精品解析：广东深圳市罗湖外语初中学校2026—2027学年度第一学期九年级数学质量检测

罗湖外语初中学校2026—2027学年度第一学期九年级数学质量检测 说明： 1. 本学科试题从第1页至第8页，共8页．满分100分，考试时间90分钟． 2. 答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，只交回答题卷，本卷自行保管． 一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ） A. B. C. D. 3. 若，且与的相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 5. 大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的对角线、相交于点O，是直角三角形，，，分别交，于点，．若四边形的面积是3，则的长为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则___． 10. 若a，b是方程的两个根，则的值为___． 11. 如图，在矩形中，相交于点O，点E，F分别为的中点．若，则的长为_______． 12. 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为___． 13. 如图，在中，，点D在边上，，，，点E在的延长线上，连接，若，则的长为___． 三.解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程 （1）； （2）． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中作的中位线，使点E、F分别在边、上． （2）在图②中作线段，使，，点G、H分别在边、上． （3）每个小正方形的边长为1，则的面积为　　　，的面积为　　　． 16. 已知：如图，是等边三角形，点分别在边上， （1）求证：； （2）若，求的长． 17. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求t的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 18. 如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 深圳某新能源汽车零部件企业借助智能制造技术，对某款电动汽车的电池管理系统零部件进行一体化加工，生产效率显著提升．该零部件8月份生产100个，10月份生产144个． 素材2 该企业生产的零部件成本为30元/个．销售一段时间后发现，当零部件售价为40元/个时，月销售量为600个．若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是多少？ 任务2 为使月销售利润达到10000元，并且尽可能让新能源汽车企业得到实惠，该零部件的实际售价应定为多少元？ 20. 综合与探究 【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”．如：图1四边形中，，则四边形为邻等角四边形． （1）【理解】以下平面图形中，是邻等角四边形的有　　　．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）【应用】如图2，中，点E为对角线上一点，连接并延长，交边于点F，若，求证：． （3）【延伸】如图3，矩形中，，，，过点E作直线交对角线于点F，交边所在直线于点G，若四边形为“邻等角四边形”，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗湖外语初中学校2026—2027学年度第一学期九年级数学质量检测 说明： 1. 本学科试题从第1页至第8页，共8页．满分100分，考试时间90分钟． 2. 答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，只交回答题卷，本卷自行保管． 一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据成比例线段的给定顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：线段，，，为成比例线段， ， ，，， ． 3. 若，且与的相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：，与的相似比为， 与的周长比为． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 5. 大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．即，据此求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴，即， ∴， ∴．（负值不合题意已经舍去） 6. 如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意可得： A．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． B．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． C．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与相似． D．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 7. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数(队数，进而得出方程是解题关键． 8. 如图，正方形的对角线、相交于点O，是直角三角形，，，分别交，于点，．若四边形的面积是3，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的性质和是直角三角形，可证得，将四边形的面积转化为的面积，得到的长，从而计算出对角线的长． 【详解】解：∵正方形的对角线、相交于点， ∴，，， ∵是直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴． 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则___． 【答案】 【解析】 【分析】已知，将所求分式拆分为可代入已知比值的形式，直接计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 化简得 . ∵ ∴ 代入得 . 10. 若a，b是方程的两个根，则的值为___． 【答案】4 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到与的值，代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， ∴． 11. 如图，在矩形中，相交于点O，点E，F分别为的中点．若，则的长为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线的性质和定义，先根据矩形的性质可得，再说明是的中位线，根据三角形中位线的性质得，进而求出，即可得出答案． 【详解】∵四边形是矩形， ∴． ∵点E，F是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 12. 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图作垂直于竖直线， 设相邻两条竖格线间的距离为， ∵练习纸中的竖格线平行且间距相等， ∴，， ∴， ∴. ∵， ∴． 13. 如图，在中，，点D在边上，，，，点E在的延长线上，连接，若，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】作，，，则四边形为矩形，得到，，，，证明，得到，设，，求出，的长，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：作，，，垂足分别为，，，则四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∵，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 三.解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）通过移项，然后配方，再直接开平方即可得到答案； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 两边同加上1，得， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：移项，得， 提取公因式，得， ，． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中作的中位线，使点E、F分别在边、上． （2）在图②中作线段，使，，点G、H分别在边、上． （3）每个小正方形的边长为1，则的面积为　　　，的面积为　　　． 【答案】（1）如图①中，线段即为所求． （2）如图②中，线段即为所求． （3）， 【解析】 【分析】（1）作三角形中位线，关键是找到两边的中点，利用网格矩形的对角线互相平分性质，分别构造以、为对角线的矩形，连接对角线即可找到中点E、F，连接即可． （2）作且，根据平行线分线段成比例定理找到的三等分点，利用勾股定理计算找到的三等分点，连接即可． （3）的面积可使用割补法，的面积根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：需要确定、的三等分点G、H，如图， 的三等分点：设一个正方形边长为1，则由勾股定理得，则，点H为的三等分点； 的三等分点：由图知是的三等分点，连接交于点G，可得平行于，根据平行线分线段成比例定理，，则点G就是的三等分点． 连接G、H，线段即为所求． 【小问3详解】 计算的面积，使用割补法，将置于边长为4的矩形内，用矩形总面积减去周围三个直角三角形的面积： 计算的面积：因为，相似比为，可得：． 16. 已知：如图，是等边三角形，点分别在边上， （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）2或1 【解析】 【分析】(1)证明即可． (2)根据三角形相似的性质，列出方程，计算求解即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵，是等边三角形， ∴,， ∴ ， ∴， 解得或； 综上所述， 的长为1或2． 17. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求t的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： 当时， ， 整理得， ∵△， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系列方程求出t的值，但方程无解，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ∴，， ∴， 整理得，解得， 答：当时的面积为面积的； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 18. 如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得出，，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据菱形的判定即可证明． （2）由菱形的性质得出，进而得出，根据勾股定理得出，利用平行四边形的性质得出，根据菱形的性质求菱形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴． ∴ 在中，，，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理以及性质是解题的关键． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 深圳某新能源汽车零部件企业借助智能制造技术，对某款电动汽车的电池管理系统零部件进行一体化加工，生产效率显著提升．该零部件8月份生产100个，10月份生产144个． 素材2 该企业生产的零部件成本为30元/个．销售一段时间后发现，当零部件售价为40元/个时，月销售量为600个．若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是多少？ 任务2 为使月销售利润达到10000元，并且尽可能让新能源汽车企业得到实惠，该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】任务1：该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是；任务2：该零部件的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 任务1：设平均月增长率是x，根据题意，列出方程，解方程即可求解； 任务2：设售价上涨m元，根据题意，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：任务1：设该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 则该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是； 任务2：设售价上涨m元，则实际售价为元， 根据题意得：， 解得，， 尽可能让新能源汽车企业得到实惠， 应选择售价较低的方案， 选择，则， 则该零部件的实际售价应定为元/个． 20. 综合与探究 【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”．如：图1四边形中，，则四边形为邻等角四边形． （1）【理解】以下平面图形中，是邻等角四边形的有　　　．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）【应用】如图2，中，点E为对角线上一点，连接并延长，交边于点F，若，求证：． （3）【延伸】如图3，矩形中，，，，过点E作直线交对角线于点F，交边所在直线于点G，若四边形为“邻等角四边形”，请直接写出的长． 【答案】（1）②④ （2）证明：如图，过点A作于点M， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）的长为或或． 【解析】 【分析】（1）理解“邻等角四边形”的定义，结合图形找出所有可能的邻角相等情况． （2）首先过点A作于点M，构造相似三角形，根据相似三角形对应边成比例得到，然后运用角度关系等量代换得到，进而得到，即可证明所求结论． （3）在矩形背景下，根据“邻等角四边形”的条件进行分类讨论，利用勾股定理、相似三角形等知识求解线段长度． 【小问1详解】 解：根据定义，有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”． ①平行四边形的邻角互补，只有当它是矩形时邻角才相等，一般情况下不相等，故①不符合； ②矩形的四个角都是，任意一组邻角都相等，故②符合； ③菱形的邻角互补，只有当它是正方形时邻角才相等，一般情况下不相等，故③不符合； ④正方形的四个角都是，任意一组邻角都相等，故④符合． 综上，是邻等角四边形的有②④． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形为“邻等角四边形”，即有一组邻角相等，需要分类讨论： ①当时，如图，此时，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． ②当时，如图，过点B作交于点N，过B作于点K，则， ∴， 在中，， ∵， ∴． 在中，， ∵，， ∴（三线合一）， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． ③当时，如图， 则（等角的补角相等）， ∴， 在中，， ∴，即点F为的中点． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 过点F作于点L， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 在中，． 综上，的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $