精品解析：重庆市巴川中学校2026-2027学年九年级上学期数学半期定时作业2

2026-2027学年九年级数学半期定时作业2 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若为一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 8 3. 将抛物线沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是( ) A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 5. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 6. 年第二届渝超联赛（重庆城市足球超级联赛），于年月日开赛，小组采用单循环制，每两支球队只比赛一场．已知一小组共进行场比赛，设该小组有支球队参加比赛，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 图象与y轴的交点坐标为 B. 开口方向向下，函数的最大值为14 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 函数的对称轴是直线 8. 如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．在这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A（平面直角坐标系的原点）的水平距离x（单位：m）的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长是2，是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式A：，其中和n为自然数，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且只有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共5个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 关于的一元二次方程的解为____________． 12. 若是关于的二次函数，则的值是______． 13. 重庆市推进美丽重庆建设，某区县持续推进城市微更新，年建成口袋公园处．计划年底口袋公园达到处．设这两年口袋公园数量的年平均增长率为，则依题意列方程为______． 14. 已知、分别是方程的两根，则代数式的值为___________． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，点在轴的正半轴上，且，的面积为，则的值为_______ ． 16. 若一个四位自然数M的千位数字和百位数字的差的二倍等于十位数字和个位数字的和，则称这个数M为“友善数”．例如：四位数6315，∵，∴6315是“友善数”．按照这个规定，最大的“友善数”是______；一个“友善数”的千位数字和十位数字组成的两位数为ac，百位数字和个位数字组成的两位数为bd，若M满足为整数，且，则所有满足条件的M的和为______． 三、解答题（本题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）． 17. 解方程 （1）x2+10x+9＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 18. 综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）试说明不论m取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的底边长为1，另外两边b，c恰好是这个方程的两根，求的周长与m的值． 21. 数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 （1）对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； （2）若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； （3）如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 22. 2026年巴南区莲花街道一家校园文具店购进了一批A、B两种型号的笔袋，2个A型笔袋和1个B型笔袋需要花费80元，1个A型笔袋和2个B型笔袋需要花费70元． （1）求A、B两种型号的笔袋进价各是多少元？ （2）在销售过程中，文具店老板决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，若每降价1元，则将多售出5个，为让利于顾客，问每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的总利润为240元？ 23. 已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点P运动的时间为秒，规定，． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；并写出函数的一条性质； （3）根据函数，当时，直接写出的值为______． 24. 某学校举行办学120年大思政教育成果展，学校调动了中国网、搜狐、上游新闻等多家媒体报道．上游新闻使用了无人机进行同步直播．如图是主会场平面图，已知米，点在点的正西方向28米处，点在点的正南方向8米处，点在点的正西方向． （1）求点到点的距离． （2）现无人机甲从点出发沿方向前往，无人机乙从点出发沿方向前往，无人机甲和乙同时出发，甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到点距离与乙到点的距离相同时，网络信号最佳．求此时无人机甲离的距离． 25. 已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点和B两点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，点P是线段下方抛物线上的一动点，连接，点M是y轴上一动点，点N是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线向左平移一个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，连接，点Q是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学半期定时作业2 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程需满足三个条件：整式方程、仅含一个未知数、未知数最高次数为2，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，方程中未知数最高次数为1，不是一元二次方程，该选项不符合题意； B选项，方程含有、两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； C选项，方程是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，该选项符合题意； D选项，方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意． 2. 若为一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】解：把代入，得， 解得． 3. 将抛物线沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”即可求解． 【详解】解：将抛物线沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是， 故选：C． 4. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把每个选项中的坐标分别代入函数解析式，分别验证即可． 【详解】解：由得， A选项：，故A不符合题意； B选项：，故B符合题意； C选项：，故C不符合题意； D选项：，故D不符合题意． 5. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上， 一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A、D不正确； 由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0， 但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B． 故选C． 6. 年第二届渝超联赛（重庆城市足球超级联赛），于年月日开赛，小组采用单循环制，每两支球队只比赛一场．已知一小组共进行场比赛，设该小组有支球队参加比赛，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每支球队需与其余支球队各赛场，按每支球队的比赛场次计数，总场次为场，实际场次为，再根据共进行场比赛列出方程即可求解． 【详解】解：每支球队需与其余支球队各赛场，按每支球队的比赛场次计数，总场次为场， ∵每场比赛由支球队参与，上述计数中每场被重复计算次， ∴实际总比赛场数为， 又∵小组共进行场比赛， ∴列方程为． 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 图象与y轴的交点坐标为 B. 开口方向向下，函数的最大值为14 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 函数的对称轴是直线 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线． A选项：当时，， ∴图象与轴交点坐标为，A正确． B选项：∵， ∴抛物线开口向下，函数最大值为14，B正确． C选项：∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴C说法错误． D选项：函数对称轴是直线，D正确． 8. 如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．在这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A（平面直角坐标系的原点）的水平距离x（单位：m）的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立直角坐标系，再设函数解析式为，然后将点代入解析式可得答案． 【详解】解：如图所示，以点为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立直角坐标系， 由题意可知顶点，其过点， 设球的竖直高度关于水平距离的函数关系式为， ， 解得， ∴函数解析式为． 9. 如图，正方形的边长是2，是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，设，则，作交于G，证明，得到，，证明，得到，则，根据勾股定理求出x的值，即可求出的长度． 【详解】解：∵正方形的边长是2， ∴，， 设，则， 作交于G， ∵平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴． 10. 已知整式A：，其中和n为自然数，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且只有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共5个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】①可通过分析单项式条件判断； ②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证； ③通过时列出所有的二次三项式，然后根据其开口方向，和判别式判断非负性即可． 【详解】解：①∵单项式为只有一项的整式，当时，为常数单项式，代入条件得，即，得单项式； 当时，均为正整数，故一次项到次项共项均存在，若为单项式，则需且，代入条件得，即，得单项式； 当时，项数，不可能为单项式，∴满足条件的单项式共2个，①正确． ②当时，由条件得，即， ∵， ∴， 当时，，此时，对应整式为； 当时，，此时三个正整数和为4，即一个为2、其余为1，对应整式为、、；将所有整式相加，得常数项和为，项系数和为，项系数和为，项系数和为，即总和为，②正确． ③∵二次三项式满足且有3项，又，故需，代入条件得，即，其中， 二次函数的图象开口向上，对任意实数值非负等价于，枚举所有正整数解： 当时，，解为，其中，，，故前2组符合； 当时，，解为，其中，，故2组都符合； 当时，，解为，，符合； 当时，，与矛盾，无解； 综上，符合条件的整式共个，③正确． 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 关于的一元二次方程的解为____________． 【答案】x1=0，x2=3 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程． 【详解】解：x2=3x， x2-3x=0， x（x-3）=0， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法．掌握因式分解法是解题的关键． 12. 若是关于的二次函数，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义，可得的最高次数为且二次项系数不为，据此解答即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数 ∴，且， 由，得或， 由，得， ∴． 13. 重庆市推进美丽重庆建设，某区县持续推进城市微更新，年建成口袋公园处．计划年底口袋公园达到处．设这两年口袋公园数量的年平均增长率为，则依题意列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知初始年份口袋公园数量，年平均增长率和两年后的总数量，按照增长率的计算规则逐年推导，即可列出对应方程． 【详解】解：∵ 年口袋公园数量为处，年平均增长率为， ∴ 年口袋公园数量为， ∴ 年口袋公园数量为， ∵ 年底口袋公园数量为处， ∴ 依题意列方程为． 14. 已知、分别是方程的两根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关键． 由根与系数的关系可得；利用方程解的定义，将用表示，代入代数式化简后求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． ∴． 又∵，是方程的两根， ∴． ∴原式． 故答案为：． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为点，点在轴的正半轴上，且，的面积为，则的值为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义，如图，连接，由于，根据三角形面积公式得到，再根据反比例函数的的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质得到的值．解题的关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ ∴， 即的值为． 故答案为：． 16. 若一个四位自然数M的千位数字和百位数字的差的二倍等于十位数字和个位数字的和，则称这个数M为“友善数”．例如：四位数6315，∵，∴6315是“友善数”．按照这个规定，最大的“友善数”是______；一个“友善数”的千位数字和十位数字组成的两位数为ac，百位数字和个位数字组成的两位数为bd，若M满足为整数，且，则所有满足条件的M的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问找最大“友善数”，需高位数字尽可能大，结合定义即可得到结果；第二问根据定义整理等式，枚举得到符合条件的，再根据整除条件得到所有符合的，求和即可． 【详解】解：第一问：要得到最大的“友善数”，需高位数字尽可能大， 千位数字最大取，百位数字尽可能大，取， 根据“友善数”定义，得， 为非负数字，，得到最大的“友善数”为， 第二问：设，由定义得，因此，其中，，且均为整数， 已知，其中，，代入得： ， ， 将，代入上式： ， 整理得：，即， 枚举，仅和时为整数且符合范围： 1. 当时，，，满足， 由得，因此， ， 为整数，因此需被整除，符合条件的为， 得到， 2. 当时，，，满足， 同理，， ，同样要求被整除，符合条件的为， 得到， 所有满足条件的的和为： ． 三、解答题（本题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）． 17. 解方程 （1）x2+10x+9＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 【答案】（1）x1=-1，x2=-9 （2）x1=-，x2= 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可． （2）先将方程变形，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵x2+10x+9=0， ∴（x+1）（x+9）=0， 则x+1=0或x+9=0， 解得x1=-1，x2=-9； 【小问2详解】 解：∵3x（2x+1）=4x+2， ∴3x（2x+1）-2（2x+1）=0， 则（2x+1）（3x-2）=0， ∴2x+1=0或3x-2=0， 解得x1=-，x2=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在中，．用尺规完成基本作图：作出的平分线，交于点． 【问题提出】 他们猜想，，之间存在以下数量关系：． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】（1）解：作图如下： （2）证明：由作图知，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可； （2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得，从而可证明猜想． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先根据平方差公式、完全平方公式以及分式加减和乘除运算法则进行化简，由可得，代入即可获得答案． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， 原式． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）试说明不论m取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的底边长为1，另外两边b，c恰好是这个方程的两根，求的周长与m的值． 【答案】（1）解：由题意得： ， ∴不论m取何值，该方程总有实数根 （2）的周长为5，m的值为 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式，证明根的判别式大于等于0即可； （2）根据等腰三角形的定义，判断方程有两个相等的实数根，利用判别式等于0，解答即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由题意得：b，c恰好为等腰三角形的腰， ∴即， ∴， ∴， 将代入一元二次方程得：∴， 解得：， ∴， ∴的周长为5，m的值为． 21. 数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 （1）对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； （2）若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； （3）如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 【答案】（1）陌生；友好 （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【小问1详解】 解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”． 【小问2详解】 解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． 22. 2026年巴南区莲花街道一家校园文具店购进了一批A、B两种型号的笔袋，2个A型笔袋和1个B型笔袋需要花费80元，1个A型笔袋和2个B型笔袋需要花费70元． （1）求A、B两种型号的笔袋进价各是多少元？ （2）在销售过程中，文具店老板决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，若每降价1元，则将多售出5个，为让利于顾客，问每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的总利润为240元？ 【答案】（1）A种型号的笔袋进价30元，B种型号的笔袋进价20元 （2）每个A种型号笔袋降价4元时，每天售出A种型号笔袋的利润为240元 【解析】 【分析】（1）设A种型号的笔袋进价元，B种型号的笔袋进价元，由题意得：，解方程组即可； （2）设每个A种型号笔袋降价元时，每天售出A种型号笔袋的利润为240元，由题意得：，解答即可． 【小问1详解】 解：设A种型号的笔袋进价元，B种型号的笔袋进价元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的笔袋进价30元，B种型号的笔袋进价20元； 【小问2详解】 解：设每个A种型号笔袋降价元时，每天售出A种型号笔袋的利润为240元， 由题意得：， 解得：，， ∵要让利于顾客， ∴． 答：每个A种型号笔袋降价4元时，每天售出A种型号笔袋的利润为240元． 23. 已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点P运动的时间为秒，规定，． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；并写出函数的一条性质； （3）根据函数，当时，直接写出的值为______． 【答案】（1）， （2） 如图，即为函数，的图象； 函数的性质：当时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一）； （3）2 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了函数图象的性质，三角形的面积，矩形的性质等知识点． （1）分别表示出，，然后根据三角形的面积公式即可得解； （2）根据题意画出图象；依据图象写出函数的性质即可； （3）作出图象，依据图象直接写出答案即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由题意可知：，，， ∴， ， ∵当点到达点时，、两点都停止运动，此时 ∴自变量x的取值范围为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知：当时，，解得或， ∵， ∴， 故答案为：2． 24. 某学校举行办学120年大思政教育成果展，学校调动了中国网、搜狐、上游新闻等多家媒体报道．上游新闻使用了无人机进行同步直播．如图是主会场平面图，已知米，点在点的正西方向28米处，点在点的正南方向8米处，点在点的正西方向． （1）求点到点的距离． （2）现无人机甲从点出发沿方向前往，无人机乙从点出发沿方向前往，无人机甲和乙同时出发，甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到点距离与乙到点的距离相同时，网络信号最佳．求此时无人机甲离的距离． 【答案】（1）16米 （2）16或米 【解析】 【分析】（1）过作于，在中，根据勾股定理求出，即可解答； （2）连接、，设（米），则（米），（米），过作于，在中，根据勾股定理求解即可； 【小问1详解】 解：过作于，由题意可知米，米，米，， 则四边形是矩形， ∴米，， 在中，米，米， 米， 米． 答：点到点的距离为16米； 【小问2详解】 解：设当甲乙分别位于、位置时，甲乙两无人机到的距离相等， 连接、， 此时设（米），则（米），（米）， 过作于， 则四边形是矩形， ∴（米），米， ∴（米）， 在中，，即， 解得：，， 或， 答：无人机甲离的距离为16或米． 25. 已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点和B两点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，点P是线段下方抛物线上的一动点，连接，点M是y轴上一动点，点N是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线向左平移一个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，连接，点Q是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）解：将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线的解析式为：， ∵，A向左平移1个单位得到， ∴， ∵， ∴，， ∵点Q是抛物线上一动点，且， ∴此时点Q的位置分情况讨论： 情况1：当点Q位于点下方时： 如图，过点C作交的延长线于点K，过点K作轴于点L， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍）或， ∴， 情况2：当点Q位于点上方时： 如图，作射线交新抛物线于点Q，使得，过点C作交于点R，过点R作轴交y轴于点T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍）或， 综上，Q点坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点C和点A代入即可求得抛物线解析式； （2）作轴交于H，设，先求出直线的解析式，再设，从而得到的表达式，由三角形面积公式得出其表达式，利用二次函数的最值得到此时点P的坐标，紧接着利用轴对称的性质得到，当、M、N、四点共线时，取最小值，利用勾股定理即可求得最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式，从而得到平移后的点的坐标，再根据点Q是抛物线上一动点，且，分情况讨论点Q的位置：当点Q位于点下方时，当点Q位于点上方时；利用全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质推导出相关点的坐标，进而利用待定系数法求一次函数后，联立新抛物线解析式即可得出点Q的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线， 得到：， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，作轴交于H， ∵P是线段下方抛物线上的一动点， ∴设， 设直线的解析式为：， 将A，C两点坐标代入直线得到：， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 作点P关于y轴的对称点，点C关于抛物线对称轴的对称点， ∴，， ∴，， ∴， ∴当、M、N、四点共线时，取最小值， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $