精品解析：重庆市长寿中学校2026-2027学年九年级上学期10月期中质量监测数学试题

长寿中学2026年秋期期中质量监测 九年级数学试题 （总分：150分　　答题时间：120分钟） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一元二次方程的两个根分别是和，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是反比例函数的图象上的任意一点，过点作轴，垂足为．若的面积为6，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 5. 将二次函数的图象向右平移个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动的同学人数为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 7. 若二次函数的图象经过点、和，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点，点在反比例函数（，）的图象上，点在轴上，连结交轴于点，延长交轴于点．已知，．若面积为3，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 9. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 已知三个函数：，，，下列说法： ①当时，x的值为5或； ②对于任意的实数m，n，若，，则； ③若时，则； ④若当式子中x的取值为与时，的值相等，则a的最大值为8． 以上说法中不正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围为_________． 12. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 13. 建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 14. 已知二次函数，当时，y的取值范围是_______． 15. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，并且关于x的方程无实数解．那么符合条件的所有整数a的和是________． 16. 已知一个三位数正整数的各数位上的数字互不相等且均不为0，若其十位数字与个位数字之和等于百位上的数字，则称数为“博专数”．例如：数523，，523是“博专数”，数123，，123不是“博专数”，则最小的“博专数”为______；若将“博专数”的百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为，记，当被7除余2时，记，则当取得最大值时，“博专数”为______． 三、解答题（17，18题每题8分，19-25题每题10分，共86分） 17. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 19. 如图，某数学兴趣小组做了以下探究：在菱形中，对角线相交于点O． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点C作的垂线交于点N（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 20. 如下图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，，隧道的最高点P位于AB的中点的正上方，且与AB的距离为4m． 建立如图所示的坐标系，求图中抛物线的解析式； 若隧道为单向通行，一辆高4米、宽3米的火车能否从隧道内通过？请说明理由． 21. 反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点， （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 22. 某网店专门销售第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于220件． （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 23. 如图，正方形的边长为6，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，、同时停止运动．连接、．设点运动的时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点（点在点的左侧），其中，，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 25. 已知平行四边形中，对角线、相交于点，，， （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，过点C作交于点，交的延长线于点，连结，求证：； （3）如图3，若，点是线段上的动点，点是线段上的动点，满足，当取最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长寿中学2026年秋期期中质量监测 九年级数学试题 （总分：150分　　答题时间：120分钟） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不符合题意； C、未说明，不一定是二次方程，不符合题意； D、含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 已知一元二次方程的两个根分别是和，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知一元二次方程的两根，可构造因式分解形式的方程，展开后对比选项． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴该方程可表示为，展开得． 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得 配方，得 即． 4. 如图，是反比例函数的图象上的任意一点，过点作轴，垂足为．若的面积为6，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数图象所在的象限确定k的值． 【详解】解：∵的面积等于6， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 5. 将二次函数的图象向右平移个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将二次函数利用配方化为顶点式，再根据“左加右减”的平移规律获得新抛物线解析式． 【详解】解：， 将原图象向右平移个单位得到新图象的解析式为， 化简得． 6. 年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动的同学人数为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设参加此次活动的同学人数为人，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设参加此次活动的同学人数为人， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 故选：C． 7. 若二次函数的图象经过点、和，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定二次函数的对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， ∴点到对称轴的距离为．点到对称轴的距离为．点到对称轴的距离为． ∵， ∴． 8. 如图，点，点在反比例函数（，）的图象上，点在轴上，连结交轴于点，延长交轴于点．已知，．若面积为3，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，三角形中位线定理，与中线有关的三角形的面积的计算，连接、，先求出，证明是的中位线，得出，从而可得，再由反比例函数的的几何意义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵，面积为3， ∴， ∵，． ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点在反比例函数（，）的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质与一元二次方程的综合．根据抛物线开口向下和对称轴的位置，抛物线与y轴交于正半轴，可得：即可判断①；由结合：，即可判断②；根据抛物线开口向下，对称轴为直线，即可判断③；由的两根是：，得：的两根是：，进而得：的两根，即可判断④；由，为方程的两个根，得：，为抛物线=和直线的两个交点的横坐标，结合图象，即可得到的范围，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为：直线， ∴，即：， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ， ∴，故①正确； ∵抛物线 与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵抛物线 与x轴交于点，其对称轴为直线 ， ∴抛物线 与x轴交于点和， ∴的两根是：， ∴的两根是：， ∵与的解相同， ∴的两根分别为，故④正确； ∵抛物线 与x轴交于点和， ∴， ∵，为方程的两个根， ∴，为方程的两个根， ∴，为抛物线和直线的两个交点的横坐标， 结合图象得：且，故⑤正确； 故选：C． 10. 已知三个函数：，，，下列说法： ①当时，x的值为5或； ②对于任意的实数m，n，若，，则； ③若时，则； ④若当式子中x的取值为与时，的值相等，则a的最大值为8． 以上说法中不正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】解可化为一元二次方程的分式方程即可判断①，通过平方差公式对进行变形得到，在通过完全平方公式的变形得到的值即可判断②，解可化为一元二次方程的分式方程求得，再代入化简，即可判断③，令，，，根据，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质，即可判断④． 【详解】解；①当时，则， ∴， 解得或． 经检验，和都是原方程的解，故①说法正确； ② ， ，， ∴， ∴， ∴或 ，故②错误； ③∵， ∴， 整理得：， ∴， ∵时，， ∴， ，故③正确； ④，令， 当式子中x的取值为与时，的值相等， ∴令，，则， ， 整理得：， ∵当式子中x的取值为与时，的值相等， ∴对于b的不同的很多值都可以满足的值相等， ∴（满足时，只有特定的两个值）， ∴， ， 的最大值为8，故④正确； ∴错误的有1个， 故选：C． 【点睛】本题考查了解可化为一元二次方程的分式方程，完全平方公式的变形，因式分解，二次函数的最值，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限的性质，得到比例系数大于0，列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得 ． 12. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 13. 建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 14. 已知二次函数，当时，y的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定的的取值区间，计算顶点及区间端点的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】解：∵ ，二次项系数为， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线。 ， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ， 当时，的最小值为， 的取值范围是． 15. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，并且关于x的方程无实数解．那么符合条件的所有整数a的和是________． 【答案】20 【解析】 【分析】结合二次函数的增减性确定对称轴的位置得到a的初步范围，再根据方程无实数解的条件排除一次方程有解的情况，得到a的另一范围，取交集后找出所有整数a计算求和． 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧y随x的增大而减小． ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得． ∵关于x的方程无实数解， ∴当时，方程为，存在实数解，不符合要求． 当时，方程为一元二次方程，无实数解需满足判别式， 即， 解得． ∴ 综合两个条件，a的取值范围为． ∵ a为整数， ∴ 符合条件的a为2，3，4，5，6． ∴ 所有整数a的和为． 16. 已知一个三位数正整数的各数位上的数字互不相等且均不为0，若其十位数字与个位数字之和等于百位上的数字，则称数为“博专数”．例如：数523，，523是“博专数”，数123，，123不是“博专数”，则最小的“博专数”为______；若将“博专数”的百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为，记，当被7除余2时，记，则当取得最大值时，“博专数”为______． 【答案】 ①. 312 ②. 981 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的整式的加减运算．理解题意是解题的关键． （1）三位数最小需百位尽可能小，十位与个位为不同非0数字且和等于百位，最小百位为，十位取1、个位取2时三位数最小为312； （2）设，由博专数定义得，化简，由被7除余2条件得，唯一解为，，，计算，验证为最大值． 【详解】解：（1）最小的百位数字需满足十位与个位数字之和等于它且互不相等、均不为0， 百位最小可能为，对应最小三位数为312（十位＜个位使数更小）． 故答案为：312． （2）设博专数，由条件得（，，互不相等且均不为0）， 新数， 则， 由被7除余2，得（为正整数）， 当时，， 若，，则，不符合题意，舍去； 若，，则，此时； 若，，则，此时； 若，，则，此时； ， ∴越来越小． ∴当时，的最大值为． 当，3，4，5，6，7，8，9时，均不是9的倍数，不符合题意； 当时，， 则，，． 此时． ， ∴的最大值为10． 为981． 故答案为：981． 三、解答题（17，18题每题8分，19-25题每题10分，共86分） 17. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用配方法求解一元二次方程 ； （2）提取公因式，用因式分解法求解一元二次方程 ． 【小问1详解】 解： 移项得： 方程两边同时加，得： 整理得： 两边同时开平方得： 解得：，； 【小问2详解】 解： 整理得 解得，． 18. 先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分式进行化简，再求解给定的一元二次方程，结合分式有意义的条件筛选出符合要求的a值，代入化简后的式子计算 【详解】解：原式 ， 解方程， ， 或， 解得，． 由分式有意义的条件可知且，即且， 因此选取代入化简后的式子， 原式． 19. 如图，某数学兴趣小组做了以下探究：在菱形中，对角线相交于点O． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点C作的垂线交于点N（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 【答案】（1）作图如下： （2）证明：∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ， ∴， ， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）根据线段、垂线的尺规作图方法求解即可； （2）首先证明四边形为平行四边形．再利用三个角是直角的四边形是矩形即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如下图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，，隧道的最高点P位于AB的中点的正上方，且与AB的距离为4m． 建立如图所示的坐标系，求图中抛物线的解析式； 若隧道为单向通行，一辆高4米、宽3米的火车能否从隧道内通过？请说明理由． 【答案】（1）；（2）货车可以通过，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出A，B两点的坐标以及抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的解析式，代入A点坐标即可求出解析式； （2）令y=4，解出x，并比较与3的大小即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意可知A（0，2），B（8，2）， ∵隧道的最高点P位于AB的中点的正上方，且与AB的距离为4m， ∴抛物线的顶点P的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点A代入解析式得， ∴． ∴． 即抛物线的解析式为； （2）令，则有， 解得， ， 货车可以通过． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 21. 反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点， （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为； 画出函数图象如下图： ； （2）或 （3）2 【解析】 【分析】（1）把，分别代入求出m，n的值，再运用待系数法求出a，b的值即可； （2）根据交点坐标，结合函数图象即可解答； （3）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 ∵一次函数（）的图象与的图象交于，两点， ∴把，分别代入，得， ， 解得，， ∴，， 把，代入，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵直线与反比例函数交于点A（1，4），B（-2，-2） ∴当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图， 对于，当时，， 解得，， ∴点C的坐标为（-1，0） ∵A（1，4） ∴ 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系． 22. 某网店专门销售第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于220件． （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为48元时，每天获取的利润最大，最大利润是3960元 【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式； （2）根据利润销售量单件利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质判断出最大利润． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为，（） 将和代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意， ， 解得， 又销售单价应高于成本，即， ， 设每天获取的利润为元， 则 ， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为， 答：当销售单价为48元时，每天获取的利润最大，最大利润是3960元． 23. 如图，正方形的边长为6，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，、同时停止运动．连接、．设点运动的时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）解：作图如下： ； 当时，函数有最大值，最大值为9，无最小值（答案不唯一）； （3）和 【解析】 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （3）直接利用图象法进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，，， ∴， 点运动到点所用时间为秒； 当点在线段上时，此时，则的面积； 当点在线段上时，此时，则， ∴． ∴， 综上：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点（点在点的左侧），其中，，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）面积的最大值为8，此时点P的坐标为 （3）解：点的坐标为或，过程如下， 由（2）可知，， ∵将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点， ∴新抛物线是原抛物线向左和向下分别平移2个单位长度得到的， ∴新抛物线的解析式为， 情况一：当点在下方时， ∵， ∴， 同理可求出直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把代入得到， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得或 ∴； 情况二：当点在上方时，延长交于点， ∵， ∴， ∴， 由以上可知，直线的表达式为， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理，根据，，利用待定系数法求出直线的表达式为， 联立，整理得到， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，进而求出直线的表达式为，设，则，根据，可得，据此求解即可； （3）分两种情况：当在下方时和当在上方时，分别画出图形进行解答即可． 【小问1详解】 解：将，代入得 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图1所示，连接， 在中，当时，， 解得， ∴； 设直线的表达式为，将，代入得到， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设，则 ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8， 此时， ∴面积的最大值为8，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 略 25. 已知平行四边形中，对角线、相交于点，，， （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，过点C作交于点，交的延长线于点，连结，求证：； （3）如图3，若，点是线段上的动点，点是线段上的动点，满足，当取最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作交于点， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，进而在中，勾股定理求得，即可求解； （2）过点作交于点，证明，进而证明，得出，则，即可得证； （3）延长至，使得，连接交于，过作于点，证明得出，则，当重合时， 取最小值时，，设，则，进而证明是的角平分线，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平行四边形中，对角线、相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至，使得，连接交于，过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴当重合时， 取最小值时， 设，则 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴是的角平分线， ∴ 在中，， ∴ 解得： 即的值为 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $