精品解析：河南省百师联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. -2 2. 已知抛物线，则抛物线C的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设椭圆和双曲线的离心率分别为，．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线的右支于，两点，且．若，则的周长为（ ） A. 68 B. 72 C. 76 D. 80 8. 欧拉定理表明：任意三角形的外心、重心、垂心三点共线，这条直线被称为欧拉线．在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，的欧拉线为直线，点为上的动点，过点作圆：的切线，其中一个切点为．当的面积取得最小值时，切线长（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆C满足：椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为12，且椭圆C上的点到其焦点的距离的最大值为9，则椭圆C的标准方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆：，点，直线：，则下列说法正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 点到直线的距离的最大值为 C. 若直线与圆相切，则 D. 若圆上一点关于直线的对称点在圆上，则 11. 如图，对勾函数（，）的图象是一条中心在坐标原点的旋转双曲线，其渐近线分别为直线与y轴，该双曲线的实轴和虚轴所在的直线是两条渐近线的角平分线．已知双曲线的实轴长为2m，离心率为e，设双曲线C的渐近线与实轴夹角为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 点是双曲线C的一个顶点 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为______． 13. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是______． 14. 若双曲线（，）存在以点为中点的弦，则双曲线C的离心率e的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求过点且与平行的直线的方程． 16. 已知直线过点且与直线垂直，点为圆：上的动点，直线与圆相交，且截得的弦长为． （1）求直线的方程； （2）求实数的值； （3）求线段的中点的轨迹方程． 17. 已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点． （1）若点为线段的中点，求直线的方程； （2）求的最小值． 18. 已知双曲线（，）的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，且，过点的直线与双曲线交于，两点． （1）求双曲线的标准方程． （2）若点，均在双曲线的右支上，且的周长为，求直线的方程． （3）探究是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程． （2）设过点作斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线和的斜率分别为，． ①求证：为定值； ②求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过，两点，则直线l的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】由直线的斜率公式计算求解. 【详解】因为直线l经过，两点，所以直线l的斜率． 2. 已知抛物线，则抛物线C的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可得到答案. 【详解】把抛物线C的方程化为标准方程，得， 焦点在轴的正半轴上，，， 所以抛物线C的焦点坐标为． 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先代入参数值判断直线平行证明充分性，利用直线平行求解参数值证明必要性即可. 【详解】当时，直线与直线， 即直线与直线，是平行关系，即满足充分性， 当直线和直线平行时， 有，解得或， 当时，可知两直线平行， 当时，两直线为与直线，是平行关系， 故不满足必要性， 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 4. 设椭圆和双曲线的离心率分别为，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 由椭圆和双曲线的方程，得，， 所以，解得．因为，所以. 5. 已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得. 【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为， 如图，过作于， 由抛物线的定义可知，所以 则当三点共线时，最小为. 所以的最小值为. 故选：C. 6. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上．若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】结合椭圆的定义和可求解. 【详解】因为，所以． 由椭圆的定义及题意，得在中， ，， 所以． 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线的右支于，两点，且．若，则的周长为（ ） A. 68 B. 72 C. 76 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及双曲线的定义列式求解. 【详解】双曲线的实半轴长，令，由，得， 由双曲线的定义，得，． 在中，，由余弦定理，得， 即，整理得，则， 因此，，，所以的周长为72． 8. 欧拉定理表明：任意三角形的外心、重心、垂心三点共线，这条直线被称为欧拉线．在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，的欧拉线为直线，点为上的动点，过点作圆：的切线，其中一个切点为．当的面积取得最小值时，切线长（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出欧拉线方程，当三角形面积最小时，可得切线长最小，利用点到直线的距离求最值即可. 【详解】如图所示： 由，可得重心. 已知在轴上，的垂直平分线为； 中点为，直线斜率为3，故垂直平分线斜率为， 所以垂直平分线方程为：，即， 将代入得：，即外心. 由欧拉线定义和和，可得欧拉线方程为：. 圆的圆心为，半径， 由切线性质可知，， 因此的面积， 即面积最小等价于切线长最小. 因为， 所以最小等价于点到直线上动点的距离最小， 点到直线的最短距离为， 代入得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆C满足：椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为12，且椭圆C上的点到其焦点的距离的最大值为9，则椭圆C的标准方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】由题意，得，解得，则， 所以椭圆C的标准方程为或． 10. 已知圆：，点，直线：，则下列说法正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 点到直线的距离的最大值为 C. 若直线与圆相切，则 D. 若圆上一点关于直线的对称点在圆上，则 【答案】AC 【解析】 【分析】化直线方程为判断A，结合A的结论并应用两点距离公式、对称性判断B、D，根据直线与圆相切列方程求参数值判断C. 【详解】 A：将直线整理为，因此直线恒过点，正确； B：直线恒过定点，点到直线的距离最大值为，错误； C：圆心为，半径，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 所以，整理得，正确； D：点在圆上，且对任意，都在直线上， 取，则它关于直线的对称点仍是自身，也在圆上，但不一定为​，错误. 11. 如图，对勾函数（，）的图象是一条中心在坐标原点的旋转双曲线，其渐近线分别为直线与y轴，该双曲线的实轴和虚轴所在的直线是两条渐近线的角平分线．已知双曲线的实轴长为2m，离心率为e，设双曲线C的渐近线与实轴夹角为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 点是双曲线C的一个顶点 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据离心率的定义判断A；根据渐近线的斜率计算，进而得出实轴所在的直线方程判断B；根据同角关系判断C；求出顶点坐标，距离公式判断D. 【详解】根据双曲线的定义，设双曲线的实轴长、虚轴长分别为2a，2b， 则，所以，故A正确． 由题意知，在双曲线C中，顶点是实轴所在的直线与双曲线的交点， 渐近线的斜率为， 则，解得或（舍）， 则，所以双曲线C的实轴所在的直线为． 与联立，解得顶点的坐标为或，故B错误． 由，得，结合A选项，得，故C正确． 为顶点到坐标原点的距离， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，又，所以. 13. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，得圆心，半径为， 圆心到直线的距离． 因为圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 14. 若双曲线（，）存在以点为中点的弦，则双曲线C的离心率e的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分情况讨论点在双曲线右支内部和双曲线外部，结合点差法求出的范围，从而得出结果. 【详解】若点在右焦点所在的区域（即点在双曲线右支内部）， 则必存在以点为中点的弦，此时，解得，则， 所以，符合题意． 若点不在右焦点所在的区域（即点在双曲线外部），则． 设以点为中点的弦与双曲线C交于，两点，则，． 因为，，两式作差，得， 所以弦AB的斜率． 因为弦AB存在，所以直线AB与双曲线C有2个不同的交点，所以，解得， 则，所以． 综上所得，双曲线C的离心率e的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求过点且与平行的直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出线段的中点，再写出直线方程； （2）先求出直线的斜率，继而求得边上的高线斜率，再由点斜式求方程即可； （3）先由两直线平行求直线斜率，再由点斜式求方程. 【小问1详解】 因为，，所以线段的中点为． 因为，所以边上的中线所在直线的方程为． 【小问2详解】 因为，，所以直线的斜率， 所以边上的高所在直线的斜率． 又因为边上的高过点， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 【小问3详解】 由（2）得，， 因为所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率为． 因为所求直线过点，所以所求直线的方程为， 即． 16. 已知直线过点且与直线垂直，点为圆：上的动点，直线与圆相交，且截得的弦长为． （1）求直线的方程； （2）求实数的值； （3）求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据互相垂直的两直线的斜率性质，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据圆的方程特征，结合圆的弦长公式、点到直线距离公式进行求解即可； （3）利用相关点法，结合代入法进行求解即可. 【小问1详解】 因为直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为． 又因为直线过点，所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 圆：的标准方程为， 则圆心，半径，． 因为圆心到直线的距离， 圆截直线所得的弦长为，所以，解得． 【小问3详解】 由（2），得圆的方程为． 设线段的中点为，． 因为，所以，则． 因为点在圆上运动，所以， 即， 化简，得， 即线段的中点的轨迹方程为． 17. 已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点． （1）若点为线段的中点，求直线的方程； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线方程为，直线与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可得，结合中点坐标公式建立等式计算求解即可； （2）分斜率存在和不存在两种情况，结合抛物线定义计算求解即可. 【小问1详解】 设，．由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为， 则直线的方程为，． 由，消去，整理得，恒成立． 因为点是线段的中点， 所以．解得， 所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 由抛物线的定义，得，． 当直线的斜率存在时，由（1）知，， 所以，． 所以， 所以当时，取得最小值． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则， 所以，则． 因为，所以的最小值为． 18. 已知双曲线（，）的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，且，过点的直线与双曲线交于，两点． （1）求双曲线的标准方程． （2）若点，均在双曲线的右支上，且的周长为，求直线的方程． （3）探究是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或． （3）存在点，使得为定值． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线中的意义和关系，可求的值，得到双曲线的方程. （2）先根据双曲线的定义，求出弦的长度；设直线，与双曲线方程联立，利用弦长公式，可求的值，即得直线方程. （3）假设存在轴上的定点，使得为定值.结合（2）中的结论，根据为定值，可求的值. 【小问1详解】 因为，即，所以． 又因为一条渐近线的方程为， 所以，所以，所以，， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 因为点，均在双曲线的右支上，且的周长为， 所以，即，解得． 因为，所以设直线的方程为． 代入，得，整理得． 由题意，得，恒成立． 设，， 则，所以，． 因为， 所以． 解得，所以． 所以直线的方程为，即或； 【小问3详解】 假设存在轴上的定点，使得为定值． 因为，， 所以 ． 因为为定值，所以，解得，此时． 所以存在点，使得为定值． 19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程． （2）设过点作斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线和的斜率分别为，． ①求证：为定值； ②求面积的最大值． 【答案】（1）. （2）①设过点的直线的方程为，由题意得， 设，．由消去，化简得， 由判别式，得， 所以，．直线，的斜率分别为，， 因为，，所以， 因为，所以为定值. ②. 【解析】 【分析】(1)借助椭圆焦点、椭圆上点的坐标求出参数； (2)①联立直线与椭圆，结合韦达定理化简斜率和证明定值； ②把三角形面积转化为关于参数的函数，用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由椭圆的右焦点为，得． 因为点在椭圆上，所以．所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①略． ②因为点，均在轴上，且，直线过点， 所以的面积， 即，令，则，， 所以．由基本不等式，得， 当且仅当，即（即）时，等号成立， 所以，即面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $