第 25 章 一元二次方程数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦九年级上册第25章一元二次方程，包含方程公共解条件探究与黄金分割两大数学活动，通过具体探究问题引导学生衔接方程解法与几何应用，搭建知识迁移的学习支架。 资料以探究过程为核心，结合方法提炼、例题精讲及分层专题训练，帮助学生通过设公共根消元、黄金分割建模等方法，培养抽象能力、推理意识与应用意识，提升综合问题解决能力，适合课堂探究与自主学习。

九年级数学（人教版）上册 第 25 章 一元二次方程 数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割 数学活动（一）探究方程有公共解的条件 探究问题 已知，三个方程： ① ② ③ 有公共解，求满足的条件以及公共解。 探究过程 设公共解为，则 三式相加得： 恒成立， 把代入方程①： 得到公共解 三个方程的另一根分别是： 方法提炼 两个方程存在公共根，常设公共根为t，两式相减消去二次项，得到关于公共根的一次方程，结合题意求解参数；注意区分 “只有一个公共根” 和 “两个方程完全相同”。 例题精讲 例 1 已知，，求方程与的公共根。 解：把代入，得； 把代入，得。 同时满足两个方程。 公共根为。 例 2 方程 与 只有一个公共根，求。 解：设公共根为，则 两式相减，消去： ①若，原两个方程都为，两方程完全一样，两个根都是公共根，不符合 “只有一个公共根”，舍去。 ②若，即，将代入： 检验： 时，，解得； ，解得。 两方程仅有公共根，符合题意。 。 专题训练 1. 已知是方程和的公共根，则的值为（ ） A. B. C. D. 解：把代入两个方程：,得到，选。 2. 若方程与只有一个公共根，求。 解：设公共根为：两式相减：，。 当，两方程均为，两方程完全相同，舍去； 当，代入：。 检验：， 方程 1：根； 方程 2：根，仅公共根。 。 3. 已知是方程和的公共根，求。 解：将代入：。 将代入：。 4. 若方程与只有一个公共根，求。 解：设公共根为： 两式相减：，。 ，两方程同为，舍去； 代入：。 检验：， 方程 1：根； 方程 2：根，仅公共根。 。 5. 已知关于的方程和只有一个公共根，求。 解：设公共根为： 两式相减：。 把代入第一个方程： 检验：， 方程 1：根； 方程 2：根， 仅公共根，成立。 6. 已知方程与只有一个公共根，且，求。 解：设公共根： 两式相减：。 ，。 把代入：，。 7. 方程与只有一个公共根，求实数。 解：设公共根为。 由得，代入第二个方程： 实数解。 检验：，根； 根，仅公共根。 。 8. 已知，，求的值。 解：由完全平方公式： ，， 9. 方程与公共根是，求。 解： 将代入，， 。 10. 方程与只有一个公共根，求。 解：设公共根为： 两式相减：，。 ，两方程完全相同，舍去； 代入第一个方程： 检验成立。 11. 已知方程和只有一个公共根，，求证：。 证明：设公共根为： 两式相减：，。 ，，得。 把代入： ，命题得证。 12. 已知方程与只有一个公共根，求的值。 解：设公共根为： 两式相减：，。 ①若，两方程同为，两方程完全一样，舍去； ②若，代入：。 检验：， 方程 1：根； 方程 2：根，仅有公共根，符合题意。 。 13. 方程与只有一个公共根，，求。 解： 设公共根： 两式相减：。 ，。 代入：，。 14. 方程与只有一个公共根，求。 解： 设公共根，两式相减：。 把代入：， 检验：， 方程 1：根； 方程 2：根，仅公共根，成立。 15. 已知，，求证：方程，，有公共根，并求出公共根。 证明：把代入，； 同理，。 同时满足三个方程。 公共根为。 数学活动（二）神奇的线段分割 黄金分割定义 点把线段分成、两段（），若，则点叫做线段的黄金分割点。 黄金比： 尺规作图：作线段的黄金分割点 (1) 过点作的垂线，截取； (2) 连接； (3) 以为圆心，长为半径画弧，交于点； (4) 以为圆心，长为半径画弧，交线段于点。 点即为线段的一个黄金分割点。 黄金矩形：矩形的宽与长的比等于黄金比。 例题精讲 黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感。课本中这样定义 “黄金分割点”：如图 1，点将线段分成两部分（），若，则称点为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比。 (1) 如图 1，若，求黄金比的值。（保留根号） 解： 设，则，。 由，得， 求根：，取正根。 (2) 由黄金分割点联想到 “黄金分割线”，如图 2，在中，点是边上一点，将分割成两个三角形（），当满足，则称为的黄金分割线。 ① 求证：此时点是线段的黄金分割点； 证明： 与同高，面积比， 与同高，面积比 ，且， 点是线段的黄金分割点。 ② 若的面积为 4，直接写出的面积。 解：设，， ， 解得，，舍去， 。 专题训练 1. 已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，下列说法错误的是( ) A.如果，那么C是线段AB的黄金分割点 B.如果，那么C是线段AB的黄金分割点 C.如果，那么C是线段AB的黄金分割点 D.如果,那么叫做黄金比 解：根据黄金分割的定义可知A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意. 2. 黄金比精确到的近似值为 。 解：， 3. 已知线段，是的黄金分割点（），求线段的长。 解： 4. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”(如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点)，汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观。若正方形“黄金格”的边长为10cm，四个黄金分割点组成的正方形的边长为( ) A. B. C. D. 解：如图 ∵点D是AB的黄金分割点（）， ∴ ∵点C是AB的黄金分割点（）， ∴ ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长是. 5. 把一条线段分割成两段，较长线段比全长等于较短线段比较长线段，求这个比值。 解： 设较长段为，较短段为，全长。 两边除以，令，解得 所求比值 6. 定义：若线段AB上有一点C满足或，则称点C为线段AB的黄金分割点。在如图所示的五角星图案中，已知点M，N是线段AB的黄金分割点，若，则线段MN的长为_________. 解：由题意得： ∴， ∴ 7. 已知求的值。 解： 令。 8. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点. 【问题初探】 (1) 如图1,已知点C为线段AB的黄金分割点()，求黄金比. 解：设则 ∵ ……请补全以上解题过程； 请补全以上解题过程； 【知识迁移】 (2) 如图2,点C为线段AB的黄金分割点(AC > BC),分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD,连接BD、BE.求证：△EAB∽△BCD； 【延伸拓展】 (3) 如图3,在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M.求证：点M是AD的黄金分割点. （1）解：设则 ∵ ∴ 解得： ∴ ∴黄金比为 （2）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形， ∴ ∵点C为线段AB的黄金分割点， ； （3） 五边形 是正五边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 是 的黄金分割点。 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（人教版）上册 第 25 章 一元二次方程 数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割 数学活动（一）探究方程有公共解的条件 探究问题 已知，三个方程： ① ② ③ 有公共解，求满足的条件以及公共解。 探究过程 设公共解为，则 三式相加得： 恒成立， 把代入方程①： 得到公共解 三个方程的另一根分别是： 方法提炼 两个方程存在公共根，常设公共根为t，两式相减消去二次项，得到关于公共根的一次方程，结合题意求解参数；注意区分 “只有一个公共根” 和 “两个方程完全相同”。 例题精讲 例 1 已知，，求方程与的公共根。 解：把代入，得； 把代入，得。 同时满足两个方程。 公共根为。 例 2 方程 与 只有一个公共根，求。 解：设公共根为，则 两式相减，消去： ①若，原两个方程都为，两方程完全一样，两个根都是公共根，不符合 “只有一个公共根”，舍去。 ②若，即，将代入： 检验： 时，，解得； ，解得。 两方程仅有公共根，符合题意。 。 专题训练 1. 已知是方程和的公共根，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若方程与只有一个公共根，求。 3. 已知是方程和的公共根，求。 4. 若方程与只有一个公共根，求。 5. 已知关于的方程和只有一个公共根，求。 6. 已知方程与只有一个公共根，且，求。 7. 方程与只有一个公共根，求实数。 8. 已知，，求的值。 9. 方程与公共根是，求。 10. 方程与只有一个公共根，求。 11. 已知方程和只有一个公共根，，求证：。 12. 已知方程与只有一个公共根，求的值。 13. 方程与只有一个公共根，，求。 14. 方程与只有一个公共根，求。 15. 已知，，求证：方程，，有公共根，并求出公共根。 数学活动（二）神奇的线段分割 黄金分割定义 点把线段分成、两段（），若，则点叫做线段的黄金分割点。 黄金比： 例题精讲 黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感。课本中这样定义 “黄金分割点”：如图 1，点将线段分成两部分（），若，则称点为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比。 (1) 如图 1，若，求黄金比的值。（保留根号） 解： 设，则，。 由，得， 求根：，取正根。 (2) 由黄金分割点联想到 “黄金分割线”，如图 2，在中，点是边上一点，将分割成两个三角形（），当满足，则称为的黄金分割线。 ① 求证：此时点是线段的黄金分割点； 证明： 与同高，面积比， 与同高，面积比 ，且， 点是线段的黄金分割点。 ② 若的面积为 4，直接写出的面积。 解：设，， ， 解得，，舍去， 。 专题训练 1. 已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，下列说法错误的是( ) A.如果，那么C是线段AB的黄金分割点 B.如果，那么C是线段AB的黄金分割点 C.如果，那么C是线段AB的黄金分割点 D.如果,那么叫做黄金比 2. 黄金比精确到的近似值为 。 3. 已知线段，是的黄金分割点（），求线段的长。 4. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”(如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点)，汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观。若正方形“黄金格”的边长为10cm，四个黄金分割点组成的正方形的边长为( ) A. B. C. D. 5. 把一条线段分割成两段，较长线段比全长等于较短线段比较长线段，求这个比值。 6. 定义：若线段AB上有一点C满足或，则称点C为线段AB的黄金分割点。在如图所示的五角星图案中，已知点M，N是线段AB的黄金分割点，若，则线段MN的长为_________. 7. 已知求的值。 8. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点. 【问题初探】 (1) 如图1,已知点C为线段AB的黄金分割点()，求黄金比. 解：设则 ∵ ……请补全以上解题过程； 请补全以上解题过程； 【知识迁移】 (2) 如图2,点C为线段AB的黄金分割点(AC > BC),分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD,连接BD、BE.求证：△EAB∽△BCD； 【延伸拓展】 (3) 如图3,在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M.求证：点M是AD的黄金分割点. 学科网（北京）股份有限公司 $