精品解析：陕西西安市高陵区通远中学2026-2027学年度第一学期期中质量监测九年级数学

2026~2027学年度第一学期期中质量监测 九年级数学（人教版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数解析式的一般式（，为常数），据此依次判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，故此选项不符合题意； B．符合反比例函数的定义，故此选项符合题意； C．不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意； D．不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列四个点中，二次函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得，故二次函数的图象经过点，A正确，B错误； 将代入，得，故二次函数的图象经过点，C错误； 将代入，得，故二次函数的图象经过点，D错误． 3. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据题意求得判别式，即可求解． 【详解】解：，，， ∴， 关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：C． 4. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及性质;由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 5. 把抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，得到的函数解析式为． 6. 在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边（阴影部分）．若空白部分的面积为，设丝绸花边的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将丝绸花边平移到图形最边上，那么长方形的长、宽分别减去对应部分丝绸花边的宽度，就是长方形空白部分的长和宽，用含的代数式表示出来后，再根据空白部分的面积列出等式即可． 【详解】解：设丝绸花边的宽为， 则去掉丝绸花边后的长为，宽为， 长方形空白部分的面积为， 空白部分的面积为， 可列方程为． 7. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数的开口方向由的符号决定，函数过原点，对称轴为；反比例函数比例系数是，位于第一、第三象限，位于第二、第四象限，结合两个函数特征逐项分析即可． 【详解】解：选项，抛物线开口向上，，反比例函数位于第二、第四象限，说明，即，二者矛盾，故选项错误； 选项，抛物线开口向下，，反比例函数位于第二、第四象限，说明，即，当时，二次函数的对称轴，应在轴右侧，图中抛物线在轴左侧，故选项错误； 选项，抛物线开口向上，，反比例函数位于第一、第三象限，说明，即，当时，二次函数的对称轴，在轴左侧，图中所表示函数图象符合所有条件，故选项正确； 选项，抛物线开口向下，，反比例函数位于第一、第三象限，说明，即，二者矛盾，故选项错误． 8. 投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，其中箭头的行进路线可看作一条抛物线．已知一名男生投壶时，箭头的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）的关系可以表示为，则这名男生此次投壶箭头行进的最大高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最大高度对应二次函数的最大值，即抛物线顶点的纵坐标． 【详解】解：对配方，得 ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴这名男生此次投壶箭头行进的最大高度为． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 二次函数的二次项系数是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次函数的一般形式为（），其中为二次项系数， 对比函数，其二次项为，对应的二次项系数为． 10. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得． 11. 若反比例函数的图象过点，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解一次方程即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 (k为常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即. 【详解】解：根据题意得， 解得 故答案为：2. 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】对于一元二次方程的一般形式（），若方程的两个实数根为，，根据根与系数的关系，有； 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得，进而由比例系数的几何意义得到，即得，再根据反比例函数图象的分布位置即可求解． 【详解】解：∵是上一点，，的面积为， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∴， ∴， 又∵反比例函数图象的一支位于第二象限， ∴， ∴． 14. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解； 【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用配方法解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解方程是关键．运用配方法求解即可． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：， 即， 开方得：或， 解得：． 16. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，． 17. 用因式分解法解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 18. 已知二次函数（是常数），求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． 【答案】 证明：∵ ， ∴不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与轴的交点问题，根据判别式与函数图象与轴交点的关系即可求解，熟练掌握判别式与函数图象与轴交点的关系是解题的关键． 【详解】略 19. 已知是的反比例函数，且当时，． （1）该反比例函数的解析式是__________； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，代入时，，解得，即可得到答案； （2）把代入反比例函数的解析式，即可解得． 【小问1详解】 解：∵是的反比例函数， ∴设， ∵当时，， ∴，解得：， ∴该反比例函数的解析式是； 【小问2详解】 解：当时，代入解析式得：， 解得：， 当时，的值为． 20. 某县“智慧茶园”项目中，年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积为亩，求该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为，根据两年后由亩增长到亩列方程求解即可． 【详解】解：设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为． 21. 潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的可用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间（单位：分钟）是潜水深度（单位：米）的反比例函数，其部分图象如图所示． （1）求气瓶可用时间关于潜水深度的函数解析式； （2）当潜水深度为30米时，求气瓶可用时间． 【答案】（1） （2）20分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时t的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为． 图象过点， ， 解得． 气瓶可用时间关于潜水深度的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，． 答：当潜水深度为30米时，气瓶可用时间为20分钟． 22. 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．已知某品牌智能头盔的进价为每个元，该头盔专卖店调研发现：当头盔的单价为元时，月销售量为个；若单价（单价为整数）在此基础上每上涨元，则月销售量将减少个．设头盔的单价上涨元，该店每月销售头盔获得的利润为元． （1）当头盔的单价上涨元时，月销售量为______个；（用含的代数式表示） （2）①求与之间的函数解析式； ②当头盔的单价为多少时，该店每月销售头盔获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）①（，且为整数）；②当头盔的单价为元时，该店每月销售头盔获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出当单价上涨元时月销售量的代数式即可； （2）①根据利润（售价进价）销量，列出函数关系式，根据销量大于等于，涨价大于等于，得到的取值范围； ②将二次函数的一般式转化为顶点式，根据二次函数的图象和性质求最值，即可得到答案. 【小问1详解】 解：∵当头盔的单价为元时，月销售量为个，单价（单价为整数）在此基础上每上涨元，月销售量将减少个， ∴当头盔的单价上涨元时，月销售量为：个； 【小问2详解】 解：①根据题意可得：， ∵， ∴，且为整数， ∴（，且为整数）； ②， ∵，二次函数的顶点坐标为， 又∵，且为整数， ∴当时，有最大值为， ∴此时头盔的单价为（元）． 答：当头盔的单价为元时，该店每月销售头盔获得的利润最大，最大利润是元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，过点作直线轴，交轴于点． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）以为边作等边三角形，点落在边的下面，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入，即可解答； （2）先求出点，再结合为等边三角形，可得，过点C作于点D，则，再利用勾股定理可得的长，即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解；∵直线轴，交轴于点， ∴点B的纵坐标为3， 把代入得：， ∴点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 如图，过点C作于点D，则， ∴， ∴点C的坐标为． 24. 如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． （1）求抛物线的函数解析式及点的坐标； （2）将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边）．若点是线段的三等分点，且，求的值． 【答案】（1）；顶点 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式和点坐标列方程组求出、，回代即可得抛物线的函数解析式，再配成顶点式直接写出顶点坐标； （2）写出平移后抛物线解析式并求出、坐标，求出点坐标，进而表示出、长，再根据点是线段的三等分点且得到，据此列方程求的值． 【小问1详解】 解：抛物线：经过点，且对称轴为直线， ，解得， 抛物线的函数解析式为， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意，得新抛物线的函数解析式为， 令，则， 解得，， 点在点的左边， ，， 抛物线与轴交于点，，且对称轴为直线， ， ，， 点是线段的三等分点，且， ，即， 解得，即的值为． 25. 如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙粗线表示古城墙，已知，米，米和总长为米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆 (细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开)． （1）如图，若点可能在线段上，所围成的展览馆的面积为平方米，求的长； （2）如图，当点在线段延长线上，为多少时，展览馆的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】（1） （2）为时，展览馆的面积最大，最大面积为平方米 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键． (1) 设的长为米，根据矩形性质得米，根据题意，可得，根据矩形的面积公式列方程求解即可． (2) 展览馆的面积为，的长为米，当点在线段延长线上，，根据矩形的面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设的长为米， 点在线段上， 米， ， ，即， ， 故根据题意得展览馆的面积为， 解得： ， (，故舍去)， 答：为米． 【小问2详解】 展览馆的面积为，的长为米， 当点在线段延长线上，， 由，得此时， 则， 上式可化为， 故当时，有最大值，即， 答：为时，展览馆的面积最大，最大面积为平方米． 26. 如图，抛物线（，为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）抛物线的函数解析式是__________； （2）如图①，点在轴下方的抛物线上，且点在第四象限，连接交轴于点．若，求点的横坐标； （3）如图②，是直线上方的抛物线上的动点（不与点，重合），过点作于点，求线段的最大值，及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）点的横坐标为 （3）的最大值为；点的坐标为 【解析】 【分析】（1）直接把、两点坐标代入抛物线，解方程组求出，，回代即可得到抛物线的函数解析式； （2）过点作轴于点，先求点坐标，由证是等腰直角三角形得，结合算出，设点坐标，利用直角三角形边角关系及勾股定理得，设点坐标列方程求解即可； （3）过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，先求直线解析式，设动点坐标并表示竖线段，利用角把转化为的表达式，再利用二次函数性质求最值即可． 【小问1详解】 解：把点，代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式是； 【小问2详解】 解：如图①，过点作轴于点， 对于抛物线，当时，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设， 则，， ， 解得（不符合题意，舍去），， 点的横坐标为； 【小问3详解】 解：如图②，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的函数解析式为， 设，则， ， ， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期期中质量监测 九年级数学（人教版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个点中，二次函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值是( ) A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边（阴影部分）．若空白部分的面积为，设丝绸花边的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，其中箭头的行进路线可看作一条抛物线．已知一名男生投壶时，箭头的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）的关系可以表示为，则这名男生此次投壶箭头行进的最大高度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 二次函数的二次项系数是______． 10. 若是方程的一个根，则的值为______． 11. 若反比例函数的图象过点，则m的值为________． 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为______． 14. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用配方法解方程． 16. 用公式法解方程：． 17. 用因式分解法解方程：． 18. 已知二次函数（是常数），求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． 19. 已知是的反比例函数，且当时，． （1）该反比例函数的解析式是__________； （2）当时，求的值． 20. 某县“智慧茶园”项目中，年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积为亩，求该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率． 21. 潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的可用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间（单位：分钟）是潜水深度（单位：米）的反比例函数，其部分图象如图所示． （1）求气瓶可用时间关于潜水深度的函数解析式； （2）当潜水深度为30米时，求气瓶可用时间． 22. 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．已知某品牌智能头盔的进价为每个元，该头盔专卖店调研发现：当头盔的单价为元时，月销售量为个；若单价（单价为整数）在此基础上每上涨元，则月销售量将减少个．设头盔的单价上涨元，该店每月销售头盔获得的利润为元． （1）当头盔的单价上涨元时，月销售量为______个；（用含的代数式表示） （2）①求与之间的函数解析式； ②当头盔的单价为多少时，该店每月销售头盔获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，过点作直线轴，交轴于点． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）以为边作等边三角形，点落在边的下面，求点的坐标． 24. 如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． （1）求抛物线的函数解析式及点的坐标； （2）将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边）．若点是线段的三等分点，且，求的值． 25. 如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙粗线表示古城墙，已知，米，米和总长为米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆 (细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开)． （1）如图，若点可能在线段上，所围成的展览馆的面积为平方米，求的长； （2）如图，当点在线段延长线上，为多少时，展览馆的面积最大？最大面积为多少平方米？ 26. 如图，抛物线（，为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）抛物线的函数解析式是__________； （2）如图①，点在轴下方的抛物线上，且点在第四象限，连接交轴于点．若，求点的横坐标； （3）如图②，是直线上方的抛物线上的动点（不与点，重合），过点作于点，求线段的最大值，及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $