4.1投影第1课时课后分层作业 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（2026新教材）九年级上册 · 第四章 投影与视图 4.1 投影（第1课时）：平行投影与中心投影 课后分层作业｜巩固基础 · 分层提升 · 弹性选做 使用说明 1. 本作业分三档：第一档·基础（全员必做）、第二档·提升（全员必做）、第三档·挑战（选做），建议总用时不超过40分钟． 2. 【答案】【解析】【详解】紧随每题之后；请先独立完成，再对照批改；错题请在附录自查表中记录错因并重做． 3. 本作业所有题目均取自公开网络考试真题，每题题后注明出处与考试时间；答案均经独立复算． ⏱ 建议用时 总计≤40分钟 📚 题量构成 共18题：选8·填4·解6 🎯 分层分布 基础8·提升5·挑战5 ▍本课时要点速览 概念 要点 平行投影 由平行光线（如太阳光）形成的投影；同一时刻，互相平行的线段，其投影长度与原线段长度的比相等． 中心投影 由同一点发出的光线（点光源，如路灯、台灯）形成的投影；等高物体离点光源越近影子越短，越远影子越长． 投影的应用 点光源、物体顶端、影子顶端三点共线，与地面构成相似三角形，可用来计算影长、测量物体高度与距离． 第一档 · 基础 —— 全员必做（约14分钟） 题 1｜选择 · 中心投影的概念｜建议用时 1.5分钟 （2025九上·深圳期中）如图，黑暗房间里，一盏白炽灯从上方照射一个球，球在地面上形成一个圆形阴影．若把白炽灯向上远离球移动，则地面上的圆形阴影将（　　） A．越来越小 B．越来越大 C．保持不变 D．先变大后变小 题 2｜选择 · 中心投影的影长规律｜建议用时 1.5分钟 （2025九上·深圳坪山期末）晚上，丽丽和妈妈在路灯下散步，丽丽的影子比妈妈的影子长，那么离路灯较近的是（　　） A．妈妈 B．丽丽 C．两人离路灯一样远 D．无法确定 题 3｜选择 · 平行投影测高度｜建议用时 2分钟 （2025九上·深圳盐田期末）某一时刻，小明测得学校旗杆的影长为2m，同时测得一根竖直放置的1m长标杆的影长为0.4m，则旗杆的高度是（　　） A．4m B．4.5m C．5m D．5.5m 题 4｜选择 · 平行投影的规律｜建议用时 2.5分钟 （2025九上·石门期中）如图是小明在一天的不同时刻拍摄的一排树的五张照片，按照拍摄时间的先后顺序排列正确的是（　　） A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④② 题 5｜填空 · 平行投影的辨识｜建议用时 1.5分钟 （2024秋九上·济南莱芜区期末）日晷（guǐ）是我国古代发明的利用日影计时的仪器，晷针在太阳光照射下所形成的影子属于________投影（填“平行”或“中心”）． 题 6｜选择 · 平行投影的性质｜建议用时 1.5分钟 （2025·柳州模拟）小明拿一块有一个三角形小孔的纸板，在阳光下将纸板与水平地面平行放置，则阳光穿过三角形小孔在地面上形成的光斑形状是（　　） A．三角形 B．圆形 C．矩形 D．无法确定 题 7｜填空 · 中心投影的辨识｜建议用时 1.5分钟 （2024九上·成都都江堰期末）宋代诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”手影戏是一种独特的艺术形式，它的表演全部靠手部动作投影的改变，幻化形成各种不同的形象．如图是手影戏表演时的示意图，“手影戏”中的手影属于__中心______投影（填“平行”或“中心”）． 题 8｜填空 · 中心投影的辨识｜建议用时 2分钟 （2024九上·深圳龙岗期中）如图，是路灯下两根木杆AB与DE的影子示意图，其中BC是木杆AB的影子，EF是木杆DE的影子，则木杆AB与DE的影子属于________投影（填“平行”或“中心”）． 第二档 · 提升 —— 全员必做（约14分钟） 题 9｜选择 · 中心投影的影长变化｜建议用时 3分钟 （2026·贵州毕节模拟）如图，直线AB是一条水平的马路，马路中点O处有一盏路灯．小红从马路上的A点沿马路匀速走到B点，在此过程中，她在路灯下的影长l随她所走路程s的变化而变化，则l与s的函数关系的大致图象是（　　） A．　　B．　　C．　　D．　　 题 10｜选择 · 平行投影测高度（影子部分在墙上）｜建议用时 3分钟 （2024九上·聊城茌平区期中）如图，小颖想利用太阳光测量电线杆AB的高度．她发现某一时刻一根竖直放置的长为1m的竹竿在地面上的影长为0.5m，此时电线杆AB的影子一部分落在地面上，一部分落在墙上，测得落在地面上的影长BD为3m，落在墙上的影长CD为2m，则电线杆AB的高度是（　　） A．6m B．7m C．8m D．9m 题 11｜填空 · 中心投影与相似三角形｜建议用时 3分钟 （2025九上·成都月考）如图，小明家的客厅有一张高0.75米的圆桌，直径BC为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是　　　　． 题 12｜解答 · 中心投影的判断与计算｜建议用时 2.5分钟 （2024秋·汕头金平区二模）晚上，一棵高2m的小树AB与水平地面垂直，在路灯O的照射下，它的影长BC为3m，已知小树底部B与路灯底部O的水平距离为4.5m（点O，B，C在同一直线上，点B在O，C之间）．（1）小树的影子属于________投影；（2）求路灯杆OP的高度． 题 13｜选择 · 中心投影的影长计算｜建议用时 2.5分钟 （2024-2025学年江苏盐城东台九上期末）如图，路灯OP的高度为9.6m，身高1.6m的女孩站在水平地面上的A处，她的脚部A与路灯底部O的距离为2m，则她在路灯下地面上的影长为（　　） A．0.3m B．0.35m C．0.45m D．0.4m 第三档 · 挑战 —— 选做（约12分钟） 题 14｜解答 · 中心投影·镜面反射测高｜建议用时 2.5分钟 （2025九上·广东期末）如图，河对岸有一根与水平地面垂直的灯杆AB．小华在水平地面上的点F处放置一面水平镜子（点B，D，F在同一直线上），然后向远离灯杆的方向退到点D处，恰好在镜子中看到灯杆顶端A．测得BD = 9m，DF = 3m，小华的眼睛C离地面的高度CD = 1.6m，求灯杆AB的高度． 题 15｜解答 · 平行投影测高度（广告牌遮挡）｜建议用时 2.5分钟 （2024·广西桂林一模）某学校旁有一根电线杆AB和一块长方形广告牌．有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图）．已知BC = 5m，长方形广告牌的长HF = 4m，高HC = 3m，DE = 4m，求电线杆AB的高度． 题 16｜解答 · 中心投影·双路灯影长｜建议用时 2分钟 （2025-2026学年华东师大版九上期末）水平地面上P，Q两点处各有一盏高度相同的路灯，A，C两点相距12m．身高1.8m的小亮站在两盏路灯之间，此时他在地面上的两个影子方向相反，长度分别为3m和1.5m，求路灯的高度． 题 17｜解答 · 中心投影·影端定位问题｜建议用时 2.5分钟 （2025-2026学年北师大版九上期末达标测试卷）如图，晚上小王从路灯AO的底部O处出发，沿水平地面以均匀的步伐向远离路灯的方向行走．他走了20步到达点M处，此时他影子的顶端恰好落在点P处；继续向前走了4步到达点P处，此时他影子的顶端恰好落在点Q处．已知小王的身高为1.5m．（1）求路灯AO的高度；（2）求PQ的长（用步数表示）． 题 18｜解答 · 中心投影·双人影长综合｜建议用时 2.5分钟 （人教版九上期末考试卷）晚上，小丽与小美站在路灯下水平地面上的不同位置（点B，D，M，F，N在同一直线上）．已知小丽、小美的身高CD = EF = 1.5m，小丽的影长DM = 1m，小美的影长FN = 1.5m，小丽影子的顶端M小美之间的距离FM = 1.5m，求路灯AB的高度． 附录 · 课后自查表 课后自查表（对照各题后的答案与解析填写） 题号 档次 考查知识点 错因记录（概念不清／计算失误／方法不当／未完成） 题 1 基础 中心投影的概念 题 2 基础 中心投影的影长规律 题 3 基础 平行投影测高度 题 4 基础 平行投影的规律 题 5 基础 平行投影的辨识 题 6 基础 平行投影的性质 题 7 基础 中心投影的辨识 题 8 基础 中心投影的辨识 题 9 提升 中心投影的影长变化 题 10 提升 平行投影测高度（影子部分在墙上） 题 11 提升 中心投影与相似三角形 题 12 提升 中心投影的判断与计算 题 13 提升 中心投影的影长计算 题 14 挑战 中心投影·镜面反射测高 题 15 挑战 平行投影测高度（广告牌遮挡） 题 16 挑战 中心投影·双路灯影长 题 17 挑战 中心投影·影端定位问题 题 18 挑战 中心投影·双人影长综合 北师大版（2026新教材）九上数学 · 第4章 4.1 投影（第1课时）课后分层作业　—　第 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版（2026新教材）九年级上册 · 第四章 投影与视图 4.1 投影（第1课时）：平行投影与中心投影 课后分层作业｜巩固基础 · 分层提升 · 弹性选做 使用说明 1. 本作业分三档：第一档·基础（全员必做）、第二档·提升（全员必做）、第三档·挑战（选做），建议总用时不超过40分钟． 2. 【答案】【解析】【详解】紧随每题之后；请先独立完成，再对照批改；错题请在附录自查表中记录错因并重做． 3. 本作业所有题目均取自公开网络考试真题，每题题后注明出处与考试时间；答案均经独立复算． ⏱ 建议用时 总计≤40分钟 📚 题量构成 共18题：选8·填4·解6 🎯 分层分布 基础8·提升5·挑战5 ▍本课时要点速览 概念 要点 平行投影 由平行光线（如太阳光）形成的投影；同一时刻，互相平行的线段，其投影长度与原线段长度的比相等． 中心投影 由同一点发出的光线（点光源，如路灯、台灯）形成的投影；等高物体离点光源越近影子越短，越远影子越长． 投影的应用 点光源、物体顶端、影子顶端三点共线，与地面构成相似三角形，可用来计算影长、测量物体高度与距离． 第一档 · 基础 —— 全员必做（约14分钟） 题 1｜选择 · 中心投影的概念｜建议用时 1.5分钟 （2025九上·深圳期中）如图，黑暗房间里，一盏白炽灯从上方照射一个球，球在地面上形成一个圆形阴影．若把白炽灯向上远离球移动，则地面上的圆形阴影将（　　） A．越来越小 B．越来越大 C．保持不变 D．先变大后变小 【答案】A 【解析】白炽灯是点光源，球的影子属于中心投影；点光源离球越远，光线越接近平行，阴影越接近球本身的大小而逐渐变小． 【详解】∵ 白炽灯可看作点光源，影子由灯发出的光线形成， 当灯在球的正上方近处时，光线发散得厉害，阴影比球大； 当灯向上远离球时，光线越来越接近平行光线， 阴影逐渐接近球的大圆大小，即越来越小． 故选A． 题 2｜选择 · 中心投影的影长规律｜建议用时 1.5分钟 （2025九上·深圳坪山期末）晚上，丽丽和妈妈在路灯下散步，丽丽的影子比妈妈的影子长，那么离路灯较近的是（　　） A．妈妈 B．丽丽 C．两人离路灯一样远 D．无法确定 【答案】A 【解析】在同一路灯（点光源）下，物体越高、离光源越远，影子越长．妈妈比丽丽高，影子却更短，说明妈妈离路灯更近． 【详解】路灯可看作点光源，影长由身高与到路灯的距离共同决定： 身高越高，影子越长；离路灯越远，影子也越长． 妈妈的身高比丽丽高，若妈妈离路灯不比丽丽近，则妈妈的影子应比丽丽长， 与“丽丽的影子比妈妈的影子长”矛盾， ∴ 妈妈离路灯更近． 故选A． 题 3｜选择 · 平行投影测高度｜建议用时 2分钟 （2025九上·深圳盐田期末）某一时刻，小明测得学校旗杆的影长为2m，同时测得一根竖直放置的1m长标杆的影长为0.4m，则旗杆的高度是（　　） A．4m B．4.5m C．5m D．5.5m 【答案】C 【解析】同一时刻，太阳光是平行光线，物体高度与影长的比相等． 【详解】设旗杆的高度为h米． ∵ 同一时刻，太阳光线互相平行，物体高度与影长的比相等， ∴ = ， 解得 h = 2× = 5（米）． 故选C． 题 4｜选择 · 平行投影的规律｜建议用时 2.5分钟 （2025九上·石门期中）如图是小明在一天的不同时刻拍摄的一排树的五张照片，按照拍摄时间的先后顺序排列正确的是（　　） A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④② 【答案】B 【解析】一天中，上午太阳在东，树影朝西且由长变短；中午影子最短；下午太阳在西，树影朝东且由短变长． 【详解】早晨太阳在东方，影子朝西且较长；随着太阳升高，影子逐渐变短； 中午太阳最高，影子最短；午后太阳偏西，影子朝东并逐渐变长． 观察五张照片：②影子朝西且最长，拍摄时间最早； ④影子朝西且较短，时间稍晚；①影子最短，接近中午； ③影子朝东且较短，为下午早些时候；⑤影子朝东且最长，为傍晚． ∴ 按时间先后排列为②④①③⑤． 故选B． 题 5｜填空 · 平行投影的辨识｜建议用时 1.5分钟 （2024秋九上·济南莱芜区期末）日晷（guǐ）是我国古代发明的利用日影计时的仪器，晷针在太阳光照射下所形成的影子属于____平行____投影（填“平行”或“中心”）． 【答案】平行 【解析】太阳光可看作平行光线，由平行光线形成的投影是平行投影． 【详解】∵ 太阳光线是平行光线， 晷针的影子是由平行光线（太阳光）形成的， ∴ 晷针的影子属于平行投影． 故答案为：平行． 题 6｜选择 · 平行投影的性质｜建议用时 1.5分钟 （2025·柳州模拟）小明拿一块有一个三角形小孔的纸板，在阳光下将纸板与水平地面平行放置，则阳光穿过三角形小孔在地面上形成的光斑形状是（　　） A．三角形 B．圆形 C．矩形 D．无法确定 【答案】A 【解析】阳光是平行光线，纸板与地面平行时，小孔的投影与孔的形状相同． 【详解】∵ 太阳光线是平行光线，形成的投影是平行投影， 又 ∵ 纸板与水平地面平行， ∴ 与投影面平行的图形，其平行投影与原图形形状相同， 光斑形状与三角形小孔的形状相同，即为三角形． 故选A． 题 7｜填空 · 中心投影的辨识｜建议用时 1.5分钟 （2024九上·成都都江堰期末）宋代诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”手影戏是一种独特的艺术形式，它的表演全部靠手部动作投影的改变，幻化形成各种不同的形象．如图是手影戏表演时的示意图，“手影戏”中的手影属于__中心______投影（填“平行”或“中心”）． 【答案】中心 【解析】手影戏由灯光（烛焰、灯泡等点光源）发出的光照射手部，在幕布上形成影子，属于中心投影． 【详解】手影戏表演时所用的光源（灯、烛焰等）可看作点光源， 由点光源发出的光线照射手部，在幕布上形成影子， 由同一点发出的光线形成的投影是中心投影， ∴ “手影戏”中的手影属于中心投影． 故答案为：中心． 题 8｜填空 · 中心投影的辨识｜建议用时 2分钟 （2024九上·深圳龙岗期中）如图，是路灯下两根木杆AB与DE的影子示意图，其中BC是木杆AB的影子，EF是木杆DE的影子，则木杆AB与DE的影子属于____中心____投影（填“平行”或“中心”）． 【答案】中心 【解析】路灯是点光源，由点光源发出的光线形成的投影是中心投影；连接木杆顶端与其影子顶端的直线都经过路灯所在位置． 【详解】∵ 路灯可看作点光源， 木杆的影子是由路灯发出的光线形成的， 分别连接A与C、D与F，两直线相交于路灯所在位置， ∴ 木杆AB与DE的影子属于中心投影． 故答案为：中心． 第二档 · 提升 —— 全员必做（约14分钟） 题 9｜选择 · 中心投影的影长变化｜建议用时 3分钟 （2026·贵州毕节模拟）如图，直线AB是一条水平的马路，马路中点O处有一盏路灯．小红从马路上的A点沿马路匀速走到B点，在此过程中，她在路灯下的影长l随她所走路程s的变化而变化，则l与s的函数关系的大致图象是（　　） A．　　B．　　C．　　D．　　 【答案】C 【解析】人离路灯越远影子越长，在路灯正下方时影长为0；从A到O影长逐渐减小到0，从O到B影长逐渐增大． 【详解】小红在A点时，离路灯最远，影子最长； 从A走向路灯正下方O的过程中，影子逐渐变短，到达O点时影长为0； 经过O点继续走向B的过程中，影子又逐渐变长，到达B点时最长； ∴ 影长l随路程s先减小后增大，最小值为0， 其大致图象为先下降后上升的“V”形曲线． 故选C． 题 10｜选择 · 平行投影测高度（影子部分在墙上）｜建议用时 3分钟 （2024九上·聊城茌平区期中）如图，小颖想利用太阳光测量电线杆AB的高度．她发现某一时刻一根竖直放置的长为1m的竹竿在地面上的影长为0.5m，此时电线杆AB的影子一部分落在地面上，一部分落在墙上，测得落在地面上的影长BD为3m，落在墙上的影长CD为2m，则电线杆AB的高度是（　　） A．6m B．7m C．8m D．9m 【答案】C 【解析】同一时刻，物高与影长的比相等；墙上的影长相当于从该高度起影子被墙“截住”，地面影长按比例折算高度后再加上墙上影长． 【详解】∵ 同一时刻，物高与影长的比相等， ∴ 高度与影长的比为 = 2． 电线杆的影子落在墙上的部分CD = 2m，说明影子从离地面2m高处开始投射到墙上； 落在地面上的影长BD = 3m，对应的高度为 3×2 = 6（米）， ∴ AB = 6 + 2 = 8（米）． 故选C． 题 11｜填空 · 中心投影与相似三角形｜建议用时 3分钟 （2025九上·成都月考）如图，小明家的客厅有一张高0.75米的圆桌，直径BC为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是　（3.6，0）　　　． 【答案】（3.6，0） 【解析】灯A是点光源，桌面BC与地面（影子DE）平行，△ABC∽△ADE，由相似比求出DE，再由OE = OD + DE得点E坐标． 【详解】过点B作BF⊥x轴，垂足为F． 由题意得：BF = 0.75米，BC = 1米，点A到桌面的距离为 2 − 0.75 = 1.25（米）． ∵ BC ∥ DE，∴ △ABC ∽ △ADE， ∴ = ，即 = = ， 解得 DE = = 1.6（米）， ∴ OE = OD + DE = 2 + 1.6 = 3.6， ∴ 点E的坐标为（3.6，0）． 故答案为：（3.6，0）． 题 12｜解答 · 中心投影的判断与计算｜建议用时 2.5分钟 （2024秋·汕头金平区二模）晚上，一棵高2m的小树AB与水平地面垂直，在路灯O的照射下，它的影长BC为3m，已知小树底部B与路灯底部O的水平距离为4.5m（点O，B，C在同一直线上，点B在O，C之间）．（1）小树的影子属于___中心_____投影；（2）求路灯杆OP的高度． 【答案】（1）中心；（2）路灯杆OP的高度为5m 【解析】路灯是点光源，影子属于中心投影；小树与路灯都垂直于地面，树顶、灯顶与影子顶端三点共线，构成相似三角形． 【详解】（1）路灯可看作点光源，小树的影子由路灯发出的光线形成， ∴ 小树的影子属于中心投影． （2）∵ AB⊥地面，OP⊥地面，∴ AB ∥ OP． ∵ 光线经过树顶A与影子顶端C后到达灯顶P， ∴ △CAB ∽ △CPO， ∴ = ，其中 OC = OB + BC = 4.5 + 3 = 7.5（米）， 即 = ，解得 OP = = 5（米）． 答：路灯杆OP的高度为5m． 题 13｜选择 · 中心投影的影长计算｜建议用时 2.5分钟 （2024-2025学年江苏盐城东台九上期末）如图，路灯OP的高度为9.6m，身高1.6m的女孩站在水平地面上的A处，她的脚部A与路灯底部O的距离为2m，则她在路灯下地面上的影长为（　　） A．0.3m B．0.35m C．0.45m D．0.4m 【答案】D 【解析】女孩身体与路灯都垂直于地面，女孩、影子顶端与灯顶共线，利用相似三角形对应边成比例列方程． 【详解】设女孩的影长为x米，则影子顶端到路灯底部O的距离为（x + 2）米． ∵ 女孩身体 ∥ 路灯OP（都垂直于地面）， ∴ = ，即 = ， ∴ x + 2 = 6x，解得 x = = 0.4（米）． 故选D． 第三档 · 挑战 —— 选做（约12分钟） 题 14｜解答 · 中心投影·镜面反射测高｜建议用时 2.5分钟 （2025九上·广东期末）如图，河对岸有一根与水平地面垂直的灯杆AB．小华在水平地面上的点F处放置一面水平镜子（点B，D，F在同一直线上），然后向远离灯杆的方向退到点D处，恰好在镜子中看到灯杆顶端A．测得BD = 9m，DF = 3m，小华的眼睛C离地面的高度CD = 1.6m，求灯杆AB的高度． 【答案】灯杆AB的高度为6.4m 【解析】光的反射中入射角等于反射角，灯杆与小华的身体都垂直于地面，构成一对相似三角形． 【详解】由光的反射原理，∠AFB = ∠CFD． ∵ AB⊥BF，CD⊥BF，∴ ∠ABF = ∠CDF = 90°， ∴ △ABF ∽ △CDF， ∴ = ，其中 BF = BD + DF = 9 + 3 = 12（米）， 即 = = 4， ∴ AB = 1.6×4 = 6.4（米）． 答：灯杆AB的高度为6.4m． 题 15｜解答 · 平行投影测高度（广告牌遮挡）｜建议用时 2.5分钟 （2024·广西桂林一模）某学校旁有一根电线杆AB和一块长方形广告牌．有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图）．已知BC = 5m，长方形广告牌的长HF = 4m，高HC = 3m，DE = 4m，求电线杆AB的高度． 【答案】电线杆AB的高度为8.25m 【解析】太阳光是平行光线，经过点A、G的光线与经过广告牌顶F、影子端点E的光线互相平行，两条光线的“高度差与水平距离之比”相等． 【详解】∵ 太阳光线是平行光线，∴ 经过点A，G的光线 ∥ 经过点F，E的光线． 点G是广告牌上边HF的中点，∴ 点G到电线杆的水平距离为 BC + HF = 5 + 2 = 7（米），点G离地面3米． 光线经过广告牌顶F（高3米）落在地面上E点：水平距离DE = 4米，高度差为3米； 设电线杆AB的高度为h米，则光线AG的高度差为（h − 3）米，水平距离为7米， ∴ = ，解得 h − 3 = = 5.25， ∴ h = 5.25 + 3 = 8.25（米）． 答：电线杆AB的高度为8.25m． 题 16｜解答 · 中心投影·双路灯影长｜建议用时 2分钟 （2025-2026学年华东师大版九上期末）水平地面上P，Q两点处各有一盏高度相同的路灯，A，C两点相距12m．身高1.8m的小亮站在两盏路灯之间，此时他在地面上的两个影子方向相反，长度分别为3m和1.5m，求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为6.6m 【解析】小亮与每盏路灯分别构成一对相似三角形；设路灯高为h，用影长表示小亮到两盏路灯的距离，再由两距离之和为12m列方程． 【详解】设路灯的高度为h米，小亮到影长为3m一侧路灯的距离为x米，到另一侧路灯的距离为y米， 则 x + y = 12． ∵ 人的身体与路灯都垂直于地面，∴ 人的身体 ∥ 路灯， 对影长为3m的一侧： = ，整理得 x = ； 对影长为1.5m的一侧：同理得 y = ， ∴ = 12，即 4.5(h − 1.8) = 21.6， 解得 h − 1.8 = 4.8，h = 6.6（米）． 答：路灯的高度为6.6m． 题 17｜解答 · 中心投影·影端定位问题｜建议用时 2.5分钟 （2025-2026学年北师大版九上期末达标测试卷）如图，晚上小王从路灯AO的底部O处出发，沿水平地面以均匀的步伐向远离路灯的方向行走．他走了20步到达点M处，此时他影子的顶端恰好落在点P处；继续向前走了4步到达点P处，此时他影子的顶端恰好落在点Q处．已知小王的身高为1.5m．（1）求路灯AO的高度；（2）求PQ的长（用步数表示）． 【答案】（1）路灯AO的高度为9m；（2）PQ的长为步 【解析】设步长为a，两次位置处人体均与路灯平行，分别与路灯构成相似三角形，先由第一位置求灯高，再由第二位置求PQ． 【详解】设小王的步长为a米，则 OM = 20a米，MP = 4a米，OP = OM + MP = 24a米． （1）小王在M处时，设他的头顶为点C，影子顶端为P： ∵ 人的身体 ∥ 路灯AO，∴ = = = ， ∴ AO = 1.5×6 = 9（米）． （2）小王在P处时，设影长 PQ = s米，此时人到路灯底部的距离为 24a米： 同理 = ，即 = ， ∴ 24a + s = 6s，s = ， 即 PQ 的长为 步． 答：（1）路灯AO的高度为9m；（2）PQ的长为步． 题 18｜解答 · 中心投影·双人影长综合｜建议用时 2.5分钟 （人教版九上期末考试卷）晚上，小丽与小美站在路灯下水平地面上的不同位置（点B，D，M，F，N在同一直线上）．已知小丽、小美的身高CD = EF = 1.5m，小丽的影长DM = 1m，小美的影长FN = 1.5m，小丽影子的顶端M小美之间的距离FM = 1.5m，求路灯AB的高度． 【答案】路灯AB的高度为9m 【解析】两人均与路灯平行，分别与路灯构成相似三角形；设BD = x，用x表示AB得到两个式子，联立解方程． 【详解】设 BD = x米，则 BM = BD + DM = (x + 1)米， BN = BM + MF + FN = x + 1 + 1.5 + 1.5 = (x + 4)米． ∵ CD ∥ AB，∴ △CDM ∽ △ABM， ∴ = ，即 = ，∴ AB = 1.5(x + 1)； ∵ EF ∥ AB，∴ △EFN ∽ △ABN， ∴ = ，即 = ，∴ AB = x + 4． ∴ 1.5(x + 1) = x + 4，解得 x = 5， ∴ AB = 5 + 4 = 9（米）． 答：路灯AB的高度为9m． 附录 · 课后自查表 课后自查表（对照各题后的答案与解析填写） 题号 档次 考查知识点 错因记录（概念不清／计算失误／方法不当／未完成） 题 1 基础 中心投影的概念 题 2 基础 中心投影的影长规律 题 3 基础 平行投影测高度 题 4 基础 平行投影的规律 题 5 基础 平行投影的辨识 题 6 基础 平行投影的性质 题 7 基础 中心投影的辨识 题 8 基础 中心投影的辨识 题 9 提升 中心投影的影长变化 题 10 提升 平行投影测高度（影子部分在墙上） 题 11 提升 中心投影与相似三角形 题 12 提升 中心投影的判断与计算 题 13 提升 中心投影的影长计算 题 14 挑战 中心投影·镜面反射测高 题 15 挑战 平行投影测高度（广告牌遮挡） 题 16 挑战 中心投影·双路灯影长 题 17 挑战 中心投影·影端定位问题 题 18 挑战 中心投影·双人影长综合 北师大版（2026新教材）九上数学 · 第4章 4.1 投影（第1课时）课后分层作业　—　第 页 学科网（北京）股份有限公司 $