精品解析：江西抚州市崇仁县第一中学2026-2027学年高二年级上学期第一次阶段性数学学科作业

崇仁一中2026年秋季学期高二年级第一次阶段性数学学科作业 本卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 3. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线倾斜角为 B. 直线经过第四象限 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线的一个方向向量为 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断；令，求出直线过点可判断和； 根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断. 【详解】设直线的倾斜角为， 对于，直线的斜率为，所以，则，故错误； 对于，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故错误； 对于，由知，直线在轴上的截距为，故错误； 对于，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故正确. 故选：. 4. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合，求出，进而可得弦所在直线的方程. 【详解】由题意得，圆的圆心为，则，因点为圆的弦的中点，所以，故，即， 因此弦所在直线的方程为：，即. 故选：A. 5. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 6. 已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 7. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程可得到圆心坐标以及半径， 设，运用向量的数量积运算可得，从而，可知表示圆上的点到原点的距离，根据圆的性质即可得到答案. 【详解】圆的圆心，半径， 设，∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵点在圆上，∴表示圆上的点到原点的距离， 又，， ∴，即，得， 因此的取值范围为. 故选：A. 8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点轨迹为圆，设为弦的中点，再由极化恒等式即可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标， 易知直线恒过点， 直线恒过，且，则，即， 点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接，由，易知， ， 又点分别为圆、圆上的点， 所以，当在处取等号， 所以 ， 即的最大值为． 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线与直线垂直 B. 若直线经过第三象限，则 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 经过点的直线方程均可用表示 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项结合直线方程知识点逐一判断正误即可. 【详解】对于选项A，当时，直线方程为和， 两直线垂直，故选项A正确； 对于选项B，直线与轴的交点分别为， 当直线经过一，二，三象限时，，可得， 可得，故B错误； 对于选项C，当直线在轴上的截距都为0时，有直线同样满足条件，故C错误； 对于选项D，根据直线方程的定义与表示法， 可表示任意过的直线，故D正确. 综上所述，答案选AD. 11. 已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （ ） A. 切线长最小值为 B. 四边形的面积最小值为 C. 最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦长的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可判断A选项；推导出，可得出，利用三角形的面积公式可判断B选项；分析可知，当最小时，四边形为正方形，求出线段的中点坐标，结合直线的点斜式方程可判断C选项；分析可知，，求出的最小值，可判断D选项. 【详解】圆心为，半径为，连接、，则， 对于A选项，由勾股定理可得， 当时，取最小值，此时，也取最小值， 且，则，A错； 对于B选项，由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 故， 当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为，B对； 对于C选项，当取最小值时，， 因为直线的斜率为，则，此时，直线的方程为， 联立可得，此时，点，线段的中点为， 因为，且， 所以，四边形为正方形，此时，， 且直线过线段的中点，则直线的方程为，即，C对； 对于D选项，设， 因为，则， 因为，则，且为的中点， 所以，，且， 当时，取最小值，此时，， 故，D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法 （1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据及由点在圆外列式即可求解. 【详解】方程表示圆，则有，解得， 点在圆外，有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 13. 三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用轴对称求得对称点，结合图象，可得答案. 【详解】由，则其关于轴的对称点为， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 作图如下： 的周长. 故答案为：. 14. 已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程，可得和恒过定点，根据系数的关系，可得和垂直，即可得点P的轨迹方程D，分析可得圆C和圆D相离，根据两圆的位置关系，分析即可得答案. 【详解】又变形为，则恒过定点， 变形为，则恒过定点， 因为，所以， 则点P的轨迹是以和为直径端点的圆D（去除点）， 所以圆心，半径， 又圆C的圆心，半径， 所以两圆的圆心距， 则两圆相离， 所以的最大值为， 因为点不在圆D上， 所以的最小值大于， 则的取值范围是. 四、解答题（本题共5大题，共77分） 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解． 【小问1详解】 由，，得的中点； 则边上的中线的斜率为． 【小问2详解】 由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为． 16. 已知圆M过，，三点． （1）求圆M的标准方程； （2）若过点的直线l与圆M相交于E，F两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程即可； （2）分为直线l的斜率存在和不存在两种情况来讨论，根据弦长公式列式求出斜率，即可求解. 【小问1详解】 设圆M的方程为． 把，，三点分别代入方程可得： ， 解得，，， 所以圆M的方程为，其标准方程为． 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为． 此时到直线l的距离， 弦长，满足题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即． 圆心到直线l的距离． 因，弦长公式得， 两边平方解得．所以，两边平方得． 展开得，移项可得． 则直线l的方程为，即． 综上所得，直线l的方程为或． 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，AB边上中线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为，求： （1）顶点C的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据设出直线的方程，利用的坐标求得直线的方程，通过联立的方程求得点的坐标. （2）求得点坐标，然后求得到直线的距离，利用两点间的距离公式求得，进而求得的面积. 【小问1详解】 ∵，BH的方程为， 不妨设直线AC的方程为， 将代入得，解得， ∴直线AC的方程为， 联立直线AC，CD的方程，即， 解得点C的坐标为； 【小问2详解】 设，则，∵点在上，点在上， 所以，解得， 直线的方程为， 则到直线的距离为， 又，，则， 18. 已知直线l：x+y+3＝0及圆C：，令圆C在x轴同侧移动且与x轴相切， （1）圆心在何处时，圆在直线l上截得的弦最长； （2）C在何处时，l与y轴的交点把弦分成1：3； （3）当圆C移动过程中与直线l交于A，B两点时，求·的取值范围. 【答案】（1）；（2）圆心为或；（3）． 【解析】 【分析】（1）当圆心在直线l上时，圆在直线l上截得的弦最长，令即可求解圆心； （2）因为直线l与y轴的交点为，所以圆C在x轴下方，故设圆心为，结合弦长公式即可求解； （3）设圆C：，将直线方程代入圆方程，利用韦达定理和数量积公式即可求解． 【详解】（1）当圆心在直线l上时，圆在直线l上截得的弦最长为6， 故令得，所以圆心为； （2）直线l与y轴的交点为，故设弦长为，圆心为， 圆心到直线l的距离为， 因为l与y轴的交点把弦分成1：3，所以 解得，则，得 所以当C的圆心为或时，l与y轴的交点把弦分成1：3． （3）若圆C：，设 由得 ，得 由· 得 因为 所以； 19. 已知圆：和圆：（）. （1）若圆与圆相交，求r的取值范围； （2）若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值； （3）若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系，即可求得答案； （2）联立直线与，结合韦达定理及向量的数量积运算，求解即可； （3）由题意可得，从而得对无穷多的成立，由或，求解即可. 【小问1详解】 由圆的方程可得两圆的圆心和半径分别为， 则， 又因为圆与圆相交，所以， 解得， 所以r的取值范围为； 【小问2详解】 由，消去得， ，解得， 设，则有， 所以， 由， 整理得， 又因，则可得； 【小问3详解】 设，，因,则， 因为，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 则点到直线的距离与点到直线的距离相等， 即， 依题意，对无穷多的成立， 所以或， 解得或， 即满足条件的点P的坐标有或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇仁一中2026年秋季学期高二年级第一次阶段性数学学科作业 本卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线倾斜角为 B. 直线经过第四象限 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线的一个方向向量为 4. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线与直线垂直 B. 若直线经过第三象限，则 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 经过点的直线方程均可用表示 11. 已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （ ） A. 切线长最小值为 B. 四边形的面积最小值为 C. 最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦长的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 13. 三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为__________. 14. 已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围______． 四、解答题（本题共5大题，共77分） 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的斜率． 16. 已知圆M过，，三点． （1）求圆M的标准方程； （2）若过点的直线l与圆M相交于E，F两点，且，求直线l的方程． 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，AB边上中线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为，求： （1）顶点C的坐标； （2）求的面积. 18. 已知直线l：x+y+3＝0及圆C：，令圆C在x轴同侧移动且与x轴相切， （1）圆心在何处时，圆在直线l上截得的弦最长； （2）C在何处时，l与y轴的交点把弦分成1：3； （3）当圆C移动过程中与直线l交于A，B两点时，求·的取值范围. 19. 已知圆：和圆：（）. （1）若圆与圆相交，求r的取值范围； （2）若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值； （3）若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $