精品解析：四川眉山市东坡区苏祠初级中学2026-2027学年八年级上学期半期考试数学试卷

苏祠初中2025级八上半期考试数学试卷（2026.10） （考试时间：120分钟 总分：150分） 一.选择题（共12小题，每题4分） 1. 在实数：中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. （﹣2）3的立方根是﹣2 B. 0.4的算术平方根是0.2 C. 的立方根是4 D. 16的平方根是4 3. 估计的值（ ） A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 若中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 7. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 有两边一角分别相等的两个三角形全等 B. 面积相等的三角形是全等三角形 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 无限小数是无理数 8. 边长分别为和（其中）的两个正方形按如图摆放，如果，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 要使是完全平方式，那么的值为（ ） A. B. 5或 C. D. 或7 10. 计算（n为正整数）的个位数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 11. 已知，如图，，，与相交于点，则下列正确的个数为（ ） ；；；共有对全等三角形． A. B. C. D. 12. 设，，．现给出实数，，三者之间的四个关系式： ①；②；③；④． 其中，正确的关系式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题（共6小题，每题4分） 13. 计算：______ 14. 已知，是实数，，则的值为______ 15. 已知二次三项式分解因式后有一个因式是，则另一个因式为______. 16. 已知，则的值为______； 已知，，多项式的值为______. 17. 已知，的最小值为______． 18. 如图，在中，点为边中点，，垂足为．以为斜边作等腰，使得直角顶点恰好在上．若，，则的值为______． 三.解答题 19. 计算下列各小题 （1） （2） （3） （4） 20. 分解因式 （1）. （2）； （3） （4） 21. 先化简，再求值：，其中，满足，. 22. 解答下列各题 （1）已知正数的两个不同平方根分别是和，是的整数部分，求的立方根． （2）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： 23. 如图所示，点，分别在线段，上，与相交于点，， 证明：. 24. 如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． （1）求证：． （2）求证：． 25. 阅读材料：若，求，的值. 解：∵，∴， ∴，∴，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1），求的值． （2）当，为何值时，有最小值，最小值为多少？ （3）求代数式的最小值是多少？并求出此时，满足的数量关系． 26. 理解图形，完成下列各题： （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形.用两种方法表示阴影部分的面积，可得数学等式是______. （2）【知识迁移】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，求的值.设，，则，. ∴. 请仿照上面的方法求解下面问题： 若，求的值. （3）【解决问题】已知，求的值； （4）【迁移应用】有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片摆成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形.若图2和图3中阴影部分的面积分别为9和56，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求图4阴影部分的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏祠初中2025级八上半期考试数学试卷（2026.10） （考试时间：120分钟 总分：150分） 一.选择题（共12小题，每题4分） 1. 在实数：中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：是有理数； 是无理数； 故选B． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. （﹣2）3的立方根是﹣2 B. 0.4的算术平方根是0.2 C. 的立方根是4 D. 16的平方根是4 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方根的定义及平方根的定义依次判断即可得到答案． 【详解】解：A．（﹣2）3的立方根是﹣2，故本选项符合题意； B.0.04的算术平方根是0.2，故本选项不符合题意； C. 的立方根是2，故本选项不符合题意； D.16的平方根是±4，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查立方根的定义及平方根的定义，熟记定义是解题的关键． 3. 估计的值（ ） A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】估算的大小，再估计的值． 【详解】解：∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴2＜-1＜3， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的估算，掌握几个非负整数的算术平方根的大小比较方法是解决问题的关键． 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从因式分解的恒等性与分解彻底性入手，结合平方差公式逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵，∴此选项错误； B、∵，变形正确且分解彻底，∴此选项正确； C、∵，原式未分解彻底，∴此选项错误； D、∵，∴此选项错误． 5. 如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形面积公式求出边长，结合已知条件得出的长，再根据数轴上点的位置关系计算点表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为2，且点在点的左侧， ∴点表示的数为． 6. 若中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式把式子化简，然后根据题意，求出，即可． 【详解】 ， ∴含的一次项为：， ∴当不含的一次项时，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，计算时注意待定系数法的运用． 7. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 有两边一角分别相等的两个三角形全等 B. 面积相等的三角形是全等三角形 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 无限小数是无理数 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，是假命题； B、面积相等的三角形不一定全等，是假命题； C、直角三角形两个锐角和为，即互余，是真命题； D、无限循环小数是有理数，无限不循环小数才是无理数，是假命题． 8. 边长分别为和（其中）的两个正方形按如图摆放，如果，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用两个正方形面积再加上阴影三角形的面积减去空白三角形的面积，即可得到部分阴影部分的面积，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：， ， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：． 9. 要使是完全平方式，那么的值为（ ） A. B. 5或 C. D. 或7 【答案】B 【解析】 【分析】将原式对应完全平方公式的结构，根据中间项的两种符号情况列方程求解值． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ ，即， 当时，，； 当时，，， ∴的值为5或． 10. 计算（n为正整数）的个位数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为，连续运用平方差公式化简原式，再根据3的幂次的个位数字循环规律求解． 【详解】解：将变形为， 原式 ∵的幂次的个位数字按循环，周期为， 由题可知是的倍数， ∴的个位数字为． 11. 已知，如图，，，与相交于点，则下列正确的个数为（ ） ；；；共有对全等三角形． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．首先根据可证，从而可证，再根据可证，根据全等三角形对应边相等可证，可知正确；根据可证，根据全等三角形的对应角相等可证，可知正确；没有已知条件可以证明，所以错误；根据可证，由和可知、、，所以共有对全等三角形． 【详解】解：在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ，故正确； 由可知， 在和中， ， ，故正确； 没有已知条件可以证明，故错误； 由和可知、、， 由可知， 在和中， ， 共有对全等三角形， 故正确． 一共有个结论正确． 故选：B． 12. 设，，．现给出实数，，三者之间的四个关系式： ①；②；③；④． 其中，正确的关系式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ， ， ∴，．① ，故①正确． ②，故②正确． ③ ，故③正确． ④ ，即，故④正确． 二.填空题（共6小题，每题4分） 13. 计算：______ 【答案】 【解析】 【分析】该计算式为单项式除以单项式运算，需按对应规则拆分系数、同底数幂分别计算，保留被除式中独有的字母及其指数． 【详解】解：单项式除以单项式的运算规则为，将系数、同底数幂分别相除，被除式中单独含有的字母连同它的指数作为商的一个因式． 首先计算系数部分的商：； 再计算同底数幂的商：； 被除式中单独含有的字母没有在除式中出现，因此直接保留在商中； 将上述各部分的结果相乘，得到原式的计算结果为． 14. 已知，是实数，，则的值为______ 【答案】 1 【解析】 【分析】利用二次根式被开方数非负的性质，联立不等式确定x的唯一取值，代入原式求出y的值，再计算的结果. 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴，即，，即， ∴同时满足两个条件的x的取值为； 将代入，得， ∴. 15. 已知二次三项式分解因式后有一个因式是，则另一个因式为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次项系数确定另一个因式的一次项系数，利用多项式乘法对应项系数相等求解未知常数项，即可得到另一个因式． 【详解】解：设另一个因式为， ∵ ， 与原二次三项式的对应项系数比较得： ， 解得， ∴ 另一个因式为． 16. 已知，则的值为______； 已知，，多项式的值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将不同底数的幂转化为同底数幂，结合同底数幂的乘法、幂的乘方法则，通过指数相等建立等式求解． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ∴ 解得； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 17. 已知，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过已知等式将b用含a的式子表示，代入所求代数式利用完全平方公式变形，借助代数式的性质求解最小值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 将代入，得 ∵， ∴， ∴的最小值为． 18. 如图，在中，点为边中点，，垂足为．以为斜边作等腰，使得直角顶点恰好在上．若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交的延长线于点H，设，证明，则，证明，得到，利用线段的和差关系列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：过点B作交的延长线于点H，如图， 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵点为边中点， ∴ ∵交的延长线于点H，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得 ∴，， ∴． 三.解答题 19. 计算下列各小题 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据乘方，算术平方根，立方根，有理数加减乘除的混合运算法则，解答即可； （2）根据积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，整式的加减，解答即可． （3）构造平方差公式，解答即可． （4）构造完全平方公式，解答即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 【小问3详解】 解：原式． 【小问4详解】 解：原式． 20. 分解因式 （1）. （2）； （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先用提取公因式法，再用完全平方公式解答即可； （2）先用提取公因式法，再用平方差公式解答即可； （3）直接利用十字相乘法解答即可； （4）先分组，得到两个代数式的平方差，再用平方差公式解答即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 21. 先化简，再求值：，其中，满足，. 【答案】，3 【解析】 【分析】展开中括号内的整式并合并同类项，完成整式除法化简后代入给定的，值计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 当，时，原式． 22. 解答下列各题 （1）已知正数的两个不同平方根分别是和，是的整数部分，求的立方根． （2）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列出方程求出，进而求出；再根据估算无理数的方法确定的值，代入求值后根据立方根的定义求解； （2）根据数轴确定、的符号，结合，利用二次根式的性质和绝对值的意义化简． 【小问1详解】 解：∵正数的两个不同平方根分别是和， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的立方根是； 【小问2详解】 解：由数轴可知，，且， ∴，， ∴，， ∴原式=， =， =． 23. 如图所示，点，分别在线段，上，与相交于点，， 证明：. 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴. 【解析】 【详解】略 24. 如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 在和中 ∴ （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）由和，推导出，再结合，，用 SAS 证明． （2）先由等腰直角三角形性质得到，利用全等得到，算出，从而证明． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 25. 阅读材料：若，求，的值. 解：∵，∴， ∴，∴，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1），求的值． （2）当，为何值时，有最小值，最小值为多少？ （3）求代数式的最小值是多少？并求出此时，满足的数量关系． 【答案】（1） （2）当，时，代数式有最小值，最小值为 （3）代数式的最小值是，此时，满足的数量关系为 【解析】 【分析】（1）把配方，根据非负性的性质，求代数式的值，解答即可． （2）把配方，根据非负性的性质，解答即可． （3）把配方，仿照（2）的思路，解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． ∴． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， ， ∵，， ∴， 故当，时，式子取得最小值， 此时，， 故当，时，代数式有最小值，最小值为． 【小问3详解】 解：根据题意，得 ， ， ∵， ∴， 故当时，式子取得最小值， 此时，， 故当时，代数式有最小值，最小值为． 26. 理解图形，完成下列各题： （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形.用两种方法表示阴影部分的面积，可得数学等式是______. （2）【知识迁移】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，求的值.设，，则，. ∴. 请仿照上面的方法求解下面问题： 若，求的值. （3）【解决问题】已知，求的值； （4）【迁移应用】有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片摆成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形.若图2和图3中阴影部分的面积分别为9和56，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求图4阴影部分的面积. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）通过观察图形可用两种方法表示该大正方形的面积，即可得到数学等式； （2）设，，则，，再代入完全平方公式，解得，即可求解； （3）由已知先给方程两边同除以得到，再两边平方，利用完全平方公式得：，继续平方即可求出的值； （4）首先设两个正方形的边长为，，由图2求出，再根据图3求出，进而求出，然后表示出图4的阴影面积，再整理代入计算即可． 【小问1详解】 解：观察图形用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是； 【小问2详解】 解：设，，则，， ∵完全平方公式， ∴代入，，得， 解得， ∴， 即的值为； 【小问3详解】 解：由题意知：， ∵， ∴， ∴=16，即， ∴ ∴=144， ∴； 【小问4详解】 解：正方形，的边长各为，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图3中阴影部分的面积为， ∴， 解得：或（舍去）； 图4阴影部分的面积为：， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $