精品解析：河南安阳市(文峰区,北关区)2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题A卷

高二数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 3. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. “直线：与：互相垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线上存在一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点在圆上运动，且三点不共线，则的值（ ） A. 恒为 B. 恒为1 C. 恒为2 D. 随点的位置变化而变化 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. 构成空间的一个基底 B. C. D. 10. 已知圆经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的一般方程为 B. 圆上一点到原点距离的最小值为 C. 圆上一点到直线距离的最大值为 D. 若为圆上的动点，则的取值范围是 11. 某安防系统在哨位和处各安装了一台激光器．系统通过调节参数来同步控制两束激光的方向，这两束激光所在直线的方程分别为（由点射出），（由点射出）．当两束激光所在的直线垂直时，系统判定为“入侵”，交点即为入侵者位置，记为．下列说法正确的是（ ） A. 不存在的值，使两束激光重合 B. 判定为“入侵”时，点到中点的距离为 C. 判定为“入侵”时，面积的最大值为 D. 使两束激光的夹角为的值恰有个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 当点到直线的距离最大时，在轴上的截距为________． 13. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为________． 14. 过点的直线与曲线恰有一个公共点，则的斜率的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公切线条数． 16. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知直线过点且与轴正半轴、轴正半轴分别交于点，，点为坐标原点． （1）求的最小值，及此时曲线所围成的封闭图形的面积； （2）若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，．点在棱上，且． （1）当时，证明：平面； （2）当二面角的大小为时，求的值； （3）求面积的最小值，并求此时的值． 19. 若为平面内一点，过点任作一条与圆相交的直线，交圆于点，，称为点关于圆的幂，记作．已知圆． （1）求证：． （2）已知，，求与，并指出的符号与点位置（圆内、圆上、圆外）的关系． （3）设为圆内一点，过的某条弦被分成长度分别为1和2的两段．过再作两条互相垂直的弦，，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直关系的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以，，即：，解得：. 2. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 3. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用中点坐标公式求出中点的坐标，结合点算出中线的斜率，再用点斜式写出直线方程并整理为一般式方程． 【详解】，，，边上的中点， 所以所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即． 4. 若直线与平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求，利用平行线距离公式求解. 【详解】，， 因为两直线平行，所以， 解得，经验值符合， 所以，即， ， . 5. “直线：与：互相垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般式方程垂直关系的条件求得 或 ，再结合充分条件与必要条件判断即可. 【详解】因为直线，垂直等价于, 所以，有，即，解得 或 ， 当时，：与：，满足垂直，必要性成立； 当时，：与：，也满足垂直关系. 所以，两直线垂直不能得到（还可取 ），充分性不成立； 故“直线 与 互相垂直”是“”的必要不充分条件. 6. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由底面，底面为正方形，建立空间直角坐标系，设棱长参数，写出各点坐标，求出两条直线方向向量；异面直线所成角范围，余弦值取向量夹角余弦的绝对值. 【详解】设，以为原点， 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 因为是中点，所以，所以， 因为所以， 所以， ， ， ， 因为异面直线所成角，所以. 7. 已知直线上存在一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知，又，所以四边形为正方形， 又圆半径，所以， 由题可知到直线的距离， 解得或，所以实数的取值范围是. 8. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点在圆上运动，且三点不共线，则的值（ ） A. 恒为 B. 恒为1 C. 恒为2 D. 随点的位置变化而变化 【答案】C 【解析】 【分析】先用圆的方程代换，用坐标表示的距离平方，并化简得到，再在中利用正弦定理，将两角正弦之比转化为对应边长之比求值． 【详解】 圆的方程为，圆心，半径， ，所以， 设，满足，即， ， ， 所以， 因为边长都是正数，所以，即， 在中，由，得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. 构成空间的一个基底 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理、模长公式、夹角公式、数量积坐标运算公式，逐项判断即可. 【详解】对于A：若共面，则存在唯一的，使得， 即，所以，这不成立， 所以不共面，可以作为空间的一组基底，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以与不垂直，故D错误. 10. 已知圆经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的一般方程为 B. 圆上一点到原点距离的最小值为 C. 圆上一点到直线距离的最大值为 D. 若为圆上的动点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【详解】设圆的方程为， 因为圆经过，，三点， 所以，解得， 对于A，圆的一般方程为，A正确； 对于B，圆的圆心坐标为，半径为， 原点到圆心的距离为， 所以圆上一点到原点的距离的最小值为，B正确； 对于C，圆心到直线的距离为， 所以圆上一点到直线的距离的最大值为，C错误； 对于D，圆的标准方程为， 设， 则， 则， 因为，所以的取值范围是，D正确. 11. 某安防系统在哨位和处各安装了一台激光器．系统通过调节参数来同步控制两束激光的方向，这两束激光所在直线的方程分别为（由点射出），（由点射出）．当两束激光所在的直线垂直时，系统判定为“入侵”，交点即为入侵者位置，记为．下列说法正确的是（ ） A. 不存在的值，使两束激光重合 B. 判定为“入侵”时，点到中点的距离为 C. 判定为“入侵”时，面积的最大值为 D. 使两束激光的夹角为的值恰有个 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A：由直线重合的条件判断.选项B：求出点坐标，由两点间的距离公式计算.选项C：由选项B中结论直接排除.选项D：先由题意借助直线的方向向量列出满足条件的关于的方程， 然后解高次方程，先试出方程的两个根，再将其转换为二次方程解剩下的根. 【详解】选项A：假设直线与直线重合，，，方程组无解，不存在的值，使两束激光重合，A正确. 选项B：当时，，，由，， 点的坐标为，设中点为，由中点坐标公式得， ，B错误. 选项C：由选项B知满足条件的点只有一个，的面积不存在最大值的说法， 还有此时，C错误. 选项D：将代入直线的方程，，点在直线上， 设为直线上的一个方向向量， 将代入直线的方程，，点在直线上， 设为直线上的一个方向向量， 当两束激光的夹角为时，，， ， 试根：当时，满足， 当时，满足， 令， ， ，， ，由解得，，， 方程的根为，，，，， 两束激光的夹角为的值恰有个，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 当点到直线的距离最大时，在轴上的截距为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查动直线过定点、点到直线距离最值、直线截距，先分离参数找出直线恒过的定点，再利用几何性质：若动直线恒过定点，则点到动直线距离的最大值为，当且仅当时取到最大值，求出直线方程后，求解直线在轴上的截距. 【详解】直线l的方程整理得， 令，解得， 所以直线恒过定点， 动直线绕定点旋转，点到直线的距离， 当且仅当时，距离取得最大值， 直线的斜率， 因为，两条垂直直线斜率之积为，所以直线的斜率， 把代入直线方程得， 化简得，斜截式为， 令，得，即直线在轴上的截距为. 13. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为________． 【答案】 【解析】 【详解】点在平面内，，，， 所以点到平面的距离为 14. 过点的直线与曲线恰有一个公共点，则的斜率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题知曲线的图像为一条直线和一个圆，由直线与直线一定相交， 得出直线与圆没有交点，借助圆心到直线距离要大于半径可解出斜率的取值范围. 【详解】由题知曲线的方程为或，曲线的图像为直线和圆心为，半径为的圆，如图所示； 当直线的斜率不存在时，直线与曲线没有交点. 当直线的斜率存在时，直线与直线有且仅有一个交点， 设直线的斜率为，直线的方程为整理得，圆心到直线的距离为， 直线与直线已经有一个交点，直线与圆没有交点， ，，或， 的斜率的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求圆与圆的公切线条数． 【答案】（1） （2）3． 【解析】 【小问1详解】 设． 由，得， 解得，则． 又半径， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 圆的标准方程为， 所以圆心为，半径． 因为， 所以圆与圆外切， 故圆与圆的公切线条数为3． 16. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：在正三棱柱中，由为的中点，得， 又平面，平面，则，而平面， 所以平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知直线过点且与轴正半轴、轴正半轴分别交于点，，点为坐标原点． （1）求的最小值，及此时曲线所围成的封闭图形的面积； （2）若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 【答案】（1）最小值为，面积为 （2）或． 【解析】 【分析】（1）设直线方程代入点，用均值不等式求最小值，确定得最小值及坐标，确定图形为菱形求出面积. （2）由圆过点列方程，联立方程求解，代入直线方程得直线方程. 【小问1详解】 （1）由直线过点，得， 因为直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于点，， 所以，，，， 又，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8， 此时，，曲线所围成的封闭图形为菱形， 顶点为，， 其面积为. 【小问2详解】 因为以线段为直径的圆经过点， 所以，即， 整理得， 由可得：，解得或， 当时，，直线， 当时，，直线． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，．点在棱上，且． （1）当时，证明：平面； （2）当二面角的大小为时，求的值； （3）求面积的最小值，并求此时的值． 【答案】（1）证明：在四棱锥中，连接交于，连接， 由四边形为正方形，得为的中点，当时，为的中点， 则，又平面，平面，所以平面. （2） （3）面积的最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求解. （3）由（2）中信息，利用向量夹角公式及三角形面积公式列式，再借助二次函数求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由底面，且四边形为正方形，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得，则， 设平面的法向量为，则，取， 得，平面的一个法向量为， 由二面角的大小为，得，整理得， 而，解得，所以. 【小问3详解】 由（2）知，则，， 而及， 因此 ， 当且仅当时取等号，所以面积的最小值为，此时. 19. 若为平面内一点，过点任作一条与圆相交的直线，交圆于点，，称为点关于圆的幂，记作．已知圆． （1）求证：． （2）已知，，求与，并指出的符号与点位置（圆内、圆上、圆外）的关系． （3）设为圆内一点，过的某条弦被分成长度分别为1和2的两段．过再作两条互相垂直的弦，，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）设直线过点且交圆于点，．设的中点为，连接，则，． 所以． 又，， 所以， 即，得证． （2）4；；在圆外时，为正；在圆上时，为；在圆内时，为负． （3）6 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律，结合垂径定理即可证明； （2）由（1）知，代入点的坐标即可进行计算，并判断的符号与点位置的关系； （3）先由点幂求出，利用垂直弦的距离公式、弦长公式，结合均值不等式即可求解四边形面积的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，；． 由，知在圆外时，，所以为正；在圆上时，，所以为；在圆内时，，所以为负． 【小问3详解】 因为点在圆内，且过点的弦被分成长度分别为1和2的两段， 所以，在的两侧，与反向， 故． 由（1），得，所以． 设到弦，的距离分别为，． 因为且都过点，所以过作两弦的垂线，两垂足与，构成矩形，为其对角线， 故． 因为，，且， 所以． 令，，则，，． 所以， 当且仅当（即）时取等号． 故四边形面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $