精品解析：重庆市长寿实验中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

重庆市长寿实验中学校 2025年秋期初2023级半期测试 数学试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各选项：A可化简为整数，B和D为分数或有限小数，均为有理数；C为开方开不尽的数，是无理数． 【详解】解：∵ A．（整数），是有理数； B．（分数），是有理数； C．（无限不循环小数），是无理数； D． （分数），是有理数． 故选：C． 2. 纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全班观看电影《731》的情况 B. 调查某市垃圾分类的情况 C. 调查某种西瓜的甜度情况 D. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全面调查、抽样调查的识别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可． 【详解】解：A． 调查全班观看电影《731》的情况，采用全面调查． B． 调查某市垃圾分类的情况，采用抽样调查． C． 调查某种西瓜的甜度情况，采用抽样调查． D． 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，采用抽样调查． 故选：A． 4. 如图，，，是上的三点，，，那么的半径等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和等边三角形判定与性质，掌握相关性质定理是解题的关键．根据圆周角定理求得，结合，可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：，，是上的三点，， ， ， 是等边三角形， ， 即的半径等于． 故选：D． 5. 用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第个图案有个“○”，第个图案有个“○”，第个图案有个“○”，……按此规律，第个图案中“○”的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确得出规律是解题关键．观察可知，第个图案中有个“○”，后一个图案比前一个图案多个“○”，据此进行作答即可． 【详解】解：第个图案有个“○”，， 第个图案有个“○”，， 第个图案有个“○”，， 第个图案有个“○”，， …， 第个图案中“○”的个数为， 第个图案中“○”的个数为． 故选：C ． 6. 若函数有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据分式的分母不为以及二次根式的被开方数为非负数进行求解即可． 【详解】解： 分母 要求根号内 ，且分母不能为零， ，即 ， 故选：D． 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 时，y随x增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴和单调性．通过直接计算顶点坐标和对称轴来判断选项． 【详解】解：∵ 二次函数 中，， ∴ 抛物线开口向下，选项A错误． 对称轴， ∴ 对称轴是直线 ，选项C错误． 顶点横坐标为，代入得纵坐标， ∴ 顶点坐标为，选项B错误． ∵ 开口向下，对称轴， ∴ 当 时，随x增大而减小． ∵ 时，满足， ∴ 选项D正确． 故选：D． 8. 哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设降价灵石，则每个迷你风火轮的利润为元，销售量为个，再根据总利润为4000灵石列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 9. 如图，正方形的边长为，点E是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得，，，， ，， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用底边的比求三角形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 10. 在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过三次操作后，若，，则所有整式的值之和为； ③经过次操作后，将得到个整式． 以上三个结论正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减、数字规律等知识点，根据操作方式找出变化规律是解题的关键． 结论①通过计算第二次操作后的整式序列验证； 结论②代和的值计算三次操作后所有整式的和； 结论③根据操作次数与整式个数的关系判断． 【详解】解：∵初始整式为和，第一次操作插入平均数得，共个整式，序列为、、； 第二次操作：在与之间插入平均数，得，在与之间插入平均数，得； ∴第二次操作后序列有个整式为：、、、、，第四个整式为，故①正确； ∵第三次操作后序列有个整式，代入，各整式值分别为、、、、、、、、，和为，故②错误； ∵第次操作后整式个数为， ∴第次操作后整式个数为，故③错误； 综上，只有①正确； 故选：B． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在答题卡的相应横线上．） 11. 近几年我国一直在芯片工艺上进行技术坎坚．据了解，某芯片内核面积为，却集成了69亿个晶体管，平均每个晶体管占有面积仅为．将数用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 如图，是小张在操作剪刀时平面示意图，剪刀所在直线经过点O，是经过剪刀手柄D的直线．若，，则的度数是________． 【答案】##127度 【解析】 【分析】本题考查了邻补角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据邻补角可得，再根据两直线平行，同位角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读400人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到784人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用．设周平均增长率为 ，根据第三周阅读人次是第一周的 倍，建立方程求解． 【详解】解：设周平均增长率为 ． 由题意，得：， 两边同时除以 400：， 取算术平方根（增长率取正值）：， 解得：， 即周平均增长率为 ． 故答案为：40． 14. 若，则的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将给定方程整理后，通过完成平方得到关于x和y的平方和为零，从而求出x和y的值，再代入表达式求值． 【详解】解：， ， ， ， ，， ，， ， 故答案为：9． 15. 如图，四边形内接于，，，，则________；的半径是________． 【答案】 ① ##90度 ②. 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作直径，连接，根据圆内接四边形的性质求得，，通过证明， 得到， 进而得到，利用勾股定理可求得的长， 然后在中，根据得，由此可求得的长，由此可得的半径． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，过点作直径，连接， ， ， 四边形内接于，， ，，， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， 在中，由勾股定理得：， 即，解得（负值已舍去）， 是的直径， ， 在中，， ， ， 由勾股定理得：， ， 的半径是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 16. 我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数A为“十合数”，并把数A分解成的过程，称为“十合分解”．例如：因为，22和28的十位数字相同，个位数字之和为10，所以616是“十合数”，616分解成的过程就是“十合分解”．按照这个规定，最小的“十合数”是________；把一个“十合数”A进行“十合分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的A的最小值为________． 【答案】 ①. 209 ②. 224 【解析】 【分析】本题是新定义题，主要考查了列代数式，根据“十合数”的定义，最小的“十合数”需十位数字最小，取或9，可得最小的“十合数”； 根据“十合数”的定义，可得，再由能被3整除，可得为整数，然后根据 “十合数”最小，可得y优先取最小数，即可得到y，x的值，即可求解． 【详解】解：设m和n的十位数字为，m的个位数字为，则n的个位数字为，其中x，y均为整数． ∵最小“十合数”， ∴取或9， 此时． 根据题意得：， ， ∴， ∵能被3整除， ∴为整数， ∵“十合数”最小， ∴y优先取最小数， 当时，， 此时或6， ∴当，时，“十合数”最小， 此时， ． 故答案为：209，224． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，，，，0 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，求一元一次不等式组的整数解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集，然后求出所有整数解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的所有整数解为，，，，0． 18. 如图，已知在中，是边上的中线，为的中点，连接． （1）尺规作图：作，交延长线于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴ ． ∴，， 又∵点是中点， ∴ ． ∴． ∴ ． ∵是中点， ∴ ∴ ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 进一步思考，当时，四边形 ． 【答案】（1）见解析； （2）①，②，③④，⑤矩形． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质，按要求作，交延长线于点，连接即可； （2）由平行线的判定和性质，结合中点，可得三角形全等，对应边相等，可得一组对边平行且相等，即可证得结论． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵点是中点， ∴． ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 进一步思考，当时，四边形是矩形． 证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为：①，②，③④，⑤矩形． 【点睛】本题考查作图，平行线的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，三线合一，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握作图原理和平行四边形的判定定理． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各900名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下： 七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87． 八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84 七、八年级测试成绩频数统计表 七年级 3 4 a 八年级 1 7 2 七、八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 b 90 36.4 八年级 84 84 c 18.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生防溺水知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）如果把的记为“优秀”，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为“优秀”的学生共有多少人？ 【答案】（1）3，85，84 （2）八年级，理由见解析 （3）720 【解析】 【分析】本题考查了数据的分析，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的概念． （1）从题目中给出的七，八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩中可直接求出a，c的值，根据中位数定义可求出b； （2）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可； （3）分别求出七、八年级10名学生的成绩中不低于85分的所占比例，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：（1）∵八年级的10名学生中有3名学生成绩处于， ∴， 根据众数的定义可知：， 把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：74，76，79，81，84，86，87，90，90，93， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 故答案为：3，85，84； 【小问2详解】 解：八年级，理由如下： ∵七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差， ∴八年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七、八年级在本次知识竞赛中优秀人数为720人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】1 【解析】 【分析】先将被除式的分子、分母分解因式，同时将小括号内通分，再转化为乘法后约分化为最简，再求出值，代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， ， 所以原式． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，已知字母的值求代数式的值，分式化简求值，负整数指数幂，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 21. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． （1）已知该公司生产7件A款人形机器人和生产8件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ （2）如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】（1）16万元，14万元 （2）20万元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． （1）设款机器人每件成本为万元，则款机器人每件成本为万元，根据题意列出方程，解方程即可． （2）设款机器人每件销售价格为万元，则款机器人每件销售价格为万元，根据题意列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设款机器人每件成本为万元，则款机器人每件成本为万元， 根据题意，得， 解得：， ， 答：款机器人每件成本为16万元，款机器人每件成本为14万元． 【小问2详解】 解：设款机器人每件销售价格为万元，则款机器人每件销售价格为万元， 根据题意，得， 解得：． 答：该公司确定的每件款人形机器人在网上的售价是20万元． 22. 如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积的为． （1）请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在图中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数后一位，误差不超过） 【答案】（1），， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作于，易证 四边形为矩形， ， 由题意可知：，，，，根据三角形的面积公式分别表示出，即可，由其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得的取值范围； （2）利用描点法画出图形即可，根据最值或增减性可得函数性质； （3）结合图象只需在图象中找到在上方部分对应的的值即可． 【小问1详解】 解：（1）如图，作于， ，即，， ， 四边形为矩形， ， 由题意可知：，，，， 的面积：， 的面积：， ， 当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动， 点运动时间最多为：（秒），点运动时间最多为：（秒）， ，，； 【小问2详解】 解：列表： 描点，画出、关于的函数图象如图所示： 写出函数，的性质如下（答案不唯一）： 对于函数，当时，函数有最大值； 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； 对于函数，随增大而减小； 【小问3详解】 解：由图可知，两函数的交点横坐标约为， 当时，的取值范围． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，根据函数图象解不等式，平行线的性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． （1）求的度数； （2）若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 【答案】（1） （2）这辆车不能被摄像头监控到，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用勾股定理求出所需边的长度． （1）连接，易得，由勾股定理求出的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，则，即可得到答案； （2）过点D作，交的延长线于M由（1）易得是等腰直角三角形，即，再由勾股定理求出，再根据车到点B离得出车到点A距离，对比车到点A距离和的长度即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， 中，有， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 这辆车不能被摄像头监控到，理由如下： 过点D作，交的延长线于M， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 即点M为摄像头能监控的最远位置， 在中，， ∵车到点B离为，， ∴车到点A离为， ∵， ∴这辆车不能被摄像头监控到． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． （1）求该抛物线的解析式 （2）连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； （3）在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）； （2）的最大值为，； （3）点N的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得新抛物线的对称轴为，分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． 【小问1详解】 解：把，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， ∵，， ①当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 无意义，舍去； ②当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴； ③当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 综上，点N的坐标为或或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 25. 在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度； （2）如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； （3）如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可得，可得，可得结论； （3）先证明当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，再证明点Q，点B，点D三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，过点D作交于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值， 如图4， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点B，点Q，点D三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市长寿实验中学校 2025年秋期初2023级半期测试 数学试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 纹样是中国文化瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全班观看电影《731》的情况 B. 调查某市垃圾分类的情况 C. 调查某种西瓜的甜度情况 D. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 4. 如图，，，是上的三点，，，那么的半径等于（ ） A. B. C. D. 5. 用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第个图案有个“○”，第个图案有个“○”，第个图案有个“○”，……按此规律，第个图案中“○”的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 时，y随x增大而减小 8. 哪吒乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为，点E是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过三次操作后，若，，则所有整式的值之和为； ③经过次操作后，将得到个整式． 以上三个结论正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在答题卡的相应横线上．） 11. 近几年我国一直在芯片工艺上进行技术坎坚．据了解，某芯片内核面积为，却集成了69亿个晶体管，平均每个晶体管占有面积仅为．将数用科学记数法表示为__________． 12. 如图，是小张在操作剪刀时的平面示意图，剪刀所在直线经过点O，是经过剪刀手柄D的直线．若，，则的度数是________． 13. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读400人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到784人次．则九年级师生阅读人次周平均增长率为________． 14. 若，则的值为________． 15. 如图，四边形内接于，，，，则________；的半径是________． 16. 我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数A为“十合数”，并把数A分解成的过程，称为“十合分解”．例如：因为，22和28的十位数字相同，个位数字之和为10，所以616是“十合数”，616分解成的过程就是“十合分解”．按照这个规定，最小的“十合数”是________；把一个“十合数”A进行“十合分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的A的最小值为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 如图，已知在中，是边上的中线，为的中点，连接． （1）尺规作图：作，交延长线于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：四边形平行四边形． 证明：∵， ∴ ． ∴，， 又∵点是中点， ∴ ． ∴． ∴ ． ∵是中点， ∴ ∴ ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 进一步思考，当时，四边形是 ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各900名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下： 七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87． 八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84 七、八年级测试成绩频数统计表 七年级 3 4 a 八年级 1 7 2 七、八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 b 90 36.4 八年级 84 84 c 18.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生防溺水知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）如果把的记为“优秀”，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为“优秀”的学生共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． （1）已知该公司生产7件A款人形机器人和生产8件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ （2）如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 22. 如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积的为． （1）请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在图中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数后一位，误差不超过） 23. 如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． （1）求的度数； （2）若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． （1）求该抛物线的解析式 （2）连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； （3）在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求长度； （2）如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； （3）如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $