精品解析：广东省惠州市惠阳中山中学2027届高三第一学期第二次阶段性质量检测数学试题

2027届高三第一学期第二次阶段性质量检测 数　　学 考试时间：2026年10月30日　　下午3:00——5:00　　　　试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚. 2．选择答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 某市10000名考生参加某次模拟考试，若他们的数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩在分之间的考生约有（ ） （附：若，则） A. 1570人 B. 2720人 C. 3414人 D. 6827人 5. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最小值为 10. 已知向量，则（    ） A. 向量的夹角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量在向量上的投影向量为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数不存在极值点 B. 当时，函数有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若是函数的一条切线，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知则______． 13. 的展开式中，的系数为30，则a的值为______． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则10次传球后球在甲手中的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 16. 北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业､礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： （1）甲测试合格的概率； （2）甲答对的试题数X的分布列和数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是边长为2的等边三角形， （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆，离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积最大值. 19. 已知函数 （1）若，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）讨论函数的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三第一学期第二次阶段性质量检测 数　　学 考试时间：2026年10月30日　　下午3:00——5:00　　　　试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚. 2．选择答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，按交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法结合复数模计算方式可得答案. 【详解】， 则. 3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，， 所以. 4. 某市10000名考生参加某次模拟考试，若他们的数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩在分之间的考生约有（ ） （附：若，则） A. 1570人 B. 2720人 C. 3414人 D. 6827人 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布关于均值对称的性质，结合给定的区间概率计算出成绩在分的概率，再乘以总考生数得到人数. 【详解】由题知数学成绩，因此均值，标准差，正态分布曲线关于对称， 数学成绩在之间的概率，即， 总考生共10000人，因此该分数段人数约为人. 5. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】等差数列中，由，得，即，解得， 而，则公差，所以. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，CD选项错误； 又当时，，B选项错误. 故选：A. 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】因为的渐近线上一点满足，且， 所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以， 所以. 故选：B 8. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期，对称轴，零点以及最值的性质逐一判断即得. 【详解】对于A，由可知，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，，故的图象不关于对称，故B错误； 对于C，因，故的一个零点为，即C正确； 对于D，对于，当时，即时， 也即当时，，故D错误. 10. 已知向量，则（    ） A. 向量的夹角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由向量夹角的余弦公式计算即可求解判断；对于B，由垂直关系的向量表示计算求解即可判断；对于C，由平行关系的向量表示计算求解即可判断；对于D，由投影向量定义计算求解即可判断. 【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为， 因为，所以向量的夹角为，故A正确； 对于B，因， 所以，故B正确； 对于C，， 故若，则，解得，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数不存在极值点 B. 当时，函数有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若是函数的一条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，分析函数的单调性，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于选项A：当时，可知均在上单调递增， 则均在上单调递增，所以函数不存在极值点，故A正确； 对于选项B：当时，则，且， 令，解得或；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 且， 结合单调性可知：在内有且仅有1个零点， 当时，， 所以有且仅有1个零点，故B错误； 对于选项C：因为， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于选项D：设是函数的一条切线，设切点坐标为， 因为，由题意可得，① 所以曲线在处的切线方程为， 即，则，② 联立①②可得，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 13. 的展开式中，的系数为30，则a的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二项式通项公式结合条件即得. 【详解】由题可得展开式通项公式为， 令，解得，则有，其系数， 所以． 故答案为：6. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则10次传球后球在甲手中的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过定义事件和概率，利用事件之间的关系推导出概率的递推公式，再根据递推公式确定数列的性质，进而求出通项公式，最后代入具体的传球次数求出相应概率. 【详解】记表示事件“经过次传球后，球再甲的手中”，设次传球后球再甲手中的概率为， 则有. 所以 ， 即， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 代入得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 所以. 16. 北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业､礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： （1）甲测试合格的概率； （2）甲答对的试题数X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望：【解析】 【分析】（1）利用古典概型求概率的公式求概率即可； （2）利用古典概型求概率的公式求概率，然后写分布列，最后求期望即可. 【小问1详解】 设甲测试合格为事件，则. 【小问2详解】 甲答对的试题数可以为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是边长为2的等边三角形， （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接． ∵四边形为菱形，且，则， 又∵为等边三角形，∴， 而，平面，∴平面． 又∵平面，∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可得平面，即可根据线面垂直的性质求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 若，由是边长为2的等边三角形可得， ， 而，．以点为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建系． 则，，，，． 故，，， 设平面的法向量， ∴，∴即， 令，则，，所以，平面的法向量． 设直线与平面所成角为， ∴, 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知椭圆，离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求由此可得椭圆方程； （2）当直线的斜率不存在时，求的长，再求的面积，当直线的斜率存在时，设其方程为，联立方程组，结合设而不求法求弦长，再求面积解析式，再求最大值即可. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为， 所以， 因为椭圆过点， 所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线的方程为或， 若直线的方程为，联立可得，， 所以， 所以的面积为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 因为坐标原点到直线的距离为，所以， ， 联立，可得， 方程的判别式 ， 设，， 则为方程的两个根， 所以， 所以， 即， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以， 所以面积最大值为. 综上，当直线方程为或时，面积取最大值，最大值为. 19. 已知函数 （1）若，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）讨论函数的零点个数. 【答案】（1） （2）时，在单调递减，时，在单调递减，在单调递增. （3） 当时，只有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，只有一个零点； 当时，没有零点； 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可直接求出切线方程； （2）对函数求导并对参数进行分类讨论，得出导函数符号即可得出函数单调性； （3）根据（2）中的结论求出函数最小值，再利用零点存在性定理即可判断出函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，则， 此时，所以切线方程为， 即. 【小问2详解】 的定义域为，， 显然恒成立， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 （ⅰ）若，由（2）知，在单调递减，又. 取且时，，所以只有一个零点； （ⅱ）若，由（2）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 故时有两个零点； 综上所述：当时，只有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，只有一个零点； 当时，没有零点； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $