精品解析：河南省部分重点中学2026～2027学年高二上学期10月测评数学试题

2026～2027学年高二10月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过，两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线（斜率不为）交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 直线被圆截得的弦长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，圆，若两圆的公切线恰有3条，则（ ） A. 4 B. 2 C. 16 D. 36 7. 已知，两直线，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则 C. 已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是 D. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点且不与轴垂直的直线与抛物线相交于两点，过原点作直线的平行线与抛物线交于另一点，则（ ） A. B. 线段的中点和线段的中点的连线与轴平行 C. 以点为顶点的四边形可能为等腰梯形 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是双曲线的左､右焦点，若点在双曲线上，且，则__________. 13. 过点作圆的切线，则切线方程为___________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q分别是以线段为直径的圆与椭圆C在第一象限内和第三象限内的一个交点，若，则椭圆C的离心率的取值范围为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的顶点分别为，，，求： （1）直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程. 16. 已知双曲线（，）的焦距为4，虚轴端点到焦点的距离为． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与交于，两点，若，求． 17. 已知两点，，且动点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线交曲线于异于点的点，当时，求直线的方程． 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直. 19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （i）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年高二10月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过，两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点求出直线的斜率，结合斜率的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以经过两点的直线斜率为， 又直线的倾斜角范围为，所以其倾斜角为． 故选：D． 2. 已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程即得. 【详解】因为圆的圆心为， 则圆的圆心坐标是. 故选：C． 3. 已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线（斜率不为）交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准形式求出长半轴长a，再利用椭圆的定义计算△ABF₂的周长. 【详解】将两边同除以225，可得，由此得，即. 对椭圆上的点，有，. 的周长，其中， 代入得： . 故选：A. 4. 直线被圆截得的弦长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由圆的标准方程确定圆心坐标与半径，再利用弦长、半径、圆心到直线的距离满足的勾股关系列方程求解m的值. 【详解】由圆的标准方程，可得圆心坐标为，半径， 将直线整理为一般式，所以圆心到直线的距离为 ， 根据圆的弦长公式得 ，解得，即（距离非负）， 所以，即，解得. 5. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程写出，根据焦点位置得渐近线方程． 【详解】由题意双曲线标准方程为，，，焦点在轴， 渐近线方程为， 故选：C． 6. 已知圆，圆，若两圆的公切线恰有3条，则（ ） A. 4 B. 2 C. 16 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得两圆外切，求出圆心距和半径和，列式计算，即可得答案. 【详解】因为是圆，所以， 因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切， 因为，，，， 所以，解得， 故选：A. 7. 已知，两直线，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的位置关系列方程得关系，再根据基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】两直线， 若，则，可得， 因为，所以， 当且仅当，即等号成立，则的最小值为. 故选：C. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据双曲线的定义和勾股定理得出，再在中得出，最后在中利用余弦定理即可求出. 【详解】因为，所以设，则， 因为点在轴上，所以， 因为点在双曲线上，由双曲线定义得：，即， 由，所以，所以， 即，解得， 所以，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，所以，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 【答案】AC 【解析】 【分析】由两条平行直线间距离可求出实数m的取值范围，即可得出答案. 【详解】直线：和：平行，则， 两条平行直线间距离，解得且， 故0和2符合要求. 故选:AC． 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则 C. 已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是 D. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用直线横纵截距符号判断B；利用双曲线的意义求出最小值判断C； 利用椭圆定义求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，直线与直线垂直，A错误； 对于B，直线的横纵截距分别为，依题意，，因此，B正确； 对于C，双曲线实半轴长，半焦距，为左焦点， 当为左顶点时，，C正确； 对于D，点在椭圆外，其长半轴长，点， 而，则， 当且仅当是线段与椭圆的交点时取等号，D错误. 故选：BC 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点且不与轴垂直的直线与抛物线相交于两点，过原点作直线的平行线与抛物线交于另一点，则（ ） A. B. 线段的中点和线段的中点的连线与轴平行 C. 以点为顶点的四边形可能为等腰梯形 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线几何性质可判断A；设出直线，的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，的中点纵坐标可判断B；利用B中结论，结合等腰梯形性质可判断C；利用韦达定理分别计算即可判断D. 