精品解析：江西省鄱阳县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试卷

鄱阳一中2026年上学期高二年级第一次学情调研数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线一般式转化为斜截式得到斜率，再结合倾斜角的取值范围和斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】首先将直线的一般式方程化为斜截式： 移项得，两边同时除以，整理得，因此该直线的斜率. 设直线的倾斜角为，根据直线倾斜角的定义，，且斜率与倾斜角满足关系，代入得. 结合的取值范围，解得. 【点睛】 2. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，高为4，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，圆台的母线长， 所以该圆台侧面积. 3. 用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图，则该直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图与原图面积关系计算. 【详解】原正方形边长为，面积， 则直观图的面积. 4. 两平行直线 ， 之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为 ，， 所以两条直线间的距离为 5. 若圆的圆心为，且与轴相切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求出圆的标准式，从而再求出一般式. 【详解】由已知得圆的半径为，故圆的方程为， 即． 6. 如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义结合余弦定理计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 7. 已知直线及点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程变形求出定点，并计算出该点与线段端点连线的临界斜率和，结合图形分析，即可建立关于参数的不等式并求解. 【详解】，即，则直线经过定点， 作出图形如下：则，， 若直线与线段相交，则其斜率的范围为， 而，所以的取值范围为. 8. 已知三棱锥中，，，且．若三棱锥的外接球表面积为，则钝二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出外接球半径，作出辅助线，找到外接球球心的位置，得到垂直关系，得到为二面角的平面角，并求出各边长，得到，，相加可得答案. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，由题意得，解得， 设的外心分别为，设三棱锥的外接球球心为， 连接，延长交于点，连接，则， 因为，所以为的中点，所以⊥， 又因为，所以为的中点，且⊥，则， 所以为二面角的平面角， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，， 所以， 在中，， 在中，，所以， 又， 在中，， 其中，所以，故， 所以， 故钝二面角的大小为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 已知是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下面说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则或，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，，则，D正确； 10. 下列说法正确的是（ ） A. 点为圆外一点，则实数的取值范围为 B. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 C. 当点到直线的距离最大时，m的值为 D. 设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，保证为圆，同时点为圆外一点建立不等式即可；对于B，圆上恰有两点到点的距离为1，所以圆与圆相交，再根据两圆相交的条件求解即可；对于C，直线过定点，点到直线的距离最大时，直线应与垂直，此时m的值为；对于D，当时，直线与曲线满足恰有一个公共点，同时直线与曲线相切时满足恰有一个公共点，求出b的范围，即可判断对错. 【详解】对于A，圆的方程为 即，需满足. 点在圆外，满足， 解得，故A错误. 对于B，圆上恰有两点到点的距离为1， 所以圆与圆相交， 两圆圆心距为， 两圆相交应满足，解得.故B正确. 对于C，直线为，即 令，，得，， 所以直线过定点， 点到直线的距离最大时，直线应与垂直， ，此时直线的斜率为，故C正确. 对于D，曲线可化为， 是以为圆心，半径为的圆的一部分， 直线与曲线恰有一个公共点，其图形如下所示. 当时，或直线与曲线相切时满足恰有一个公共点， 当直线与曲线相切时也满足恰有一个公共点， 即满足圆心到直线的距离等于半径，即， 解得，也满足题意，故D错误. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ） A. 存在点，使得 B. 过三点、、的正方体的截面面积为 C. 四面体的内切球的表面积为 D. 点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆 【答案】BC 【解析】 【分析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由可判断A；过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，求出截面面积可判断B；设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，由即，求出可判断C；由分析可得，的轨迹是被四边形截得的4段圆弧，求解可判断D. 【详解】对于A，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，； 若，则，即，与题意矛盾，所以A错误； 对于B，取中点，连接，因为， 所以可得、、、四点共面， 所以过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形， ， 过点作，所以， 所以梯形的高为， 所以，，故B正确； 对于C，如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个三棱锥的体积， 可知四面体是棱长为的正四面体， 取的外心，连接，则平面， 则，则，所以， 所以四面体的高， 设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为， ， 即，，所以C正确； 对于D，，，∵，∴， 即，可得轨迹为圆：， 所以，圆心，，又， 所以，轨迹为圆：被四边形截得的4段圆弧， 所以D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若与垂直，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为与垂直，则，解得. 13. 若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为， 设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为， 代入点解得，此时直线的斜率为. 所以 14. 如图所示，二面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AB＝2，AC＝3，BD＝4，则CD的长____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，且，在棱上， 所以，. 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为， 则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以 ， 即， 所以的长为 四、解答题（本题共5题，共77分） 15. 如图，在正三棱柱中，点是的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）连接，交于点，连接. 正三棱柱中，侧面为矩形，所以为中点. 又点是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）正三棱柱中，为正三角形，且平面. 因为点是的中点，所以. 因为平面，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）点为圆内一点，弦恰好被点平分，求直线的方程，并判断为钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形？ 【答案】（1） （2），直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质可得圆心在AB的垂直平分线上，又因为圆心在AD的垂直平分线上，所以可以求出圆心坐标，从而得到半径； （2）根据垂径定理得到，可求出直线的斜率，代入点得到的方程，利用三边关系进行三角形形状的判断. 【小问1详解】 直线的斜率为 因此的垂直平分线方程为：，即 的垂直平分线方程为 解得圆心. 圆的半径 故圆的标准方程为：. 【小问2详解】 由垂径定理可知：，，， 所以的直线方程为：，即 圆心到直线距离， 所以， ∵， ∴为直角三角形. 17. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【小问1详解】 如图所示：设的边上的高为，边上的高为， 设：，：，联立得， 解得，所以垂心； 【小问2详解】 ， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：. 【小问3详解】 设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，E是棱上的一点． （1）若平面，求的值； （2）若，且， （ⅰ）求四棱锥的体积； （ⅱ）当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】（1）2 （2）（ⅰ）（ⅱ）15 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由线面平行的性质定理推得；结合梯形中得到相似三角形，得出对应线段比例，再由平行线分线段成比例求出的值. （2）（i）先计算直角梯形的底面积，利用面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定证明平面，确定为四棱锥的高；通过勾股定理求出高的长度，代入棱锥体积公式求解. （ii）由线面垂直推出，将转化为关于的表达式，分析单调性可知最小时线段和最小；由垂线段最短得时取最值，借助直角三角形面积相等与勾股定理计算线段长度，最终得到比值. 【小问1详解】 连接，交于点，连接. 因为平面，平面平面，由线面平行的性质得. 在中，由平行线分线段成比例：， 又，故，相似比为，因此. 代入得，即. 【小问2详解】 （i）梯形为直角梯形，上底，下底，高， 平面平面，交线为. 过作于，由面面垂直的性质得平面，故. 在底面中，， 故，， 由，，，得平面，故. 又平面平面，交线为，故平面，即为四棱锥的高. 在中，，， 由勾股定理： （ii）由平面，平面，故，即、均为直角三角形： ，，因此，，随增大而递增. 当时，取得最小值，此时最小. 在中，由面积相等： 在中： 故. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义求解即可. （2）根据线面垂直的判定定理、线面垂直的性质，结合离散曲率的定义求得；根据点到平面距离的定义，结合三角函数求解即可. （3）根据三角函数之间的关系得到关于的方程，求解即可. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得 ， ， ， ， 所以． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以. 又，，，平面，则平面. 又平面，所以，即. 又，即，解得. 过点作于点， 因为平面，平面，所以. 又，，平面，则平面. 因此线段的长即为点到平面的距离. 在中，， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 依题意，，，， 则，. 设，则， ， 在中，， 由，得，， 因此， 而，解得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄱阳一中2026年上学期高二年级第一次学情调研数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，高为4，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 用斜二测画法画一个边长为2的正方形的直观图，则该直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 两平行直线 ， 之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆的圆心为，且与轴相切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线及点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥中，，，且．若三棱锥的外接球表面积为，则钝二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 已知是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下面说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 点为圆外一点，则实数的取值范围为 B. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 C. 当点到直线的距离最大时，m的值为 D. 设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 11. 如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ） A. 存在点，使得 B. 过三点、、的正方体的截面面积为 C. 四面体的内切球的表面积为 D. 点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若与垂直，则________. 13. 若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为______. 14. 如图所示，二面角为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AB＝2，AC＝3，BD＝4，则CD的长____________． 四、解答题（本题共5题，共77分） 15. 如图，在正三棱柱中，点是的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 16. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）点为圆内一点，弦恰好被点平分，求直线的方程，并判断为钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形？ 17. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，E是棱上的一点． （1）若平面，求的值； （2）若，且， （ⅰ）求四棱锥的体积； （ⅱ）当取得最小值时，直接写出的值． 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $