，通过构造辅助函数证明指数式不大于幂式，从而得到函数值的大小关系，从而判断D选项. 【详解】对于A项，， 当，时，由或；由. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在上不单调.故A项错误； 对于B项，当时，， 令，解得或，所以函数在和上单调递增， 令，解得，所以函数在上单调递减， 所以时取得极大值，时取得极小值， 若至少有个零点，则极大值，且极小值，所以的取值范围是，故B项正确； 对于C项，由得A点一定是对称中心， 又， 当时，恒成立，即导函数存在变号零点， 所以在R上有一个极大值点和一个极小值点，分别记为，则， 又，， 所以，故C项正确； 对于D项，当时，，， 所以恒成立，即函数在R上单调递增， 令，则， 令，解得，则在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 所以，即，所以，故D项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式求导，代入，根据特殊角三角函数值，建立方程，可得答案. 【详解】由，则， 即，， 解得. 故答案为：. 13. 已知函数，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合指数函数单调性判断函数的单调性再判断的奇偶性，利用函数的奇偶性单调性化简不等式，即可得答案． 【详解】因为函数为增函数，为减函数， 所以函数为增函数. 因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 因为，所以， 结合函数为奇函数可得，， 又函数为增函数，所以， 所以， 所以的取值范围是. 14. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，构造函数，利用导数判断的单调性，根据单调性可得在上恒成立，构造函数，利用导数求最值即可得结果. 【详解】由题意，可得，恒成立， 整理变形得，恒成立. 构造函数，，故在上单调递增. 因此原不等式转化成，在上恒成立. 在上恒成立. 令，即. ，令，得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. . ，即实数a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的前项和，等比数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及与的关系求出，再利用等比数列的通项公式即可求解； （2）根据（1）的结论得出，再利用分组求和、裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 由，当时，， 当时，， 显然满足上式，则. 设等比数列的公比为， 因为，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由， 则 . 16. 某西红柿种植户将一批西红柿批发给当地一家超市，超市根据西红柿的品质将其分为一级品、二级品和三级品，批发单价分别为6元/、5元/和4元/． （1）根据以往的经验，该种植户的西红柿为一级品、二级品和三级品的比例分别为20%，50%，30%，估计这批西红柿批发单价的平均值； （2）为了对西红柿进行合理定价，超市对近5天的日销量y 和单价(i=1,2,3,4,5 )进行了统计，得到一组数据如表所示： 销售单价 (元/kg) 5 6 7 8 9 日销量 (kg) 150 135 110 95 75 根据表中所给数据，用线性回归模型拟合y 与 x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测当西红柿单价为12元/时，该超市西红柿的日销量． 参考公式：线性回归方程中 ，，. 参考数据：，， 【答案】（1）元/ （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平均数的定义列式求解. （2）求出，再利用最小二乘法求出回归方程，进而估计出超市西红柿的日销量. 【小问1详解】 估计这批西红柿批发单价的平均值为（元/）. 【小问2详解】 由数表得， 则，， 所以y关于x的线性回归方程为； 当时，（）， 所以当西红柿单价为12元/时，预测该超市西红柿的日销量为. 17. 如图，在长方体中，，点E在AB上，且AE=1． （1）求证： （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 连结，则在长方体中四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 观察几何体特征，通过长方体中找到相应平行四边形来证明线面平行； （2）利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值，根据线面角与向量夹角的互余关系求出其正弦值； （3）建立坐标系后，直接利用点到平面的距离向量投影公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在长方体 中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，,故得，设平面的法向量为，则，，令，得，.因为，，所以 因此，所以直线与平面所成角的正弦值. 【小问3详解】 由（2）得，平面的法向量，所以到平面的距离为. 18. 在中，角所对的边分别为，且． （1）若，的面积为，为边的中点，求的长度； （2）若为边上一点，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值为 【解析】 【分析】（1）由面积公式可得的值，再利用余弦定理求出，利用向量法或中线长公式即可求得； （2）通过面积分割法建立的关系式，再结合基本不等式求解的最小值. 【小问1详解】 由，解得. 由余弦定理得，即，故. 因为为的中点，由中线向量性质得， 则， 故； 【小问2详解】 因为，且，所以，则. 注意到，即. 代入得，整理得，即. 由于，则. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立. 此时，由可得时成立. 综上，的最小值为. 19. 已知函数. （1）若函数在处的切线平行于直线，求实数的值； （2）若方程在上恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】第一问先利用导数求切线斜率，再利用两直线平行，斜率相等构建等式求解即可. 第二问把方程在上恰有3个不相等的实数解转化为新函数有3个零点，讨论单调性，满足极值点在上，极大值大于零，极小值小于零，，，构建不等式组求解即可. 第三问不等式对恒成立，分离参数转化为，求新函数的最小值即可. 【小问1详解】 ，，函数在处的切线斜率为， 又因为函数在处的切线平行于直线，所以， 即. 【小问2详解】 即整理得， 因为方程在上恰有3个不相等的实数解， 所以在上恰有3个不相等的实数解， 令，即时，恰有3个零点； 时，恒成立，单调递增，不可能有3个零点； 时，令得或， 令得, 所以在和时单调递增，在时单调递减； 因为时，恰有3个零点， 所以化简得 求解得取交集得. 【小问3详解】 不等式对恒成立，即， 化简有， 因为所以，即， 令 ，， 令 ，恒成立， 即时，单调递增， 又因为，所以时恒成立， 即时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳一中高中部2026—2027学年第一学期高三年级 第二次质量检测数学试卷 注意事项： 1．答卷前填写好自己的姓名、班级、考号等个人信息. 2．请将答案正确填写在答题卡上. 3．祝大家考的都会，做的都对，取得好成绩！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组数据为：1，2，5，3，7，10，4，6，8，9，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 2. 已知集合，且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则的最小值为（     ） A. B. C. D. 5. 若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 6. 若函数的定义域为，则成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，的最大值M，最小值为m，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 8. 已知是函数的导函数，且对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 函数的最大值是 C. 中，是的充要条件 D. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 10. 给出以下四个判断，其中正确的是（　　） A. 函数的值域为 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数定义域，值域，则满足条件的有3个 D. 若函数，且，则实数m的值为 11. 已知函数，则（     ） A. 若函数在上不单调，则 B. 当时，若函数至少有个零点，则的取值范围是 C. 当时，若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则 D. 当时，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则_________. 13. 已知函数，若，则的取值范围是________． 14. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的前项和，等比数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 某西红柿种植户将一批西红柿批发给当地一家超市，超市根据西红柿的品质将其分为一级品、二级品和三级品，批发单价分别为6元/、5元/和4元/． （1）根据以往的经验，该种植户的西红柿为一级品、二级品和三级品的比例分别为20%，50%，30%，估计这批西红柿批发单价的平均值； （2）为了对西红柿进行合理定价，超市对近5天的日销量y 和单价(i=1,2,3,4,5 )进行了统计，得到一组数据如表所示： 销售单价 (元/kg) 5 6 7 8 9 日销量 (kg) 150 135 110 95 75 根据表中所给数据，用线性回归模型拟合y 与 x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测当西红柿单价为12元/时，该超市西红柿的日销量． 参考公式：线性回归方程中 ，，. 参考数据：，， 17. 如图，在长方体中，，点E在AB上，且AE=1． （1）求证： （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 在中，角所对的边分别为，且． （1）若，的面积为，为边的中点，求的长度； （2）若为边上一点，且，，求的最小值． 19. 已知函数. （1）若函数在处的切线平行于直线，求实数的值； （2）若方程在上恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $