精品解析：陕西西安市东元路学校2026-2027学年度第一学期期中质量监测九年级数学(北师大版A)

2026~2027学年度第一学期期中质量监测 九年级数学（北师大版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 2. 如图，四边形与四边形相似，且点，，，分别与点，，，对应．若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应角相等得出，再利用四边形内角和为，计算的度数即可． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，， ∴， ∵，， ∴． 3. 如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形性质求解即可． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 4. 解一元二次方程，用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 5. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 6. 如图，线段，交于点，连接，．添加下列一个条件后，仍无法判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意有：， A项，，结合，利用两角分别对应相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； B项，，结合，利用两角分别对应相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； C项，，无，无法利用两边成比例且夹角相等来判定与相似，故此项符合题意； D项，，结合，利用两边成比例且夹角相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； 故选：C． 7. 科学研究表明，农作物的产量与施氮量之间存在一定的关系．在某种肥力的麦田中，小麦每亩的产量（单位：千克）与每亩施氮量（单位：千克）满足关系．若小麦每亩的产量为84千克，则每亩的施氮量为（ ） A. 千克 B. 2千克 C. 26千克 D. 28千克 【答案】D 【解析】 【分析】将已知产量代入函数解析式，解一元二次方程，结合施氮量的实际意义取舍根． 【详解】解：将代入，得． 整理得． 因式分解得． 解得，． ∵施氮量不能为负数． ∴舍去，每亩施氮量为28千克． 8. 如图，在正方形中，、分别为边、延长线上的点，连接、、，，与交于点，若，则的长为（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，由正方形的性质可得，，，由可求出，由勾股定理得出，证明，根据相似三角形的性质得出，再证明，可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知，可将、用含、的代数式表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 将，代入， 可得． 10. 如图，在菱形中，点在对角线上，且．若，则的度数为_____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】在中利用三角形内角和定理求出的度数，根据菱形的性质得出平分以及与互补，进而求解． 【详解】解：， ， ， ， 四边形是菱形， 平分，， ， ． 11. 已知，是方程的两个实数根，则的值为_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系计算两根的乘积即可． 【详解】解：在中，，， ∴． 12. 某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】 【解析】 【分析】设参赛球队数量为，根据单循环赛制的场次计算规则列出一元二次方程，解方程，结合球队数为正整数的条件舍去负根，即可得出答案． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵每两支球队之间只进行一场比赛，每支球队要和其余支球队各比赛一场， ∴总比赛场次为， ∵小组赛阶段共比赛场， ∴， 整理得， 解得，（负值，舍去）， ∴参加小组赛的球队有支． 13. “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，即．如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离为_____________分米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，配方法解一元二次方程知识．根据，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意有：，，， ∴， 整理得：， 解得：（负值舍去）． 14. 如图，矩形，点、点分别是、的中点，连接、，且平分，点为上靠近点的三等分点，连接，已知，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长、交于点，过点作于点，证明得到，，根据题意得，进而得到，结合平分，推出，则，由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， 点是的中点， ， ， ， ，， 点是的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， 点为上靠近点的三等分点， ， ，， ， ，即， ，， ， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】把2x+1看作一个整体，从等号的右边移到左边，然后提取公因式2x+1后，利用两整式的积为0时两整式至少有一个为0，即可求出方程的解． 【详解】解：x（2x+1）=2x+1， 移项得：x（2x+1）-（2x+1）=0， 提取公因式得：（2x+1）（x-1）=0， 即2x+1=0或x-1=0， 解得：，． 【点睛】此题考查了提取公因式法来解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键． 16. 如图，一组平行直线，，与直线，分别交于点，，和，，．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先由平行线分线段成比例定理得，结合已知求出的长，再与相加即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法在边上确定一点，使得． （要求保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求作． 【解析】 【分析】根据垂直平分线的作法作的垂直平分线与的交点即为点． 【详解】解：如图， 由垂直平分线的性质可得， ， ， ， ，， ． 18. 如图，为正方形内一点，点，分别在边，上，且，．求证： 【答案】证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明即可； 【详解】略 19. 如图，在中，，，，，交于点．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出相等的角，然后证明，列出等式求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 屏风历史悠久，是中国古代居室内的重要家具和装饰品，具有分隔、美化、挡风等作用．如图是一个屏芯长、宽的矩形黄花梨小座屏风示意图，屏芯周围被边框宽度相同的屏框包围．若整个屏风的面积为，求屏框的宽度． 【答案】屏框的宽度为5． 【解析】 【分析】设屏框的宽度为，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设屏框的宽度为， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：屏框的宽度为5． 21. 如图，某高铁在修建时需将位于山两侧的，两地间打通一条直线隧道，工程人员为了计算，两地之间的直线距离，选择了在测量点，，处进行测量．已知点，分别在，上，测得，，，，，求两地之间的直线距离． 【答案】 【解析】 【分析】先利用两边成比例且夹角相等证，再利用相似三角形对应边成比例求出． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴（）， 即两地之间的直线距离为． 22. 已知：关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】（1） 见解析 （2）1或3 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． 【小问1详解】 证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 23. 如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，过点D作交AB于点E． （1）求证：； （2）若，，则线段________． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， 又， （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，关键是掌握相似三角形的判定与性质． （1）利用已知条件首先证明，然后利用相似三角形的判定即可解决问题； （2）利用（1）的结论和相似三角形的性质代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 又， ， ， 故答案为： 24. 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第三季度（7月至9月）该品牌智能头盔的销量情况：7月份销售50个，9月份销售72个． （1）求该店该品牌智能头盔从7月份到9月份销售量的月均增长率； （2）已知该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当头盔的售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行，惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠，求该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元? 【答案】（1） 该店该品牌智能头盔销售量的月均增长率为 （2） 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个元 【解析】 【分析】（1）设月均增长率为未知数，根据7月与9月的销售量等量关系列一元二次方程求解； （2）设实际售价为未知数，根据总利润单个利润月销售量的等量关系列方程，结合“让市民享受实惠”的条件选取较低售价的解； 【小问1详解】 解：设该店该品牌智能头盔销售量的月均增长率为， ∵7月份销售50个， ∴9月份销售量为个， 依题意列方程：， 解得，， ∵月均增长率为正数， ∴不符合题意，舍去， 答：该店该品牌智能头盔销售量的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌智能头盔的实际售价为每个元， ∵售价为400元/个时月销售量为60个，每上涨2元/个，月销售量减少1个， ∴月销售量为个，每个的利润为元， 依题意列方程：，整理得：， 解得，， ∵要尽可能让市民享受实惠，即售价尽可能低， ∴取， 答：该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 25. 如图，四边形的对角线，相交于点，，为矩形对角线，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，的值． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，结合可得，结合，可证四边形是平行四边形，再根据可证四边形是菱形； （2）先根据已知条件和（1）中结论证明是等边三角形，进而求出，，再利用勾股定理解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理解直角三角形等，难度一般，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 26. 【问题提出】 （1）如图①，于点，于点，是上一点，．若，则的值为_____________； （2）【问题探究】如图②，是正方形的边上一点，过点作，，与交于点，连接，求的度数； （3）【问题解决】如图③，是一块绿化区域，是其垂直基准控制线（即），分别沿向外铺设矩形装饰地砖区域和，且满足，延长基准控制线交定位标线于点，求边界与之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，证得，由此得到； （2）如图，如图，作交的延长线于点，证明，推出，即可求出，进而可求的度数； （3）过E作的延长线于M，的延长线于N．证明，推出，得到，，同理，，，得到，即可证得，推出，即K是中点；根据得出． 【小问1详解】 解：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过E作的延长线于M，的延长线于N． ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可证，从而得出，， ∴， ∵， ∴， ∴，即K是中点， ∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期期中质量监测 九年级数学（北师大版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 如图，四边形与四边形相似，且点，，，分别与点，，，对应．若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 解一元二次方程，用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 6. 如图，线段，交于点，连接，．添加下列一个条件后，仍无法判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 科学研究表明，农作物的产量与施氮量之间存在一定的关系．在某种肥力的麦田中，小麦每亩的产量（单位：千克）与每亩施氮量（单位：千克）满足关系．若小麦每亩的产量为84千克，则每亩的施氮量为（ ） A. 千克 B. 2千克 C. 26千克 D. 28千克 8. 如图，在正方形中，、分别为边、延长线上的点，连接、、，，与交于点，若，则的长为（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 18 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，则_____________． 10. 如图，在菱形中，点在对角线上，且．若，则的度数为_____________． 11. 已知，是方程的两个实数根，则的值为_____________． 12. 某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛场，则参加小组赛的球队有______支． 13. “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，即．如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离为_____________分米． 14. 如图，矩形，点、点分别是、的中点，连接、，且平分，点为上靠近点的三等分点，连接，已知，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 16. 如图，一组平行直线，，与直线，分别交于点，，和，，．若，，求的长． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法在边上确定一点，使得． （要求保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，为正方形内一点，点，分别在边，上，且，．求证： 19. 如图，在中，，，，，交于点．若，，求的长． 20. 屏风历史悠久，是中国古代居室内的重要家具和装饰品，具有分隔、美化、挡风等作用．如图是一个屏芯长、宽的矩形黄花梨小座屏风示意图，屏芯周围被边框宽度相同的屏框包围．若整个屏风的面积为，求屏框的宽度． 21. 如图，某高铁在修建时需将位于山两侧的，两地间打通一条直线隧道，工程人员为了计算，两地之间的直线距离，选择了在测量点，，处进行测量．已知点，分别在，上，测得，，，，，求两地之间的直线距离． 22. 已知：关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 23. 如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，过点D作交AB于点E． （1）求证：； （2）若，，则线段________． 24. 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第三季度（7月至9月）该品牌智能头盔的销量情况：7月份销售50个，9月份销售72个． （1）求该店该品牌智能头盔从7月份到9月份销售量的月均增长率； （2）已知该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当头盔的售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行，惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠，求该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元? 25. 如图，四边形的对角线，相交于点，，为矩形对角线，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，的值． 26. 【问题提出】 （1）如图①，于点，于点，是上一点，．若，则的值为_____________； （2）【问题探究】如图②，是正方形的边上一点，过点作，，与交于点，连接，求的度数； （3）【问题解决】如图③，是一块绿化区域，是其垂直基准控制线（即），分别沿向外铺设矩形装饰地砖区域和，且满足，延长基准控制线交定位标线于点，求边界与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $