第19讲 解一元一次方程（9大题型共79题+解题技巧）--2026-2027学年人教版七年级数学上册
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内容正文：
第19讲 解一元一次方程
学习目标
1、掌握用合并同类项、移项、去括号、去分母的方法解一元一次方程.
2、了解用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
核心素养：
运算能力
模型观念
应用意识
知识结构
知识点一
利用合并同类项解一元一次方程
1、合并同类项的意义将一元一次方程同侧的含有未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为的简单形式，从而更接近(常数)的形式,便于求解.
2.合并同类项的依据：合并同类项的法则.
3.利用合并同类项解一元一次方程的步骤
步骤1：合并同类项 步骤2：系数化为1
注意：(1)“系数化为1”使方程由变形为（常数），依据是等式的性质2.
(2)像这样系数为1或的项，在合并同类项时不要漏掉.
提醒：利用合并同类项解一元次方程时，要明确这类方程的特点：等号一边是只含未知数的项，另一边只含常数项.
点拨：合并同类项的实质是根据乘法分配律，把同类项的系数相加，起到化简方程的作用.
【基础练习1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）用合并同类项的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：合并同类项，得．
系数化为1，得；
（3）解：合并同类项，得．
系数化为1，得．
【基础练习1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）判断下列方程的求解过程是否正确，说明原因：
(1)．
解：合并同类项，得．系数化为1，得．
(2)．
解：合并同类项，得．
系数化为1，得．
【答案】(1)不正确，
理由是：∵
，
合并同类项得：
，
系数化成
1得：．
(2)不正确，
理由是：
，
合并同类项得：
，
系数化成
1得：．
【分析】本题考查了解一元一次方程；
（1）合并同类项时系数，不是，系数化成1即可；
（2）合并同类项，系数化成1（两边都除以9）即可．
【详解】（1）见答案
（2）见答案
利用移项解一元一次方程
知识点二
1、定义：把等式一边的某项移到另一边作移项.
戴从右边移到左边.
2、依据：等式的性质1.
3、两个变化:位置变化和符号变化.
位置变化：从等号的右边移到左边 符号变化：由正变负
注意：(1)方程中的项包括它前面的符号.(2)在解方程时，习惯上把含有未知数的项移到等
号的左边，不含有未知数的项移到等号的右边.(3)移项时一定要变号。
提醒：移项和加法交换律的区别：移项是把某些项从等式的一边移到另一边，移项要变号：而加法交换律中交换加数的位置只是改变排列的顺序，符号随着移动且不改变。
点拨：移项的目的是将含有未知数的项移到方程的一边，将不含未知数的项移到方程的另一边，使方程更接近于的形式.
【基础练习2-1】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）解方程：．
【答案】
【分析】先移项、合并同类项，再系数化为，即可得出方程的解．
【详解】解：
移项、合并同类项得，，
系数化为得，．
【基础练习2-2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）阅读下面解方程的过程回答问题．
解方程：．
解：移项，得．（A）
合并同类项，得．（B）
系数化为1，． （C）
(1)上述解方程的过程中，在哪一步骤有错误？请写出该步骤的代号：___________；
(2)错误的原因：___________；
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)A，C
(2)步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了
(3)解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键．
首先观察解题过程，步骤A移项时没有变号，步骤C得数错误，即可解答（1），（2）；然后根据移项，合并同类项，系数化为1的过程解答（3）即可．
【详解】（1）解：观察解题过程，步骤A移项时没有变号，步骤C得数错误，
故答案为：A，C．
（2）解：步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了；
故答案为：步骤A，移项后和都没有变号，步骤C是系数化为1时，将等号右边分子与分母的位置颠倒了．
（3）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
利用去括号解一元一次方程
知识点三
1、 方程中去括号的含义当方程中含有括号时,根据乘法分配律,在解方程的过程中把含有的括号去掉就是方程中的去括号.
2、去括号法则
将括号外的因数连同它前面的符号看作一个整体，与括号内的各项相乘.
3、去括号的目的
与移项、合并同类项、系数化为1等变形相结合，最终将一元一次方程转化为 (常数)的形式.
提醒：(1)方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同.
(2)去括号时要按一定的顺序，可以由内向外去括号，也可以由外向内去括号。一般情况下采用由内向外去括号.
(3)去括号时，不要漏乘括号内的每一项.
【基础练习3-1】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）在学习了《解一元一次方程》后，小罗同学解了这样一个方程：，发现得到的解与其他同学的不一样，下面是小罗同学的解题过程：
解：去括号，得．……第一步
移项，得．……第二步
合并同类项，得．……第三步
系数化为1，得．……第四步
(1)小罗同学在第_____步计算时出现了错误；
(2)请你写出正确的解题过程．
【答案】(1)一
(2)正确解题过程如下：
去括号，得；
移项，得；
合并同类项，得；
系数化为1，得．
【分析】本题考查解一元一次方程的基本步骤，包括去括号、移项、合并同类项、系数化为1，关键是掌握去括号法则，避免漏乘括号内的项．
（1）考查对去括号法则的应用，需检查每一步运算是否符合法则；
（2）考查完整解一元一次方程的过程，需严格遵循解方程的步骤进行运算．
【详解】（1）解：观察小罗同学的解题过程，第一步去括号时，根据乘法分配律，应展开为，应展开为，而小罗错误写成，故第一步计算出现错误；
故答案为：一；
（2）略
【基础练习3-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：去括号，得．
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得．
（2）解：去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
利用去分母解一元一次方程
知识点四
1、方程中去分母的含义
当方程中未知数的系数为分数时，根据等式的性质2,将方程两边都乘同一个数
(各分母的最小公倍数),使方程中的分母为1,约去分母的过程叫作方程中的去分母.
2、去分母的步骤
(1)找出各分母的最小公倍数;(2)方程两边同时乘这个最小公倍数，约去分母.
提醒：(1)如果分子是一个多项式，那么在去分母时，不要忘记将分子看作一个整体加上
括号(2)去分母时不要漏乘不含分母的项.
【基础练习4-1】（25-26七年级上·广东·阶段检测）解方程：．
【答案】
【详解】解：，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得 ．
【基础练习4-2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）用好错题本可以有效地积累解题方法、技巧，把握解题策略，减少再错误的可能．下面是淇淇错题本上的一道题，请仔细阅读并完成下列问题．
解方程：．
解：去分母，得：…第一步
去括号，得…第二步
移项，得…第三步
合并同类项，得…第四步
(1)填空：
①以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是______；
②第______步开始出错，这一步错误的原因是______．
(2)请写出该方程的正确解答过程．
【答案】(1)①等式的基本性质；乘法分配律；②三，移项没有变号
(2)去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟知去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）①根据等式的性质和去括号法则，②根据移项的法则解答即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可．
【详解】（1）解：①以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律．
②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项没有变号．
故答案为：①等式的基本性质；乘法分配律；②三，移项没有变号．
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
解一元一次方程的一般步骤
知识点五
示例：解方程
解题模板
解题依据
去分母
等式的性质2
去括号
乘法分配律
移项
等式的性质1
合并同类项
合并同类项的法则
系数化为1
等式的性质2
点拨：解一元一次方程的步骤不是一成不变的，有时可以省略某个步骤，有时可以先去括号或者先合并同类项再去分母，要根据方程的特点灵活运用.
【基础练习5-1】（26-27七年级上·重庆江北·开学考试）解方程：
【答案】
【详解】解：
．
【基础练习5-2】（26-27七年级上·重庆江北·开学考试）解方程：
【答案】
【详解】解：
．
列一元一次方程解简单的应用题
知识点六
列方程解应用题的两种基本题型
题型1:各部分量的和=总量.
题型2:表示同一个量的两个不同式子(整式)相等
注意：(1)对于题型1:一般先设其中一个部分的量为，再用表示出其他各部分量，最后根据等量关系列出方程.
(2)对于题型2：用两个不同的式子（只有一个未知数）表示同一个量，由这两个式子相等列出方程，
点拨：(1)一般情况下，问题中给出的条件在列方程时不能重复利用，否则会得到一个恒等式，虽然正确，但无法求出应用题的解
(2)列出方程后，可以进一步利用移项、合并同类项等步骤解方程.
【基础练习6-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）小朋友们分苹果，若每人8个，则多出3个苹果；若每人9个，则最后一个小朋友只能拿到5个苹果，求小朋友的人数．
【答案】7人
【分析】设共有x个小朋友，则苹果有个，根据题意列方程，然后解方程即可解答．
【详解】解：设共有个小朋友，
根据题意，得．
解得．
答：小朋友的人数为7人．
【基础练习6-2】（26-27七年级上·重庆·阶段检测）妈妈去超市买香蕉和苹果一共花了45元，买苹果的钱数是买香蕉钱数的2.6倍，请问妈妈买香蕉花了多少元？（列方程解答）
【答案】
妈妈买香蕉花了12.5元
【分析】设买香蕉的钱数为未知数，根据总花费的等量关系列方程求解．
【详解】解:设妈妈买香蕉花了元，则买苹果花了元，
由题意得
解得:
答：妈妈买香蕉花了12.5元．
题型1
合并同类项与移项解一元一次方程
【典例】（26-27七年级上·全国·课后作业）解下列方程时，合并同类项正确的是（ ）
A．，合并同类项，得
B．，合并同类项，得
C．，合并同类项，得
D．，合并同类项，得
【答案】B
【详解】解：A选项：，合并得，错误．
B选项：左边，右边，合并得，正确．
C选项：，合并得，错误．
D选项：左边，右边，合并得，错误．
【变式练习1-1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）解方程过程中，以下步骤正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解一元一次方程﹣移项，将原方程移项后即可求得答案．注意移项时符号的变化．
【详解】解：，
移项得：，
故选：D．
【变式练习1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）利用移项解一元一次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
(1)移项一定要变号
(2)合并方程中的同类项时，要牢记合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母连同它的指数不变。
(3)在系数化为1时，特别注意系数是负数时，符号不要出错.
题型2
去括号解一元一次方程
【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程，步骤如下：①去括号，得；②移项，得；③合并同类项，得；④将未知数的系数化为1，得．其中开始出现错误的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．根据解方程的基本步骤，去括号，符号的变换解答即可．
【详解】解：解方程，步骤如下：
①去括号，得；
②移项，得；
③合并同类项，得；
④将未知数的系数化为1，得．
其中开始出现错误的一步是①．
故选：A．
【变式练习2-1】（24-25七年级上·北京·期中）小明同学在解方程时，是这么计算的，
第一步
第二步
第三步
第四步
其中第一步的变形依据是_____（填序号），第二步的变形依据是_____（填序号）．
①加法交换律；②乘法结合律；③乘法分配律；④等式的基本性质1；⑤等式的基本性质2．
【答案】 ③ ④
【分析】根据乘法的分配律和等式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：
去括号，得（依据是乘法的分配律）
移项，得（依据是等式的基本性质1）．
【变式练习2-2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查解方程，掌握解方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键．
根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法即可求解．
【详解】解：
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
1. 1、观察括号结构：确定有几层括号，括号前是“+”还是“−”，有没有数字因数。
2. 2、逐层去括号：由内向外（或按结构灵活调整），数字乘遍每一项，负号让括号内各项全变号。
3. 3、边去边合并：每去一层，合并同侧同类项，保持式子简洁。
4. 4、继续解方程：移项（变号）、合并、系数化为1。
5. 5、检验：把解代入原方程，分别计算左右两边，确认相等。
题型3
去分母解一元一次方程
【典例】（25-26七年级下·福建泉州·期末）在解方程时，去分母过程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：方程去分母得：．
【变式练习3-1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）解方程，去分母后，得到的方程是____________．
【答案】
【分析】方程两边乘以8得到结果，即可做出判断．
【详解】解：解方程，
去分母得，．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
【变式练习3-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤计算即可．
【详解】（1）解：去分母得，
移项并合并同类项得，
系数化为1得；
（2）解：去分母得，
去括号得，
移项并合并同类项得，
系数化为1得．
去分母分数的基本性质
去分母是把方程中的每项都乘各分母的最小公倍数，与方程的每一项都有关.分数的基本性质只是对一个分数变形（把该分数的分子与分母都乘或除以同一个不为0的数).
题型4
巧解一元一次方程
【典例】（24-25七年级上·云南·单元测试）在解方程时，可先将分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫作整体求解法，请用这种方法解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，注意用了整体代入思想，即将，分别看成整体来合并．移项、合并同类项、去分母、移项、合并同类项、系数化成1即可．
【详解】解：，
将，分别看成整体进行移项，合并同类项，得．
去分母，得．
去括号，得．
移项，合并同类项，得．
方程两边同除以33，
得．
【变式练习4-1】（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）解方程
．
【答案】
【分析】方程中的分子和分母中含有小数，应先根据分数的基本性质，把小数化为整数．
【详解】解：
将方程中各分数分母的小数化为整数，得
方程两边同乘去分母，得
去括号，得
移项合并同类项，得
系数化为，得．
【变式练习4-2】（25-26七年级上·全国·期末）解方程：
【答案】
【分析】依据题目数字特点，采用由外向内的顺序依次去括号会使方程的求解更为简单．
【详解】解：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：．
1. 1、看分母：有小数分母→先“内部化整”。
2. 2、看括号：由内向外去括号会让式子膨胀→尝试由外向内。
3. 3、看两边：有完全相同的项→先对消，再移项。
题型5
构建一元一次方程求解
【典例】（25-26七年级上·全国·课堂例题）用方程解答下列问题：
(1)的倍与的差等于的倍与的差，求；
(2)与的积等于的倍与的差，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先列出一元一次方程，然后移项、合并同类项，系数化为即可求解；
（2）首先列出一元一次方程，然后移项、合并同类项，系数化为即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：；
（2）根据题意，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【变式练习5-1】（2025七年级上·全国·专题练习）若与是同类项，求x的值．
【答案】
【分析】本题需要根据同类项的定义，即所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，来建立关于x的方程，进而求解的值．
【详解】解：由题意可知，
移项、合并同类项，得
系数化为，得．
【点睛】本题考查了同类项的定义，掌握根据同类项中相同字母的指数相同这一性质，建立方程求解未知数是解题的关键．
【变式练习5-2】（25-26七年级上·安徽六安·期中）当x 等于什么值时，代数式与的值相等．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：依题意，，
去分母得，，
去括号得，，，
移项得，，
合并同类项得，，
化系数为1得，．
题型6
已知一元一次方程的解求参数
【典例】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知是方程的解，求a的值．
【答案】
【分析】将代入已知方程，得到关于a的方程，然后解方程即可求解．
【详解】解：把代入方程，得
去括号，得，即
移项、合并同类项，得
解得：．
【变式练习6-1】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）如果是方程的解，求的值为多少？
【答案】
【分析】把代入方程中求出m的值，再把m的值代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
解得，
∴
．
【变式练习6-2】（26-27七年级上·全国·单元复习）已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是________．
【答案】45
【分析】将关于的方程变形为与已知关于的方程结构相同的形式，利用整体代换即可求解．
【详解】解：
令，则方程变为
∵关于的方程的解是，
∴，即，
解得．
已知原方程的解，则将解直接代入得出关于参数的方程，求解即可.
题型7
一元一次方程的错解问题
【典例】（25-26七年级上·江西宜春·阶段检测）下面是某同学解方程的过程．请仔细阅读，并完成以下任务
解方程：．
解：去分母，得：……①
去括号，得……②
移项，得……③
合并同类项，得……④
系数化为1，得：……⑤
(1)该同学的解答过程在第________步开始就出现错误；（填写对应编号）
(2)请你写出此方程的正确解答过程．
【答案】(1)①
(2)
，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）认真观察解题过程，得出去分母的过程中，没有乘6，即可作答．
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可作答．
【详解】（1）解：观察解方程的过程，在第①步开始就出现错误，去分母的过程中，没有乘6；
（2）略
【变式练习7-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为．
(1)请帮小林求a的值；
(2)请帮小林求原方程的正确解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，理解题意是解题的关键．
（1）根据小林的错误解法求出a的值；
（2）根据正确方程求出其解即可．
【详解】（1）解：，
去分母时，方程右边的漏乘了6，所以，
解得，
因为此时方程的解为，
所以，
解得；
（2）当时，正确的方程为，
，
，
，
．
【变式练习7-2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）小琳在解关于x的方程时，把“”抄成了“”，求得方程的解为，求a的值和原方程的解．
【答案】，原方程的解为
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，通过错误方程的解求出a的值，再代入原方程求解．
【详解】解：小琳抄错的方程为，
∵错误方程的解为，
∴代入得，
解得：，
∴原方程为，
整理得，
两边同乘6得，
展开得，
即，
移项得，
即，
∴．
已知方程的错解，则将错解代入错解方程，逐步求解.
题型8
一元一次方程的同解问题
【典例】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的方程和的解相同，求的值．
【答案】
【分析】先求出的解，代入得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：解方程，
，
，
，
将代入中，得：
，
，
，
解得．
【变式练习8-1】（24-25七年级上·山东聊城·阶段检测）已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值．
【答案】
【分析】本题考查了同解方程，能得出关于k的方程及的解是解此题的关键．先根据等式的性质求出第一个方程的解是，求出第二个方程的解是，再根据同解方程求出的解即可．
【详解】解：解方程得：，
解方程得：，
解，
得．
【变式练习8-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
（1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可；
（2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答．
【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程
∴，
解得：，
；
（2）解：由（1）得，方程为：，
解得：，
该方程与关于x的方程的解相同，
，
解得：．
已知方程的解与某个不含参数的方程的解相同，则可解该不含参数的方程，再将解代入已知方程中求解。
题型9
一元一次方程的特殊解问题
【典例】（25-26七年级下·河南新乡·阶段检测）已知方程与关于的方程的解互为相反数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程，分别解出两个方程的解，根据题意，两个方程的解互为相反数，则，求出，即可．
【详解】解：方程，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为，得；
方程：，
去分母，方程两边同时乘以，，
去小括号，得，，
移项，合并同类项得：，
系数化为，得；
∵两个方程的解互为相反数，
∴，
．
【变式练习9-1】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）关于的两个一元一次方程与的解互为倒数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程的应用，涉及倒数定义，根据题意解出两个一元一次方程是解决问题的关键．
先分别解出关于的两个一元一次方程，再由两个方程的解互为倒数得到，解关于的一元一次方程即可得到答案．
【详解】解：解关于的方程得，
解关于的方程得，
关于的两个一元一次方程与的解互为倒数，
，
解得．
【变式练习9-2】（25-26七年级上·河北衡水·期末）已知关于的方程的解比方程的解大1，求的值．
【答案】．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程．先求得关于的方程的解，依此可得关于的方程的解，然后代入可得关于的方程，通过解该方程求得值即可．
【详解】解：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得．
因为关于的方程的解比方程的解大1，
所以方程的解为，
所以，即，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
方程的解满足具体要求（如与某方程的解互为相反数、比某方程的解大多少等），则根据方程求出用参数表示的解，从而得出含有参数的式子满足的条件，即可求解参数.
题型10
一元一次方程的整数解问题
【典例】（25-26七年级下·浙江金华·开学考试）已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个
【答案】B
【分析】先求解方程得到关于的表达式，再根据方程有负整数解，为整数，确定的可能取值，进而得到满足条件的的个数．
【详解】，方程有解
，可得
方程的解为负整数，为整数
为整数，且，
是的负整数因数，的负整数因数只有和
当时，，符合要求
当时，，符合要求
满足条件的共有个．
【变式练习10-1】（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________．
【答案】
【分析】先解关于的一元一次方程，用含的式子表示出，再根据方程的解为负整数且为整数，确定所有满足条件的的值，最后计算的值的和即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得，
∵方程的解为负整数，且a为整数，
∴是9的负整数约数，即的值为或或，
当时，解得，符合条件；
当时，解得，符合条件；
当时，解得，符合条件；
则所有满足条件的整数a的和为．
【变式练习10-2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）已知关于的方程的解是正整数，求符合条件的所有整数的和．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案．
【详解】解：
因为方程的解是正整数
则的值为1，2，5，10
所以的值为
所以，
所以符合条件的所有整数的和为．
题型11
解含绝对值的一元一次方程
【典例】（26-27七年级上·山东聊城·阶段检测）若，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质，去绝对值符号后分两种情况求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 或 ．
【变式练习11-1】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，解绝对值方程，熟练掌握解绝对值方程是解题的关键．当时，解方程得；当时，解方程，得，但此时不满足，应舍去．
【详解】解：若，则，
解得，
此时，符合题意；
若，则，
解得，
此时，与假设不符，
所以不符合题意，舍去；
所以方程的解为：．
【变式练习11-2】（25-26七年级上·江苏·阶段检测）解方程：．
【答案】或6
【分析】本题考查解一元一次方程，化简绝对值，正确掌握方法和步骤是解题的关键．
根据题意分情况讨论，然后分别解方程即可．
【详解】解析：当时，，
解得，不符合题意，舍去
当时，，
解得，符合题意；
当时，，
解得，符合题意．
综上，或6．
1.
绝对值方程的基本形式为
2. 1、观察结构：判断方程属于基本型、含参型还是多重绝对值型。
3. 2、选择转化策略：
·
(1)基本型→按的正负直接拆分；
·
(2)含参型→先根据非负性确定的范围，再拆分；
· (3)多重绝对值→用零点分段法，逐段讨论。
4.
3、求解并检验：解出后，必须代回原方程或前提范围中检验，舍去使绝对值结果为负或不满足分段条件的解。
5. 4、写出最终答案：汇总所有有效的解。
题型12
与一元一次方程有关的新定义问题
【典例】（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）用“”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：．如：．
(1)_________；
(2)若，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查有理数的运算和解一元一次方程：
（1）按照有理数运算的法则计算即可；
（2）根据题意列出关于的一元一次方程即可．
【详解】（1）原式
故答案为：
（2）
根据题意可知
解得
【变式练习12-1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）对于任意有理数，，，，规定，如，若，则_____．
【答案】
【分析】根据定义写出一元一次方程，并求解即可．
【详解】解：根据题意，，
整理，得，
解得．
【变式练习12-2】（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定，解答下列问题．
(1)下列关于的一元一次方程是“和解方程”的是______（填序号）．
①；②；③．
(2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值．
【答案】(1)③
(2)
【分析】（）先解方程，再根据“和解方程”的定义判断即可；
（）先解关于的一元一次方程，再根据“和解方程”的定义，得到关于的一元一次方程，求解即可．
【详解】（1）解：由方程，解得：，
∵，
∴方程不是“和解方程”；
由方程，解得：，
∵，
∴方程不是“和解方程”；
由方程，解得：，
∵，
∴方程是“和解方程”；
故：③是“和解方程”．
（2）解：由方程，
解得．
∵一元一次方程是“和解方程”，
∴，
解得．
题型13
列方程解决简单的实际问题
【典例】（25-26七年级下·河南周口·期中）校园国学堂购进《论语》《孟子》共50本，《论语》每本18元，《孟子》每本15元，一共花费810元．求两种书各购进多少本？（列一元一次方程解答）
【答案】《论语》20本，《孟子》30本
【分析】设《论语》x本，则《孟子》本，根据“《论语》每本18元，《孟子》每本15元，一共花费810元”列方程求解即可．
【详解】解：设《论语》x本，则《孟子》本，
，
解得，
∴．
答：《论语》20本，《孟子》30本．
【变式练习13-1】（25-26七年级上·甘肃定西·期末）把一批图书分给七年级（5）班的同学阅读，若每人分3本，则剩余25本，若每人分4本，则缺30本，这个班有多少学生？
【答案】这个班有55名学生
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这个班有x名学生，根据题意分别表示这批图书本数，根据这批图书的本数不变方程，求解即可．
【详解】解：设 这个班有x名学生
，
解得，
答：这个班有55名学生
【变式练习13-2】(2026·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
【答案】客人共有30位，盘子共有13个．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设共有x位客人．
依题意，得，解得，
所以．
答：客人共有30位，盘子共有13个．
列方程解应用题的“两点注意”
(1)设未知数列方程时，要注意单位的统一.
(2)对于实际问题中方程的解是否符合实际意义，一般不用写出检验过程，但要养成心里检验的好习惯.对与现实生活不符的结果，要进行必要的舍弃：
综合检测
一、单选题
1．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列变形属于移项的是（ ）
A．由，得
B．由，得
C．由，得
D．由，得
【答案】C
【分析】依据移项“跨等号移动且变号”的核心特征判断．
【详解】解：A：由得，是交换方程左右两边的位置，不属于移项；
B：由得，仅调整等号左侧项的顺序，未跨等号移动项，不属于移项；
C：由得，将等号右侧的移到左侧变号为，等号左侧的移到右侧变号为，符合移项的特征，属于移项；
D：由得，是将方程未知数的系数化为，不属于移项．
2．（25-26七年级上·四川广元·期末）下列方程变形中，正确的是（ ）．
A．方程，系数化1，得；
B．方程，移项，得；
C．方程，去括号，得；
D．方程，去分母，得
【答案】B
【详解】解：A选项，方程，系数化为1得，原变形错误；
B选项，方程，移项得，原变形正确；
C选项，方程，去括号得，原变形错误；
D选项，方程，去分母得，原变形错误.
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果和的值相等，那么x等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
根据题意列式得，再运用移项合并同类项，系数化为1的方法计算即可求解；
【详解】解：根据题意得，，
移项的，，
合并同类项得，，
系数化为1得，,
故选：B ．
4．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）电子猫在周长240米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间每秒跑5米，后一半的时间每秒跑3米，电子猫跑后120米用了（ ）秒．
A．30 B．40 C．36 D．25
【答案】C
【分析】先根据总路程和两段时间的速度求出一半时间的大小，再判断后120米中不同速度对应的路程，结合路程、速度、时间的关系计算总用时即可．
【详解】解：设总时间为秒，
总路程为240米，
∴，
解得，
即一半时间为30秒，
前30秒跑的路程为米，后30秒跑的路程为米，
后120米中，后30秒跑的90米全部属于后120米，还差米，这30米速度为5米每秒，用时为秒，
后120米总用时为秒．
5．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）某同学在解方程时，把处的数字看错了，解得，则该同学把看成了（ ）
A．4 B．7 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
将代入原方程求解即可．
【详解】解：把代入得：，
，
，
，
，
故选：B．
6．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的方程的解为自然数，则整数为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了用方程整数解求参数，用表示出，然后根据方程解的要求即可求得.
【详解】解：，
解得：，
方程的解为自然数，
为自然数，且，
即能被整除，
为的正整数约数，
或，
故选：B ．
7．（26-27七年级上·福建漳州·阶段检测）如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，
解得，
故选：C．
8．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可．
【详解】解：设，
则方程化为，
此方程与已知方程同解，
已知解为，
故，
即，
解得．
9．（2026·广西梧州·二模）现定义一种新运算：对任意实数，，规定，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
解得．
10．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）已知两个多项式（，且是常数），（，且是常数）满足，，称多项式是多项式的“友好式”，下列四个结论正确的个数为（ ）
①多项式是多项式的“友好式”；
②若，是的“友好式”，且的取值与无关，则；
③若是的“友好式”，且关于的方程无解，则一定是非正数；
④当，时，若是的“友好式”，且关于的方程有三个整数解，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查的是绝对值的有关内容，关键在于理解“友好式”的定义，将进行化简整理，进而判断正误．根据“友好式”的定义，分析这个结论是否正确，即可得到正确结论的个数．
【详解】解：①因为，，所以这两个多项式满足“友好式”的条件，因此结论①正确；
②
，
因为是的“友好式”，所以，，则，
因为的取值与无关，所以，则；
因此结论②不正确；
③因为是的“友好式”，则，
因为关于x的方程无解，也就是说无解，
所以，
因此的取值应为一正一负，或都等于，则一定是非正数；
因此结论③正确；
④根据题意，将原方程整理化简，得：，
解得：，
若，则，满足题意要求；
因此结论④正确；
所以正确的结论有个．
故选：C．
二、填空题
11．（24-25七年级下·全国·暑假作业）解方程：．
解：去括号，得________．
移项，得________．
合并同类项，得________，
系数化为1，得________．
【答案】 11
【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程在步骤即可解答．
【详解】解：去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得，
系数化为1，得．
故答案为：；；；11
12．（26-27七年级上·全国·单元测试）小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污涂成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是________．
【答案】
【分析】设被污染的数字为，将已知解代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果．
【详解】解：设●表示的数字为，则原方程为，
∵方程的解为，
∴将代入方程得，
两边同乘得，
去括号得，
整理得，
解得．
13．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）若代数式与是同类项，则x的值为_____
【答案】
【分析】本题考查了同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”，熟记同类项的定义是解题关键．根据同类项的定义可得，解方程即可得．
【详解】解：∵代数式与是同类项，
∴，
解得，
故答案为：．
14．（25-26七年级上·广东东莞·期末）关于x的方程与同解，则a的值为______．
【答案】7
【分析】首先解第一个方程求得x的值，然后代入第二个方程得到一个关于a的方程，求得a的值．
【详解】解：解方程2x-4=0，
得，x=2，
把x=2代入a-3x=1，
得，a-6=1，
解得：a=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法以及方程的解的定义，解决的关键是正确理解方程解的含义．
15．（2026·浙江温州·三模）将四个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义，则中的值为______．
【答案】5
【详解】解：根据题意得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
16．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）若关于的方程比的解大，则___________．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程，熟记一元一次方程解法步骤是解决问题的关键
先求解第二个方程得到解，再根据第一个方程的解比它大，确定第一个方程的解，代入含参数的方程求解即可得到答案．
【详解】解：解方程得，
关于的方程比的解大，
第一个方程的解为，
将代入第一个方程得，
去分母得，
去括号得，
移项得，
解得，
故答案为：．
17．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）满足的整数的值有________．
【答案】0，1，2
【分析】本题考查换元法和绝对值的几何意义，设 ，确定t的取值范围，再结合整数条件求解x．
【详解】解：设 ，则原方程化为．
∵表示点t到点的距离，表示点t到点5的距离，
点与点5之间的距离为，
∴当时，距离和恒为 6．
∴．
∵且x为整数，故t为偶数整数
∴或2或4，
∴或1或2，
验证：当时，；
当时，；
当时，，均成立．
故答案为：0，1，2．
18．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）用表示一个数列中的第个数，例如：表示第一个数，表示第二个数，表示第三个数……．在某个数列中，若，，从第三个数开始，，，，……以此类推．下列说法：①；②；③；④当时，关于的方程的解为．其中，正确的是_______．
【答案】①④/④①
【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律．根据数列的计算方法分别算出，即可判断；根据数列，可得以为循环，又计算得到，即可求出的结果，判断；把，代入方程求解即可判断
【详解】解：∵ ，与说法①一致，故①正确．
∵
∴，而说法②为 ，故②错误．
∴数列周期为6，．
一个周期的和：．
，故前2024项和为 ，而说法③为 ，故③错误．
∵，（因 余 ）．
方程 即 ，
整理得 ，即 ．
当 时，，
故 ，解得 ，
故④正确．
综上所述：正确的是①④．
故答案为①④．
三、解答题
19．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤，包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，是解题的关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤求解即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤求解即可；
（3）根据解一元一次方程的步骤求解即可；
（4）先将小数转化为整数，再根据解一元一次方程的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
（2）解：
去括号，得：
合并同类项，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
（3）解：
去分母，得：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
（4）解：
方程整理为：
去分母，得：
去括号，得：
合并同类项，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
20．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成下列各题．
解：方程两边同乘以6，得．…………第①步
去括号，得．………………第②步
移项，得．………………第③步
合并同类项，得………………第④步
两边同除以，得………………第⑤步
(1)小明的解题过程是从第__________步开始出错；
(2)请你写出正确的计算过程．
【答案】(1)②；
(2)
计算：，
方程两边同乘以6，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以，得．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
（1）根据去括号法则即可解答；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】（1）解：去括号，得，则小明的解题过程是从第②步开始出错的．
故答案为：②．
（2）略
21．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．
（1）根据题意，分类讨论当时，当时，化简原方程求解即可；
（2）根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可．
【详解】（1）解：，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，或；
（2）解：，
当时，，
解得（不合题意，舍去），
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，或．
22．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题．
【答案】尺
【分析】设木头长x尺，根据“不同测量方法中绳长不变”列方程求解即可．
【详解】解：设木头长x尺，
根据题意，得，
解得，
答：木头长尺．
23．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程．
(1)若，求该方程的解；
(2)若是方程的解，求的值；
(3)若该方程的解与方程的解相同，求的值；
(4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值；
(5)若该方程有正整数解，求整数的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)；
(5)
【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，
（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可；
（2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可；
（3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可；
（4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可；
（5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解；
解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，方程为，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的值为；
（3）解：∵，
解得：，
∵方程的解与方程的解相同，
∴，
∴，
解得：，
∴的值为；
（4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为，
∴是方程的解，
∴，
解得：，
∴的值为；
（5）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵取正整数，
∴为的正整数倍数．
又∵取最小值，
∴，
∴，
∴的值为．
24．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义一种新运算“”：，比如：．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据定义直接计算求解即可；
（2）根据定义构造出符合要求的方程求解即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：，
，
，
，
，
，
解得．
25．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”．请解决以下问题．
(1)请判断方程是否是“巧合方程”： （直接写“是”或“不是”）；
(2)已知方程是“巧合方程”，请求出b的值．
【答案】(1)是；
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
（1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可；
（2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可；
【详解】（1）解：
，
，
是巧合方程；
（2）解：
，
方程是巧合方程，
；
中考真题
1．(2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵代数式的值为5，
∴，
解得，
故选：A．
2．（2026·湖南长沙·中考真题）若关于的方程的解是，则的值为__________．
【答案】
【分析】方程的解满足方程，将代入原方程即可计算出的值．
【详解】解：∵是方程的解，
∴将代入方程得，
整理得，
解得．
3．(2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
【答案】(1)
(2).
【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解
（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：，
去分母，得，，
移项，得：，
合并同类页，得：，
解得：．
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第19讲 解一元一次方程
学习目标
1、掌握用合并同类项、移项、去括号、去分母的方法解一元一次方程.
2、了解用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
核心素养：
运算能力
模型观念
应用意识
知识结构
知识点一
利用合并同类项解一元一次方程
1、合并同类项的意义将一元一次方程同侧的含有未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为的简单形式，从而更接近(常数)的形式,便于求解.
2.合并同类项的依据：合并同类项的法则.
3.利用合并同类项解一元一次方程的步骤
步骤1：合并同类项 步骤2：系数化为1
注意：(1)“系数化为1”使方程由变形为（常数），依据是等式的性质2.
(2)像这样系数为1或的项，在合并同类项时不要漏掉.
提醒：利用合并同类项解一元次方程时，要明确这类方程的特点：等号一边是只含未知数的项，另一边只含常数项.
点拨：合并同类项的实质是根据乘法分配律，把同类项的系数相加，起到化简方程的作用.
【基础练习1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）用合并同类项的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【基础练习1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）判断下列方程的求解过程是否正确，说明原因：
(1)．
解：合并同类项，得．系数化为1，得．
(2)．
解：合并同类项，得．
系数化为1，得．
利用移项解一元一次方程
知识点二
1、定义：把等式一边的某项移到另一边作移项.
戴从右边移到左边.
2、依据：等式的性质1.
3、两个变化:位置变化和符号变化.
位置变化：从等号的右边移到左边 符号变化：由正变负
注意：(1)方程中的项包括它前面的符号.(2)在解方程时，习惯上把含有未知数的项移到等
号的左边，不含有未知数的项移到等号的右边.(3)移项时一定要变号。
提醒：移项和加法交换律的区别：移项是把某些项从等式的一边移到另一边，移项要变号：而加法交换律中交换加数的位置只是改变排列的顺序，符号随着移动且不改变。
点拨：移项的目的是将含有未知数的项移到方程的一边，将不含未知数的项移到方程的另一边，使方程更接近于的形式.
【基础练习2-1】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）解方程：．
【基础练习2-2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）阅读下面解方程的过程回答问题．
解方程：．
解：移项，得．（A）
合并同类项，得．（B）
系数化为1，． （C）
(1)上述解方程的过程中，在哪一步骤有错误？请写出该步骤的代号：___________；
(2)错误的原因：___________；
(3)请写出正确的解题过程．
利用去括号解一元一次方程
知识点三
1、 方程中去括号的含义当方程中含有括号时,根据乘法分配律,在解方程的过程中把含有的括号去掉就是方程中的去括号.
2、去括号法则
将括号外的因数连同它前面的符号看作一个整体，与括号内的各项相乘.
3、去括号的目的
与移项、合并同类项、系数化为1等变形相结合，最终将一元一次方程转化为 (常数)的形式.
提醒：(1)方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同.
(2)去括号时要按一定的顺序，可以由内向外去括号，也可以由外向内去括号。一般情况下采用由内向外去括号.
(3)去括号时，不要漏乘括号内的每一项.
【基础练习3-1】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）在学习了《解一元一次方程》后，小罗同学解了这样一个方程：，发现得到的解与其他同学的不一样，下面是小罗同学的解题过程：
解：去括号，得．……第一步
移项，得．……第二步
合并同类项，得．……第三步
系数化为1，得．……第四步
(1)小罗同学在第_____步计算时出现了错误；
(2)请你写出正确的解题过程．
【基础练习3-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程：
(1)；
(2)．
利用去分母解一元一次方程
知识点四
1、方程中去分母的含义
当方程中未知数的系数为分数时，根据等式的性质2,将方程两边都乘同一个数
(各分母的最小公倍数),使方程中的分母为1,约去分母的过程叫作方程中的去分母.
2、去分母的步骤
(1)找出各分母的最小公倍数;(2)方程两边同时乘这个最小公倍数，约去分母.
提醒：(1)如果分子是一个多项式，那么在去分母时，不要忘记将分子看作一个整体加上
括号(2)去分母时不要漏乘不含分母的项.
【基础练习4-1】（25-26七年级上·广东·阶段检测）解方程：．
【基础练习4-2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）用好错题本可以有效地积累解题方法、技巧，把握解题策略，减少再错误的可能．下面是淇淇错题本上的一道题，请仔细阅读并完成下列问题．
解方程：．
解：去分母，得：…第一步
去括号，得…第二步
移项，得…第三步
合并同类项，得…第四步
(1)填空：
①以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的，第二步去括号时用到的运算律是______；
②第______步开始出错，这一步错误的原因是______．
(2)请写出该方程的正确解答过程．
解一元一次方程的一般步骤
知识点五
示例：解方程
解题模板
解题依据
去分母
等式的性质2
去括号
乘法分配律
移项
等式的性质1
合并同类项
合并同类项的法则
系数化为1
等式的性质2
点拨：解一元一次方程的步骤不是一成不变的，有时可以省略某个步骤，有时可以先去括号或者先合并同类项再去分母，要根据方程的特点灵活运用.
【基础练习5-1】（26-27七年级上·重庆江北·开学考试）解方程：
【基础练习5-2】（26-27七年级上·重庆江北·开学考试）解方程：
列一元一次方程解简单的应用题
知识点六
列方程解应用题的两种基本题型
题型1:各部分量的和=总量.
题型2:表示同一个量的两个不同式子(整式)相等
注意：(1)对于题型1:一般先设其中一个部分的量为，再用表示出其他各部分量，最后根据等量关系列出方程.
(2)对于题型2：用两个不同的式子（只有一个未知数）表示同一个量，由这两个式子相等列出方程，
点拨：(1)一般情况下，问题中给出的条件在列方程时不能重复利用，否则会得到一个恒等式，虽然正确，但无法求出应用题的解
(2)列出方程后，可以进一步利用移项、合并同类项等步骤解方程.
【基础练习6-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）小朋友们分苹果，若每人8个，则多出3个苹果；若每人9个，则最后一个小朋友只能拿到5个苹果，求小朋友的人数．
【基础练习6-2】（26-27七年级上·重庆·阶段检测）妈妈去超市买香蕉和苹果一共花了45元，买苹果的钱数是买香蕉钱数的2.6倍，请问妈妈买香蕉花了多少元？（列方程解答）
题型1
合并同类项与移项解一元一次方程
【典例】（26-27七年级上·全国·课后作业）解下列方程时，合并同类项正确的是（ ）
A．，合并同类项，得
B．，合并同类项，得
C．，合并同类项，得
D．，合并同类项，得
【变式练习1-1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）解方程过程中，以下步骤正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式练习1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）利用移项解一元一次方程：
(1)；
(2)．
(1)移项一定要变号
(2)合并方程中的同类项时，要牢记合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母连同它的指数不变。
(3)在系数化为1时，特别注意系数是负数时，符号不要出错.
题型2
去括号解一元一次方程
【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程，步骤如下：①去括号，得；②移项，得；③合并同类项，得；④将未知数的系数化为1，得．其中开始出现错误的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式练习2-1】（24-25七年级上·北京·期中）小明同学在解方程时，是这么计算的，
第一步
第二步
第三步
第四步
其中第一步的变形依据是_____（填序号），第二步的变形依据是_____（填序号）．
①加法交换律；②乘法结合律；③乘法分配律；④等式的基本性质1；⑤等式的基本性质2．
【变式练习2-2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）解方程：．
1. 1、观察括号结构：确定有几层括号，括号前是“+”还是“−”，有没有数字因数。
2. 2、逐层去括号：由内向外（或按结构灵活调整），数字乘遍每一项，负号让括号内各项全变号。
3. 3、边去边合并：每去一层，合并同侧同类项，保持式子简洁。
4. 4、继续解方程：移项（变号）、合并、系数化为1。
5. 5、检验：把解代入原方程，分别计算左右两边，确认相等。
题型3
去分母解一元一次方程
【典例】（25-26七年级下·福建泉州·期末）在解方程时，去分母过程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式练习3-1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）解方程，去分母后，得到的方程是____________．
【变式练习3-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程：
(1)；
(2)．
去分母分数的基本性质
去分母是把方程中的每项都乘各分母的最小公倍数，与方程的每一项都有关.分数的基本性质只是对一个分数变形（把该分数的分子与分母都乘或除以同一个不为0的数).
题型4
巧解一元一次方程
【典例】（24-25七年级上·云南·单元测试）在解方程时，可先将分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫作整体求解法，请用这种方法解方程：．
【变式练习4-1】（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）解方程
．
【变式练习4-2】（25-26七年级上·全国·期末）解方程：
1. 1、看分母：有小数分母→先“内部化整”。
2. 2、看括号：由内向外去括号会让式子膨胀→尝试由外向内。
3. 3、看两边：有完全相同的项→先对消，再移项。
题型5
构建一元一次方程求解
【典例】（25-26七年级上·全国·课堂例题）用方程解答下列问题：
(1)的倍与的差等于的倍与的差，求；
(2)与的积等于的倍与的差，求．
【变式练习5-1】（2025七年级上·全国·专题练习）若与是同类项，求x的值．
【变式练习5-2】（25-26七年级上·安徽六安·期中）当x 等于什么值时，代数式与的值相等．
题型6
已知一元一次方程的解求参数
【典例】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知是方程的解，求a的值．
【变式练习6-1】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）如果是方程的解，求的值为多少？
【变式练习6-2】（26-27七年级上·全国·单元复习）已知关于的方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是________．
已知原方程的解，则将解直接代入得出关于参数的方程，求解即可.
题型7
一元一次方程的错解问题
【典例】（25-26七年级上·江西宜春·阶段检测）下面是某同学解方程的过程．请仔细阅读，并完成以下任务
解方程：．
解：去分母，得：……①
去括号，得……②
移项，得……③
合并同类项，得……④
系数化为1，得：……⑤
(1)该同学的解答过程在第________步开始就出现错误；（填写对应编号）
(2)请你写出此方程的正确解答过程．
【变式练习7-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为．
(1)请帮小林求a的值；
(2)请帮小林求原方程的正确解．
【变式练习7-2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）小琳在解关于x的方程时，把“”抄成了“”，求得方程的解为，求a的值和原方程的解．
已知方程的错解，则将错解代入错解方程，逐步求解.
题型8
一元一次方程的同解问题
【典例】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的方程和的解相同，求的值．
【变式练习8-1】（24-25七年级上·山东聊城·阶段检测）已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值．
【变式练习8-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值．
已知方程的解与某个不含参数的方程的解相同，则可解该不含参数的方程，再将解代入已知方程中求解。
题型9
一元一次方程的特殊解问题
【典例】（25-26七年级下·河南新乡·阶段检测）已知方程与关于的方程的解互为相反数，求的值．
【变式练习9-1】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）关于的两个一元一次方程与的解互为倒数，求的值．
【变式练习9-2】（25-26七年级上·河北衡水·期末）已知关于的方程的解比方程的解大1，求的值．
方程的解满足具体要求（如与某方程的解互为相反数、比某方程的解大多少等），则根据方程求出用参数表示的解，从而得出含有参数的式子满足的条件，即可求解参数.
题型10
一元一次方程的整数解问题
【典例】（25-26七年级下·浙江金华·开学考试）已知为整数，关于的方程有负整数解，则满足条件的的值有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个
【变式练习10-1】（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________．
【变式练习10-2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）已知关于的方程的解是正整数，求符合条件的所有整数的和．
题型11
解含绝对值的一元一次方程
【典例】（26-27七年级上·山东聊城·阶段检测）若，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或
【变式练习11-1】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：．
【变式练习11-2】（25-26七年级上·江苏·阶段检测）解方程：．
1.
绝对值方程的基本形式为
2. 1、观察结构：判断方程属于基本型、含参型还是多重绝对值型。
3. 2、选择转化策略：
·
(1)基本型→按的正负直接拆分；
·
(2)含参型→先根据非负性确定的范围，再拆分；
· (3)多重绝对值→用零点分段法，逐段讨论。
4.
3、求解并检验：解出后，必须代回原方程或前提范围中检验，舍去使绝对值结果为负或不满足分段条件的解。
5. 4、写出最终答案：汇总所有有效的解。
题型12
与一元一次方程有关的新定义问题
【典例】（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）用“”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：．如：．
(1)_________；
(2)若，求a的值．
【变式练习12-1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）对于任意有理数，，，，规定，如，若，则_____．
【变式练习12-2】（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定，解答下列问题．
(1)下列关于的一元一次方程是“和解方程”的是______（填序号）．
①；②；③．
(2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值．
题型13
列方程解决简单的实际问题
【典例】（25-26七年级下·河南周口·期中）校园国学堂购进《论语》《孟子》共50本，《论语》每本18元，《孟子》每本15元，一共花费810元．求两种书各购进多少本？（列一元一次方程解答）
【变式练习13-1】（25-26七年级上·甘肃定西·期末）把一批图书分给七年级（5）班的同学阅读，若每人分3本，则剩余25本，若每人分4本，则缺30本，这个班有多少学生？
【变式练习13-2】(2026·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
列方程解应用题的“两点注意”
(1)设未知数列方程时，要注意单位的统一.
(2)对于实际问题中方程的解是否符合实际意义，一般不用写出检验过程，但要养成心里检验的好习惯.对与现实生活不符的结果，要进行必要的舍弃：
综合检测
一、单选题
1．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列变形属于移项的是（ ）
A．由，得
B．由，得
C．由，得
D．由，得
2．（25-26七年级上·四川广元·期末）下列方程变形中，正确的是（ ）．
A．方程，系数化1，得；
B．方程，移项，得；
C．方程，去括号，得；
D．方程，去分母，得
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果和的值相等，那么x等于（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）电子猫在周长240米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间每秒跑5米，后一半的时间每秒跑3米，电子猫跑后120米用了（ ）秒．
A．30 B．40 C．36 D．25
5．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）某同学在解方程时，把处的数字看错了，解得，则该同学把看成了（ ）
A．4 B．7 C． D．
6．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的方程的解为自然数，则整数为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．（26-27七年级上·福建漳州·阶段检测）如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2026·广西梧州·二模）现定义一种新运算：对任意实数，，规定，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）已知两个多项式（，且是常数），（，且是常数）满足，，称多项式是多项式的“友好式”，下列四个结论正确的个数为（ ）
①多项式是多项式的“友好式”；
②若，是的“友好式”，且的取值与无关，则；
③若是的“友好式”，且关于的方程无解，则一定是非正数；
④当，时，若是的“友好式”，且关于的方程有三个整数解，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．（24-25七年级下·全国·暑假作业）解方程：．
解：去括号，得________．
移项，得________．
合并同类项，得________，
系数化为1，得________．
12．（26-27七年级上·全国·单元测试）小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污涂成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是________．
13．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）若代数式与是同类项，则x的值为_____
14．（25-26七年级上·广东东莞·期末）关于x的方程与同解，则a的值为______．
15．（2026·浙江温州·三模）将四个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义，则中的值为______．
16．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）若关于的方程比的解大，则___________．
17．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）满足的整数的值有________．
18．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）用表示一个数列中的第个数，例如：表示第一个数，表示第二个数，表示第三个数……．在某个数列中，若，，从第三个数开始，，，，……以此类推．下列说法：①；②；③；④当时，关于的方程的解为．其中，正确的是_______．
三、解答题
19．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成下列各题．
解：方程两边同乘以6，得．…………第①步
去括号，得．………………第②步
移项，得．………………第③步
合并同类项，得………………第④步
两边同除以，得………………第⑤步
(1)小明的解题过程是从第__________步开始出错；
(2)请你写出正确的计算过程．
21．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程
(1)；
(2)．
22．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题．
23．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程．
(1)若，求该方程的解；
(2)若是方程的解，求的值；
(3)若该方程的解与方程的解相同，求的值；
(4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值；
(5)若该方程有正整数解，求整数的最小值．
24．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义一种新运算“”：，比如：．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
25．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”．请解决以下问题．
(1)请判断方程是否是“巧合方程”： （直接写“是”或“不是”）；
(2)已知方程是“巧合方程”，请求出b的值．
中考真题
1．(2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（ ）
A．8 B． C．2 D．
2．（2026·湖南长沙·中考真题）若关于的方程的解是，则的值为__________．
3．(2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．
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