2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟提升卷(测试范围：第二十五～二十七章)

2026-2027学年九年级上册数学期中模拟提升卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，据此进行逐项分析，可得答案． 【详解】解：∵ 一元二次方程需同时满足：是整式方程，只含有1个未知数，未知数的最高次数为2， ∴ 对各选项逐一判断： A、是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合条件； B、中未知数的最高次数为1，不符合； C、是分式方程，不是整式方程，不符合； D、含有、两个未知数，不符合． 2．下列方程最不适宜用配方法求解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各方程整理为一般形式，结合配方法的适用范围判断． 【详解】解：、为一元二次方程，二次项系数化为后可配方求解，不符合题意； 、整理得，是一元三次方程，配方法仅适用于一元二次方程，无法使用，符合题意； 、为一元二次方程，一次项系数为偶数，易配方，不符合题意； 、整理得，为一元二次方程，一次项系数为偶数，易配方，不符合题意． 3．若一元二次方程有两个不相等的实数根，且m是非正数，则下列对m取值的判断正确的是（     ） A．可能是 B．可能是 C．符合条件的值有个 D．这样的值有无数个 【答案】D 【分析】由方程有两个不相等的实数根得判别式大于，结合是非正数的条件确定的取值范围，再判断各选项． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ，解得， 又是非正数， ， ， 和均不满足， 选项、错误； 题目未限定为整数，满足的实数有无数个， 选项错误，选项正确． 4．下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：的右边含分式，不是二次函数； B选项：化简得，符合二次函数定义； C选项：化简得，是一次函数，不是二次函数； D选项：当时，函数解析式为，是一次函数，故该函数不一定是二次函数． 5．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表， x …… 0 3 5 …… y …… 0 …… 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．当时，的值随的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：将代入，得． 将，代入解析式，得． 解得． ∴二次函数解析式为． ∵， ∴图象开口向下，A错误． 图象的对称轴是直线，D正确． ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，B错误． ∵抛物线顶点坐标为，开口向下，与轴交于和， ∴当时，，图象经过第一、三、四象限，C错误． 6．若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限． 7．关于二次函数，以下说法正确的是（     ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．可以由抛物线向右平移2个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而增大． 【答案】D 【详解】解：二次函数为顶点式，对应，，. 对称轴为直线，顶点坐标为，故A、B错误. 将抛物线向右平移2个单位长度，得，与题中函数不符，故C错误. ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故D正确. 8．如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数系数的几何意义，得出 及 的值，进而求解． 【详解】解：点、是双曲线 上的点， 过点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积均为， ，， ， ，， ． 9．如图是二次函数的图象，则，的值可能为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点判断的符号． 【详解】解：根据题图可知，抛物线的对称轴在轴右侧，则， 解得， 抛物线与轴的交点在轴上方， 可得， 故选项满足题意． 10．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当反比例函数图象在一三象限时，，则对应的一次函数图象经过第一、三、四象限，所以选项A、B错误； C、当反比例函数图象在二四象限时， ，则对应的一次函数图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D选项正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解方程，得，即或， ∵， ∴， ∴. 12．设，是方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】将所求代数式拆分为与两部分，结合一元二次方程解的定义、根与系数的关系分别求出两部分的值，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴将代入方程可得，即， ∵，是方程的两个不相等的实数根， ∴根据根与系数的关系，两根之和， ∴． 13．二次函数，当时，函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先对二次函数配方得到开口方向和对称轴，再根据给定的的范围，计算区间端点的函数值，比较得到最大值． 【详解】解：∵，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 在范围内，计算区间端点的函数值： 当时，； 当时，； ∴函数的最大值为． 14．若点，，都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是______．（用“<”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限，结合给定的的取值范围，先判断各点对应值的正负，再利用同一象限内的函数增减性比较同象限的值大小，即可得到答案． 【详解】解：∵ 反比例函数的比例系数， ∴ 函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 点、位于第二象限的函数分支上，对应的、均为正数，且， ∵ ， ∴ 点位于第四象限的函数分支上，对应的为负数，即， 综上可得． 15．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利万元，则该公司月和月销售利润的月均增长率为________． 【答案】 【分析】一季度是、、三个月利润之和，不是只有连续增长后的三月份利润，这是易错点．按“增长后量增长前量增长率)”依次写出每月利润，再求和列方程，解方程后根据实际意义舍去负根． 【详解】解：设、月份利润的月均增长率为． 由题意，各月利润分别为： 月份：万元； 月份：万元； 月份：万元． 一季度总利润为万元， 整理得： 因式分解： 解得，． ∵增长率为正数，，舍去． ∴． 该公司、月份利润的月均增长率为． 16．定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． （1）若7是此函数的“幸运数”，则的值为__________． （2）若此函数有两个相异的“幸运数”，，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】紧扣“幸运数”的定义，将自变量与函数值相等的条件转化为方程关系，第一问代入已知幸运数计算的值；第二问结合一元二次方程的根的分布特征，利用对应开口向上的二次函数的图象性质求解的范围． 【详解】解：（1）根据“幸运数”的定义，当时，，将点代入． 得． 整理得． 解得． （2）根据“幸运数”的定义，幸运数是满足的值，令． 整理得． 函数有两个相异的“幸运数”． 上述一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式． 解得， 设二次函数，该函数开口向上（二次项系数）， ，即方程的两个根分别在的两侧． 当时，对应的函数值． 代入得．整理得．解得． 满足． 的取值范围为． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17． 解方程． (1)(用配方法)； (2)(用公式法)； (3) (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得，即， 直接开平方，得， 所以，； （2）解：移项，得， 因为，，， ， 所以， 即，； （3） 解：因为，，， ， 所以， 即，． （4）解：因式分解得， 即， ∴或， ． 18．已知关于的方程有实数根． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为或. (2)存在，的值为. 【分析】（1）将代入方程求解，结合方程有实根的判别式条件验证结果； （2）利用根与系数的关系变形所求代数式，列方程求解，结合判别式筛选符合条件的值． 【详解】（1）解：∵方程的一个根为， ∴将代入，得，即， 解得，， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∵和均满足， ∴的值为或. （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， ∴代入得， 整理得， 解得，. ∵方程有实数根， ∴， ∴不符合条件，舍去， ∴. 综上所述，存在实数使得成立． 19．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q是对称轴上的一个动点，当最小时，求点Q的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）对于抛物线，令，求出点C的坐标．连接，则的最小值为的长．求出直线的解析式，其与抛物线对称轴的交点即为点Q的坐标，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于抛物线，令，则， ∴． 连接， ∵A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， 即的最小值为的长． 直线与抛物线的对称轴的交点即为Q． 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， 所以直线的解析式为， 令，得， ∴， 的最小值为． 20．在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）． (1)若，请通过配方将二次函数的表达式化成顶点式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)已知点，是两个不同的点，都在该二次函数图象上，求n的最大值． 【答案】(1)，开口向上，对称轴为：直线，顶点坐标为； (2)6 【分析】（1）将代入函数解析式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （2）根据函数解析式得出对称轴为：，，然后建立方程得出，代入函数解析式利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∵， ∴开口向上，对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）∵， ∴对称轴为：， ∵点，都在该二次函数图象上， ∴对称轴为：， ∴， ∴， ∴， ∴，即n的最大值为6． 21．如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． (1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； (2)求双曲线的解析式及的值； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)双曲线的解析式为， (3) 【分析】（1）推导出，第一象限内反比例函数单调递减，纵坐标越大，对应的横坐标越小，直接比较， （2）先利用反比例函数的几何意义求出的值，写出双曲线解析式，把代入解析式，解方程求， （3）先求直线解析式，设出点坐标，写出中点坐标；利用在直线上列方程，求解正数，得到坐标即可， 【详解】（1）解：∵双曲线的一支图像在第一象限， ，且双曲线在时，随的增大而减小， 点，在双曲线上，且， ； （2）解：∵为的中点，的面积为3， ∴， 轴， ∴， ∴双曲线的解析式为， 点在双曲线上， ， 解得； （3）解：由（2）得， 设直线的解析式为， 把代入得 ， ， 直线解析式为， 设，则， 在直线上， ， ， ， ， 当时，， ． 22．骑车出行须戴头盔．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求销售量的月增长率； (2)若进价为每个元，当售价为每个元时，月销售量为个，售价每上涨元，月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则每个头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)销售量的月增长率为 (2)每个头盔的实际售价应定为元 【分析】（1）根据月、月的销量及相同月增长率，列一元二次方程求解即可； （2）根据总利润单个利润×销售量的关系，列出方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求选取较低售价的解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设销售量的月增长率为， ∵该品牌头盔月份销售个，月份销售个， ∴， 解得，（舍去）， 答：销售量的月增长率为． （2）解：设售价上涨元， ∵售价为每个元时，月销售量为个，售价每上涨元，月销售量将减少个， ∴单个利润为元，月销售量为个， ∵月销售利润达到元， ∴， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴（元）， ∴每个头盔的实际售价应定为元． 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，其中，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)若的面积为6，求点B的坐标及直线的解析式； (3)随着点B的变化四边形的形状也在变化，在变化过程中，四边形能变为菱形吗？，如果能，请求出B点坐标．如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)四边形能变为菱形，此时点B的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，根据点A和点B的坐标可推出，，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可； （3）根据题意可得，根据点A和点B的坐标可推出，根据菱形的对角线互相平分建立方程求出m、n的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵轴，轴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：∵轴，轴， ∴，即， ∵，， ∴，，， ∴，， 当四边形是菱形时，则， ∴， ∴， 此时，即点B在反比例函数的图象上， ∴四边形能变为菱形，此时点B的坐标为． 24．已知抛物线的顶点，经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求出二次函数最大值与最小值的差； (3)如图过点作直线交抛物线于点、，轴于，轴于，求的值． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】（1）根据顶点坐标将二次函数表达式设出来，再将点代入求解即可； （2）利用二次函数的增减性求解即可； （3）将一次函数表达式设出来，联立一次函数与二次函数，求出点横坐标之间的关系，从而确定点横坐标之间的关系，再利用两点之间的距离求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 即． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ，且， 抛物线开口向上，离对称轴越远值越大， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值是0， 最大值与最小值的差是16． （3）解：设直线的解析式为， 将点代入解得， ∴直线的解析式为， 将代入，整理得：， ，， ， ， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学期中模拟提升卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．下列方程最不适宜用配方法求解的是（     ） A． B． C． D． 3．若一元二次方程有两个不相等的实数根，且m是非正数，则下列对m取值的判断正确的是（     ） A．可能是 B．可能是 C．符合条件的值有个 D．这样的值有无数个 4．下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表， x …… 0 3 5 …… y …… 0 …… 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．当时，的值随的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 6．若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 7．关于二次函数，以下说法正确的是（     ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．可以由抛物线向右平移2个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而增大． 8．如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图是二次函数的图象，则，的值可能为（     ） A．， B．， C．， D．， 10．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A．B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 12．设，是方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 13．二次函数，当时，函数的最大值为________． 14．若点，，都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是______．（用“<”连接） 15．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利万元，则该公司月和月销售利润的月均增长率为________． 16．定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． （1）若7是此函数的“幸运数”，则的值为__________． （2）若此函数有两个相异的“幸运数”，，且，则的取值范围为__________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17． 解方程． (1)(用配方法)； (2)(用公式法)； (3) (4)． 18．已知关于的方程有实数根． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 19．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q是对称轴上的一个动点，当最小时，求点Q的坐标及的最小值． 20．在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）． (1)若，请通过配方将二次函数的表达式化成顶点式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)已知点，是两个不同的点，都在该二次函数图象上，求n的最大值． 21．如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． (1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； (2)求双曲线的解析式及的值； (3)求点的坐标． 22．骑车出行须戴头盔．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求销售量的月增长率； (2)若进价为每个元，当售价为每个元时，月销售量为个，售价每上涨元，月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则每个头盔的实际售价应定为多少元？ 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，其中，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)若的面积为6，求点B的坐标及直线的解析式； (3)随着点B的变化四边形的形状也在变化，在变化过程中，四边形能变为菱形吗？，如果能，请求出B点坐标．如果不能，请说明理由． 24．已知抛物线的顶点，经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求出二次函数最大值与最小值的差； (3)如图过点作直线交抛物线于点、，轴于，轴于，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $