精品解析：江西省上饶市鄱阳县第二中学2024-2025学年高二上学期第二次检测数学试卷

鄱阳县第二中学2024-2025学年高二上第二次检测数学试卷 试卷分值：150 考试时长：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线：（为常数，），则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率，利用斜率的范围求出倾斜角的范围. 【详解】设直线倾斜角为， 则，又， 所以， 故选：A 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易知平面的法向量，结合线面夹角可得射影的模长. 【详解】易知平面的法向量为， 且，， 则， 即直线与平面的夹角的正弦值为，余弦值为， 则， 故选：A. 3. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理求出答案即可. 【详解】的展开式中的系数是 故选：B 4. 已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆恰有三条公切线判断两圆外切，再由即可求得t的值. 【详解】由圆与圆恰有三条公切线，可知圆与圆外切. 由配方得：，知圆心半径； 由配方得：，知圆心半径. 由，可得，解得. 故选：B. 5. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案. 【详解】由，，而且， 则 ， 显然，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 6. 已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小，再设切线联立椭圆求切线即可. 【详解】由题意，与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小， 令切线为，联立椭圆方程有，整理得， 所以，则， 对于，其切点到的距离为， 对于，其切点到的距离为， 显然点M到直线距离最小值为. 故选：C 7. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据，整理即可得解. 【详解】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 8. 已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（ ） A. B. 14 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，进行合理转化，求得周长最大值即可. 【详解】由椭圆方程得，，. 设椭圆的左焦点为， , ， 则的周长为 , 当且仅当三点共线，且在的延长线上时取等号. 的周长最大值为. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 空间向量与垂直 B. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为 C. 已知向量，，，若可作为一组基底，则可取1 D. 若和分别是直线和直线的方向向量，则两直线所成夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示判断A；求出投影向量的模判断B；利用基底的意义计算判断C；求出异面直线的夹角判断D. 【详解】对于A，由向量与，得，不垂直，A错误； 对于B，向量，，在方向上的投影向量，其模为，B正确； 对于C，当时，，假定共面，即存在有序数对使得， 则，于是，此方程无解，因此不共面， 即当时，可作为一组基底，C正确； 对于D，由，而，解得， 直线所成夹角为，D错误. 故选：BC 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（ ） A. B. C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线的斜率为4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义求得，，再逐项计算判断即可. 【详解】由，设，，由，得， 则，，而，解得，因此，， 对于A，，A错误； 对于B，显然，则，B正确； 对于C，令，在中，由，得， 则，，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确； 对于D，由，结合对称性,则直线的斜率为，D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 11. 有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ） A. 分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法 B. 分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法 C. 分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D. 分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法 【答案】CD 【解析】 【分析】利用平均分配和部分平均分配原则一一计算可判定选项. 【详解】对于A，根据平均分组可知有，故A错误； 对于B，先选一人得4本书，有种方法，余下2本书分给两人有2种分法， 所以共有90种方法，故B错误； 对于C，先分给甲乙两人有种方法，余下2本书分给两人有2种分法， 所以共有180种方法，故C正确； 对于D，按照分步乘法计数原理知，所以D正确. 故选：CD 【点睛】思路点睛：对于平均分组或局部平均分组问题需要注意重复的部分，仔细计算即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 【答案】12 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由分步乘法计数原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）． 故答案为：12. 13. 对于任意实数，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据目标式的几何意义是空间任意点到定点距离的和，判断距离和最小时的位置，即可得答案. 【详解】由目标式的几何意义为空间任意点到定点距离的和， 要使它们的距离和最小，只需在线段上，此时最小值为. 故答案为： 14. 嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意由已知条件根据勾股定理即可分别计算得出两离心率的大小，可得结果. 【详解】由题意可知，， 不妨设，则，，，如下图所示： 所以上、下截面椭圆的离心率分别为，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若直线的一个方向向量为，且在轴上的截距为，求直线的方程； （2）已知直线恒过定点P，直线恒过定点Q，已知和交于点M． ①求出定点P，Q的坐标； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】（1）由直线方向向量即可得到斜率，用点斜式写出直线方程； （2）①含参项合并整理直线方程，令参数前系数为0即可解得定点； ②联立方程组消掉参数即可得到交点的轨迹，利用圆上的点到直线距离最大值为圆心到直线距离加上半径即可找到距离最大的点，此时面积最大. 【详解】（1）由题意得斜率，与轴交点为， 由点斜式可得直线：，即. （2）①整理方程得，当时方程恒成立，∴ 同理可得，当时方程恒成立，∴ ②联立方程组即，则， ∴，即（去除点）， ∴点圆心为半径的圆上（去除点）， 直线：，即， 圆心到直线的距离， ∴圆上的点到线段的最大距离为， 此时 则面积的最大值为：. 16. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 【答案】（1）；（2）2． 【解析】 【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在， 设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1． 故由，解得：． 故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点． （2）设M；N， 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程， 可得， ∴， ∴， 由，解得 k=1， 故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2 考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 17. 已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点． （1）若直线过点，且其倾斜角，求的值； （2）是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题可知，且直线的斜率不为0，设，则直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理求弦长，然后求解三角形的面积即可； （2）设直线方程为，联立方程组，将转化为，求解直线的方程即可. 【小问1详解】 由题可知，且直线的斜率不为0， 设．因为，则直线的斜率， 设直线的方程为， 因此点到直线的距离为， 联立，则，显然， 所以， 则， 所以. 【小问2详解】 设直线方程为，即， 联立得， 故即，又， 易知， 因为，则， 因为，所以， 即，解得或， 故存在斜率为1的直线，使得， 此时直线的方程为或． 18. 如图，在四棱锥中，，，侧面平面. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 因为，即，所以， 如图所示，取中点E，连接， 因为，所以， 又侧面平面，侧面平面，侧面， 所以底面， 而底面，所以， 因为，，平面， 所以平面, 因为平面，所以， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理先证，取中点E，由面面垂直得，结合线面垂直的判定得平面，从而证明得出，最后利用线面平行的判定证明即可； （2）利用线面角的定义得出，再根据锥体的体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上知底面，且， 则直线与平面所成角为， 即， ， 故三棱锥的体积为. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； （3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【小问1详解】 由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，,显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由题意，, 设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得， 所以 所以 所以， 同理联立消去得， 所以 所以 所以， 即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄱阳县第二中学2024-2025学年高二上第二次检测数学试卷 试卷分值：150 考试时长：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线：（为常数，），则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（ ） A. B. C. D. 0 5. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（ ） A. B. 14 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 空间向量与垂直 B. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为 C. 已知向量，，，若可作为一组基底，则可取1 D. 若和分别是直线和直线的方向向量，则两直线所成夹角为 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（ ） A. B. C. 双曲线的渐近线方程为 D. 直线的斜率为4 11. 有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ） A. 分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法 B. 分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法 C. 分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D. 分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 13. 对于任意实数，的最小值为______． 14. 嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若直线的一个方向向量为，且在轴上的截距为，求直线的方程； （2）已知直线恒过定点P，直线恒过定点Q，已知和交于点M． ①求出定点P，Q的坐标； ②求面积的最大值． 16. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 17. 已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点． （1）若直线过点，且其倾斜角，求的值； （2）是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，，，侧面平面. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $