精品解析：四川省达川第四中学2026-2027学年 上学期期中考试八年级数学试题

四川省达川第四中学2026年（秋）期中考试 初二年级数学试题 （分值：满150分 时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用槡皮擦干净后、再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 在3.14，，，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 5，6，7 B. 3，4，5 C. 1，2， D. ，，1 3. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 5 4. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 5. 下列各式化成最简二次根式正确的是（       ） A. B. C. D. 6. 如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若点在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 已知点，点关于x轴对称，则a与b的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 12. 在平面直角坐标系中，已知第一象限的点到x轴的距离为2，则a的值是________． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则________． 14. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为______． 15. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为______（杯壁厚度不计）． 三、解答题（解答时写出必要解题过程，共90分） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 17. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． （1）化简M； （2）当，时，求M的值． 18. 已知，． （1）求的值； （2）已知m为a的整数部分，为b的小数部分．求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的 （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 20. 在平面直角坐标系中，有点． （1）当时，求点P到x轴的距离； （2）若点P的横坐标比纵坐标少5，求点P的坐标； （3）点的坐标为，直线轴，求点P的坐标． 21. 阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标系内有两点，连接M，N，则线段的中点坐标为．例如，点，则线段的中点坐标为，即． （1）已知点，则线段的中点坐标为___________； （2）如图，坐标为坐标为，点坐标为，连接，．线段是的中线，求的长． 22. 【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． （1）填空：______，______； （2）如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； （3）在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 24. 阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝． 因为+＞，所以，﹣＜． 再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝． 当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较﹣和﹣的大小； （2）求y＝﹣+3的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达川第四中学2026年（秋）期中考试 初二年级数学试题 （分值：满150分 时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用槡皮擦干净后、再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 在3.14，，，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根，利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：3.14是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 是无理数； ，是无理数，故是无理数； 是无理数； ，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 综上所述，无理数有、、、，共4个， 故选：D． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 5，6，7 B. 3，4，5 C. 1，2， D. ，，1 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，符合题意； C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意； D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股数，注意：①一组勾股数中的三个数必须是正整数，例如：2．5、6、6．5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；掌握勾股数的定义是解题的关键． 3. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：D． 4. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 5. 下列各式化成最简二次根式正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标．根据点的坐标特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，结合小手在第一象限，即可得出答案． 【详解】解：小手在第一象限，第一象限内点的横坐标大于0，纵坐标大于0，故小手盖住的点的坐标可能是， 故选：C． 7. 若点在轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查y轴上点的特点，根据y轴上点的横坐标为求出m值，即可求解． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， 故选：D． 8. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标．根据，两点的坐标分别为，可以判断原点的位置，然后确定点坐标即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故选：B． 9. 已知点，点关于x轴对称，则a与b的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征的知识，解题的关键是理解关于轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求出和的值； 【详解】解：若，关于轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数， 横坐标关系：； 纵坐标关系：， 因此，，，对应选项C， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究，结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1．利用规律求解即可． 【详解】解：由图可得，从开始，纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1． ， 的纵坐标与的纵坐标相同， 的坐标为， 故选A． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 12. 在平面直角坐标系中，已知第一象限的点到x轴的距离为2，则a的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，结合点在第一象限纵坐标为正，可得关于的方程，求解即可，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵第一象限的点到x轴的距离为2， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标关系，依题意，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，列出方程求解和，再计算的值，代入计算即可． 【详解】解：因为点，与点，关于原点对称， 所以，． 解得，． 所以， 故． 故答案为：． 14. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积， 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查学生对图形的分解计算能力，先利用勾股定理求出的值是解题的关键． 15. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为______（杯壁厚度不计）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，轴对称的性质和勾股定理，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，根据勾股定理求出最后结果即可． 【详解】解：如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程， 由题意得，， ， ∴， 根据勾股定理有： ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 三、解答题（解答时写出必要解题过程，共90分） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）， （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，以及根据平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握实数的性质以及平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先计算0指数幂、绝对值、二次根式化简和负指数幂，再进行二次根式的加减运算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算各各项，再进行加减运算即可； （3）根据平方根的定义解方程即可； （4）根据立方根的定义解方程即可； 【小问1详解】 解： 原式 ； 【小问2详解】 解： 原式 ； 【小问3详解】 解：移项，得， 两边同除以2，得， 两边同时开平方，得， 解得，； 【小问4详解】 两边同除以2，得， 两边同时开立方，得， 解得． 17. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． （1）化简M； （2）当，时，求M的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、二次根式的混合运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，，从而得出，，，再根据二次根式的性质化简即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． 【小问1详解】 解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ； 【小问2详解】 解：当，时，原式． 18. 已知，． （1）求的值； （2）已知m为a的整数部分，为b的小数部分．求的值． 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理数，二次根式的混合运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别整理得，，再分别代入，进行计算，即可作答． （2）由（1）得，，则，故，即，则，得，即，然后代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：， ， 则 ； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵， ∴， 则， ∴， ∵m为a的整数部分， 即； ∵ ∴， 则， ∴， ∵为b的小数部分， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的 （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称规律：关于轴对称，横坐标变号，纵坐标不变，即可画出； （2）根据对称规律，直接写出坐标即可； （3）利用“割补法”，将放入一个矩形中，减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中的图形可得，． 【小问3详解】 解：的面积为：． 20. 在平面直角坐标系中，有点． （1）当时，求点P到x轴的距离； （2）若点P的横坐标比纵坐标少5，求点P的坐标； （3）点的坐标为，直线轴，求点P的坐标． 【答案】（1）7 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据得点P的坐标为，即可得到点P到x轴的距离； （2）列得，求出a即可； （3）根据直线轴，得到，求出a即可． 【小问1详解】 解：当时，点P的坐标为， ∴点P到x轴的距离为7； 【小问2详解】 ， 解得， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 ∵直线轴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为． 【点睛】此题考查了点到坐标轴的距离，平行于坐标轴的点的坐标特点，解一元一次方程，正确理解坐标与图形的关系是解题的关键． 21. 阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标系内有两点，连接M，N，则线段的中点坐标为．例如，点，则线段的中点坐标为，即． （1）已知点，则线段的中点坐标为___________； （2）如图，坐标为坐标为，点坐标为，连接，．线段是的中线，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，中点坐标公式，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据中点坐标公式即可得到结论； （2）过点作轴于，根据的坐标，根据勾股定理得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴线段的中点坐标为，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作轴于， ∵， ∴中点的坐标为，即， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 在 中，， 由勾股定理得，． 22. 【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？ 【答案】消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：过点作， 由题意，得， A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． （1）填空：______，______； （2）如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； （3）在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】（1），3 （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、非负数的性质、象限内点的坐标的特征，根据题意正确的列出表示各三角形面积的式子并解方程是解答本题的关键． （1）根据非负数的性质可得a、b的值； （2）过点M作轴于点N，根据三角形面积公式列式整理即可； （3）先根据（2）计算，再分两种情况：当点P在y轴正半轴上时、当点P在y轴负半轴上时，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴且， 解得：，； 【小问2详解】 解：过点M作轴于点N， ，， ， 又点在第三象限， ， ； 【小问3详解】 解：线段，当时，， ， 点P有两种情况：①当点P在y轴正半轴上时，设点， ， 解得：， ∴此时点； ②当点P在y轴负半轴上时，设点， ， 解得：， 此时点； 综上分析可知：点P的坐标为或． 24. 阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝． 因为+＞，所以，﹣＜． 再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝． 当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较﹣和﹣的大小； （2）求y＝﹣+3的最大值． 【答案】（1）＜；（2）+3 【解析】 【分析】（1）先根据材料分别给﹣和﹣，分子有理化，然后再进行比较即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，然后再对无理数部分分子有理化，然后再求最大值即可． 【详解】解：（1）， ， 而， ∴＞， ∴＜； （2）∵x+1≥0，x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵y＝＝， 当x＝1时，分母有最小值， ∴y＝有最大值是+3． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用以及阅读理解能力，根据分母有理化理解分子有理化的方法是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $