25.3 实际问题与一元二次方程(第1课时) 导学案 2026—2027学年人教版数学九年级上册

25.3 实际问题与一元二次方程(第1课时)

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【学习目标】

1. 能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；

2. 掌握平均变化率问题（增长率/下降率）与传播问题的数量关系，能正确设元、列方程并求解；

3. 能根据实际意义检验方程的根是否符合题意，体会“检验”是解决实际问题的重要步骤．

【重点难点】

重点：找实际问题中的等量关系列一元二次方程，平均变化率问题满足 原量×(1±x)²＝新量．

难点：传播问题中“一轮”与“两轮”感染人数的分层表示，以及解出的根的实际意义检验．

【课堂探究】

知识点1  数学模型问题

1. （例1，人教九上P20例1改编）已知一个直角三角形的三边长是三个连续的正偶数，分别求出这个直角三角形的三边长．

解：设这个直角三角形的三边长分别为x，x＋2，x＋4，其中x为正偶数．

根据题意，得　　　　　　　　　　　　．

解方程，得：

 

 

2. （人教九上P20例2）用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？

解：

 

 

 

 

知识点2  平均变化率问题

3. （例2）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5 000元，5月份盈利达到7 200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，求每月盈利的平均增长率．

解：设每月盈利的平均增长率为x．

根据题意，得　　　　　　　　　　　　．

解方程，得：

 

 

4. 某种商品两次降价后，每件售价从原来100元降到81元，求平均每次售价的下降率．

解：

 

 

 

 

归纳

平均变化率问题解题技巧

(1)连续下降两次问题：原量·(1－x)2＝新量．

(2)①变化率问题通常涉及“三个时间，两次变化(增长或下降)”，要分清“原量”和“新量”；②解方程时用“直接开平方法”．

(3)用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义．

知识点3  传播问题

5. （例3）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有144台电脑被感染，那么每轮感染中平均一台电脑感染多少台电脑？

解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台电脑．

根据题意，得　　　　　　　　　　　　．

解方程，得：

 

 

方法归纳：若有a个传染源，每个传染源每轮传染x人，则n轮后的总人数＝a(1＋x)n．