【详解】对A，因为焦点到准线的距离为2，所以，A正确； 对B，由题知，直线的斜率存在且不为0，抛物线交点坐标为， 设直线的方程为，， 则直线的方程为， 联立，得，则， 联立，得，则，或，则， 记线段和线段的中点分别为，则， 所以平行于轴，B正确； 对C，若点为顶点的四边形为等腰梯形，则， 与平行于轴，不垂直于轴矛盾，故C错误； 对D，因为， ， 所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：对于C选项关键在于灵活利用B中结论，结合等腰梯形性质分析. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是双曲线的左､右焦点，若点在双曲线上，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线定义，可得，即可求出的值，检验的值，根据两边之和大于第三边，即可得答案. 【详解】因为在上，所以， 又，则，所以， 所以，即或， 解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 所以. 故答案为： 13. 过点作圆的切线，则切线方程为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程. 【详解】①直线的斜率不存在时满足， ②直线斜率存在时，设切线方程为，则， 所以切线方程为，即． 故答案为：或. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q分别是以线段为直径的圆与椭圆C在第一象限内和第三象限内的一个交点，若，则椭圆C的离心率的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用圆的内接四边形和得到，利用椭圆的定义得到，利用换元法和函数的单调性得到，进而求出. 【详解】设，由点P在第一象限，知， 因为P，Q在椭圆C和以为直径的圆上， 所以四边形为矩形，． 由，可得， 由椭圆的定义可得①， 平方相减可得②， 由①②得． 令，令， 则在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以， 所以，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的顶点分别为，，，求： （1）直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到，再利用点斜式求解直线方程即可； （2）首先根据题意得到边上的高所在直线的斜率为，再利用点斜式求解直线方程即可. 【小问1详解】 设所在直线的斜率为，则， 所以所在直线的方程为：，即. 【小问2详解】 因为所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程，即. 16. 已知双曲线（，）的焦距为4，虚轴端点到焦点的距离为． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与交于，两点，若，求． 【答案】（1） 双曲线的标准方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）由焦距求出，结合虚轴端点到焦点的距离求出，再利用双曲线参数关系求，从而求得标准方程. （2）设出直线方程与双曲线联立，将向量条件转化为坐标关系，结合韦达定理求斜率，代入弦长公式计算. 【小问1详解】 由双曲线焦距为4，得，即. 因为虚轴端点坐标为，右焦点坐标为，两点间距离为， 代入得，解得. 由双曲线参数关系，得， 故的标准方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，的方程为， 代入双曲线方程得，无实根，故直线斜率存在. 当直线斜率存在时，设，，， 由，，得 即. 将代入，整理得. 需满足（即）， 且判别式（即）. 由韦达定理得. 将代入的表达式，得，解得. 再代入的表达式，化简得，满足取值条件. ，，， 故 . 17. 已知两点，，且动点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线交曲线于异于点的点，当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 和 【解析】 【分析】（1）设出动点的坐标，代入两点间距离公式化简得到轨迹方程. （2）利用圆的弦长公式求圆心到直线的距离，列方程求解斜率从而得到直线方程. 【小问1详解】 设动点，根据两点间距离公式有，. 又因为，两边平方得. 展开整理，化简得轨迹方程. 【小问2详解】 首先验证在曲线上，代入得，满足方程. 又曲线是圆心为，半径的圆. 若直线斜率不存在，则方程为，与仅交于点，不符合题意，故斜率存在. 设直线的斜率为，方程为，即. 由圆的弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 代入，，解得. 由点到直线的距离公式，两边平方整理得，解得，即. 当时，直线方程为；当时，直线方程为. 经检验，两条直线均与交于异于的点，符合要求. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直. 【答案】（1） （2） 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， 设点P的坐标为，，有，可得， 直线BD的方程为，整理为； 直线AD的方程为，整理为； 直线AP的方程为； 联立方程，解得，M的横坐标为， 直线BP的方程为， 联立方程，解得：，N的横坐标为， ， 故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直. 【解析】 【分析】（1）根据短轴长和离心率得到，，，得到椭圆方程. （2）确定各点坐标，设点P的坐标为，，计算各直线的方程，得到的横坐标，作差为0得到证明. 【小问1详解】 设椭圆C的焦距为2c，由题意有：，解得，，， 故椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，椭圆中的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线与的垂直关系转化为横坐标相等是解题的关键. 19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （i）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数． 【答案】（1） （2） （i）当时，，切线斜率存在，设处的切线方程为， 由消去得. 因为切线与抛物线只有一个交点，且， 所以，即，① 因为在抛物线上，所以，即，代入①得 ，整理得，所以， 所以切线方程为，即， 将代入得，即； 当时，，即为原点，由图知切线方程为，满足. 综上，抛物线上点处的切线方程为. （ii）如图，连接，设， 由（i）知两条切线的方程分别为， 又两条切线的交点为，即的坐标均满足两条切线方程， 所以，所以的坐标均满足方程，即直线的方程为. 由消去得，所以， 由（i）知两条切线的斜率分别为， 所以，即直线的斜率之积为常数． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的方程可知其准线方程，利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离，列方程可求得.（2）（i）分讨论，时根据点斜式设出切线方程，联立切线方程与抛物线方程得到一个一元二次方程，令判别式等于0可得到一个关于切线斜率的方程，求出斜率从而可得切线方程，说明时的切线方程也满足所求切线方程即可；（ii）设，由切线方程可得到的方程，联立的方程与抛物线的方程，可得，进而可得直线的斜率之积. 【小问1详解】 由抛物线的方程可知其准线方程为， 如图，过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义得， 即，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $