精品解析：广东惠州市惠阳区第一中学高中部2026-2027学年高三上学期第一次质量检测数学试卷

惠阳一中高中部2026-2027学年第一学期高三年级 第一次质量检测数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：欧勇波 审核人：彭林勋 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 ★ 祝：大家考的都会，做的都对，取得好成绩！★ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据2、3、4、4、7的平均数为（ ） A. 1.2 B. 2.8 C. 4 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】平均数为． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式求解集合，再由集合的交集即可求解. 【详解】因为，所以，解得，则. 3. “”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，充分条件、必要条件判断即可. 【详解】由指数函数的单调性可知， 而不能推出，（例如时函数意义）， 又， 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 4. 若函数（且）恒过定点，则函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数型函数过定点求出，的值，进而得到的解析式，根据的单调性求值域即可. 【详解】因为对数函数恒过，所以当恒过定点， 即，. 所以. 因为在单调递增，，， 所以函数在上的值域为. 故选：B. 5. 已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 6. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的奇偶性，结合特殊区间的函数值正负，得到答案 【详解】的定义域为R， ， 故为奇函数，排除BC选项， 当时，，则， 又，，故，故， A选项满足要求，D选项错误. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定的范围，再确定的范围，将化为同底，根据对数函数单调性比较大小. 【详解】因为， ， ， 且，所以. 8. 已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 1或4 【答案】B 【解析】 【分析】分段处理函数，把方程转化为直线与图像交点问题，分别统计与两段的交点数量，相加等于，得到． 【详解】作出的图象如图所示， 根据上图可知和的图象有个交点，即满足条件． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数y（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立关于的线性回归方程，则（ ） A. 表中数据的第80百分位数为1.7 B. C. 当时，残差为0.02万人 D. 预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于 A： 第一步，将 从小到大排序：1.2，1.4，1.5，1.6，1.8，共 个数据， 计算 是整数，第 80 百分位数为第 4 项和第 5 项的平均值：,故A 正确; 对于B: ,故B 错误; 对于 ： 回归方程： 当时， 真实值： 残差(万人),故C 正确; 对于 D： 2021 对应 , 2026 对应 代入回归方程： ,故D 正确. 10. 已知函数（，且）为偶函数，，恒成立，则实数的可能取值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】由偶函数定义可得，令，分离参数得，由对勾函数性质计算即可求解. 【详解】由是偶函数可得， 即，得， 所以，令， ，此时，，即， 令，因为在上单调递减， 所以，即可以取，0，1. 故选：BCD 11. 已知且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用指数函数的单调性即可判断；对于B，根据利用不等式的性质即可判断；对于C，根据指数函数的性质即可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】因为，故，A选项错误； 因为，且，则，所以，B选项正确； 因为，所以，所以，C选项正确； 当时，，D选项错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合对数的运算性质，根据题中分段函数解析式运算求解即可. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数是R上单调函数，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【详解】若是R上单调递减，当时，要使单调递减，需，即； 当时，要使单调递减，需，与矛盾，故单调递减不可能. 若是R上单调递增，当时，要使单调递增，需，即； 当时，要使单调递增，需， 分段点处衔接应满足，得，即. 所以. 14. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得出函数的对称性和周期性，利用周期性计算的值. 【详解】因为为奇函数，所以①， 因为为偶函数，所以②， 由②得③，结合①③得， 则，所以函数的周期为， 由，可知， 因此可将所求的和式两两配对：， 因为周期为，所以. 故答案为：. 四、解答题：共5题，77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角B的大小； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为 所以由正弦定理得 即 所以 因为 ，所以 又 ，所以 所以 ,即 因为 ,所以 ． 【小问2详解】 因为 ， 所以 当且仅当 时，取等号， 所以 16. 随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半.为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了名网民，得到如下数据. 男性网民 女性网民 合计 喜欢网络文学 不喜欢网络文学 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢网络文学与性别有关联？ （2）某网络文学平台组织网民进行文学挑战，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战，然后由平台组织专家打分确定胜负.根据以往经验，甲组第次挑战获胜的概率为，若甲组上一次挑战获胜，则下一次挑战获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战获胜的概率为.已知按此规则进行了次挑战，每次挑战有且仅有个组获胜，求甲组获胜次数的分布列与数学期望. 附：，其中. 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，不能认为喜欢网络文学与性别有关联. （2） 数学期望 【解析】 【分析】根据列联表数据计算，独立性检验结合题中给的小概率值进行判断. 先确定甲组获胜次数的所有可能取值：0，1，2，3.因为每一步概率受上一轮结果影响，逐条算概率再按获胜次数合并，写出分布列计算期望. 【小问1详解】 零假设：喜欢网络文学与性别无关联. 根据列联表中数据得：. 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此不能认为喜欢网络文学与性别有关联. 【小问2详解】 表示次挑战中甲组获胜的次数，所以的可能取值：，，，， 由已知条件得： 第次挑战甲组胜：；甲组败：.上次胜本次胜： ；上次胜本次败：. 上次败本次胜：；上次败本次败：. 记：甲组胜，甲组败. ： ++： ++： ： 分布列为： 数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）已知平面 ①证明：； ②求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接， 如图所示， 因为分别为的中点，所以， 因为 平面，平面， 所以平面 ， 同理平面， 又平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）①因为平面，平面，所以， 因为底面为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以； ② 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明平面平面可得结果； （2）①通过证明线面垂直即可证得线线垂直；②以 为 轴建立空间直角坐标系，求出直线方向向量与平面法向量，再由线面角的向量求法即可得解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ①略； ②由①得，结合为的中点，则， 分别以 为 轴建立如图所示空间直角坐标系， 由于， 则，，，，， 所以，，， 设平面法向量为， 则 ，令，则，所以， 设直线与平面所成角为，为锐角， 则. 18. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）由（1）知，所以右焦点， 设过点的直线方程为（），交椭圆于， 将直线方程代入椭圆方程， 得，化简得， 由判别式，得 ， 根据韦达定理， 直线的斜率分别为， 因为， 所以， 分子为，所以为定值； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，结合求出即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）由（1）可知右焦点，设直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示交点的坐标关系，再计算斜率和，即可得证； （ii）三角形面积可以表示为，其中，利用韦达定理将用表示，通过换元求最值. 【小问1详解】 由离心率，得， 所以，即， 将点代入椭圆方程，得， 将代入上式，得 ， 从而， 所以椭圆 的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略； （ii）由于 在轴上，，直线过点，如图所示， 的面积为， ， 令，则，，， 由基本不等式，当且仅当（即）时取等号， 此时， 所以面积的最大值为. 19. 已知函数， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若函数有3个零点，求实数的取值范围； （3）当时，对任意，，满足.证明：. 【答案】（1） （2） （3）先证明：当时，， 令， 则，当时，且， 所以，又因为，故， 而，因为，， 因此，对，，分别应用上式求和， 可得， 由，得，故不等式成立. 【解析】 【分析】（1）先求切点函数值、再求该点导数值作为斜率，最后写出直线方程即可； （2）由判断单调性，再由极大值、极小值确定3个零点的条件； （3）证明时的单变量不等式，再对各求和. 【小问1详解】 因为，， 故切线斜率为，切点为， 斜率，则，可得， 因为，所以 【小问2详解】 由，若，则， 故只有一个零点，至多有2个零点，不合题意， 若，则函数单调递增，故不可能有3个零点， 因此只需考虑，此时，且或， 则当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为时，，时，， 故要有3个零点，只需满足，，计算可得， 因为，所以，故， 又，故实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳一中高中部2026-2027学年第一学期高三年级 第一次质量检测数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：欧勇波 审核人：彭林勋 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 ★ 祝：大家考的都会，做的都对，取得好成绩！★ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据2、3、4、4、7的平均数为（ ） A. 1.2 B. 2.8 C. 4 D. 7 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数（且）恒过定点，则函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 25 6. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 1或4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数y（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立关于的线性回归方程，则（ ） A. 表中数据的第80百分位数为1.7 B. C. 当时，残差为0.02万人 D. 预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 10. 已知函数（，且）为偶函数，，恒成立，则实数的可能取值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 11. 已知且，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则______. 13. 已知函数是R上单调函数，则的取值范围是______ 14. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则_______． 四、解答题：共5题，77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角B的大小； （2）若，求的最小值. 16. 随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半.为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了名网民，得到如下数据. 男性网民 女性网民 合计 喜欢网络文学 不喜欢网络文学 合计 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢网络文学与性别有关联？ （2）某网络文学平台组织网民进行文学挑战，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战，然后由平台组织专家打分确定胜负.根据以往经验，甲组第次挑战获胜的概率为，若甲组上一次挑战获胜，则下一次挑战获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战获胜的概率为.已知按此规则进行了次挑战，每次挑战有且仅有个组获胜，求甲组获胜次数的分布列与数学期望. 附：，其中. 17. 如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）已知平面 ①证明：； ②求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 19. 已知函数， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若函数有3个零点，求实数的取值范围； （3）当时，对任意，，满足.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $