4.1 投影 分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习按基础过关、进阶思维、中考链接分层设计，覆盖投影定义、中心投影、平行投影等知识点，从概念理解到综合应用，培养抽象能力、几何直观与推理能力，适配新授课巩固与中考备考。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|投影定义、中心投影、平行投影等单一知识点|选择填空为主，结合课本基础与期末复习题，巩固概念理解| |进阶思维题|投影综合应用（影子变化、位似求影长）|生活情境（路灯、圭表）与数学实验，提升几何直观与推理能力| |中考链接题|中考高频考点（求高度、投影类型判断）|选用中考真题，强化应试能力，衔接阶段测评|

北师大版九年级上册 第4章 投影与视图 4.1 投影 本节知识点总结 1. 投影的定义: 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。照射光线叫做投影线。 2. 中心投影: 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 (1)确定光源位置：过物体顶端及其影子顶端画直线，两条直线的交点就是光源位置。 (2)特点：影子长短与物体到光源的距离有关，离光源越近影子越短，离光源越远影子越长。 3. 平行投影: 太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。 (1)正投影：平行光线与投影面垂直时形成的投影。 (2)特点：同一时刻，不同物体的影子长度与高度成比例（物高与影长的比值为定值）。 (3)不同时刻，同一物体影子长度不同（上午影子由长变短，下午由短变长）。 4. 中心投影与平行投影的区别: 中心投影的光线从一点发出，影子方向可能不同，物高与影长不成固定比例；平行投影的光线平行，同一时刻影子方向相同，物高与影长成固定比例。 5. 投影的应用: 确定光源位置、画物体影子、利用相似三角形求物体高度。 分层作业 📅 一、基础过关题 【题型1】投影的定义与识别 考查要点：理解投影现象的概念，能判断生活中的投影现象。解题方法：投影必须满足光线照射和留下影子两个条件。 1. 下列现象不属于投影的是（ ）（2025-2026北师大版期末复习） A. 皮影 B. 素描画 C. 手影 D. 树影 【答案】B 【分析】本题考查投影的定义，投影是物体在光线照射下在平面上留下的影子。 【详解】投影现象必须有光线照射和影子形成两个要素。皮影、手影、树影都是在光线照射下形成的影子，属于投影现象；素描画是人工绘制的图画，不是光线照射形成的影子，不属于投影现象。 故选B。 2. 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是__投影____现象。影子所在的平面称为___投影面___。（课本基础知识） 【答案】投影；投影面 【分析】本题考查投影和投影面的基本概念。 【详解】根据投影的定义，物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。 3. 下列关于投影的说法正确的是（ ）（2025秋期中复习） A. 投影的形成只需要物体和光线 B. 影子所在的平面称为投影面 C. 投影线就是投影面 D. 只要有光线就能形成投影 【答案】B 【分析】本题考查投影的基本概念，需要区分投影线和投影面。 【详解】投影的形成需要物体、光线和投影面三个要素，A错误；影子所在的平面称为投影面，B正确；照射光线叫做投影线，不是投影面，C错误；只有光线没有物体和投影面不能形成投影，D错误。 故选B。 【题型2】中心投影的判断与应用 考查要点：判断中心投影，理解中心投影的特点，能确定光源位置。解题方法：中心投影的光源是点光源（灯光），过物体顶端和影子顶端连线，交点即光源。 4. 下列光源所形成的投影不是中心投影的是（ ）（2026年中考一轮复习） A. 手电筒 B. 蜡烛 C. 太阳 D. 台灯 【答案】C 【分析】本题考查中心投影的定义，中心投影的光源是点光源。 【详解】中心投影的光源为灯光（点光源），平行投影的光源为阳光（平行光线）。在各选项中只有太阳形成的投影是平行投影，不是中心投影。 故选C。 5. 夜晚，当你走近一盏路灯时，你发现自己的影子（ ）（2025-2026学年单元练习） A. 不变 B. 由短变长 C. 由长变短 D. 无法判断 【答案】C 【分析】本题考查中心投影的特点，距离点光源越近影子越短。 【详解】根据中心投影的特点，距离点光源越近，影子越短。夜晚当人走近一盏路灯时，人与光源的距离变小，影子会由长变短。故选C。 6. 晚上小明在路灯下散步，在小明由A处沿直线走到路灯正下方再走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）（2025秋东阳市期末） A. 逐渐变短 B. 逐渐变长 C. 先变短后变长 D. 先变长后变短 【答案】C 【分析】本题考查中心投影下影子长短的变化规律。 【详解】在小明由A处沿直线走到路灯正下方时，他离路灯越来越近，影子逐渐变短；当他从路灯正下方走到B处时，他离路灯越来越远，影子逐渐变长。所以整个过程中影子先变短后变长。 故选C。 【题型3】平行投影的判断与特点 考查要点：判断平行投影，理解平行投影的特点。解题方法：平行投影的光源是太阳光（平行光线），同一时刻影子方向相同。 7. 下列各种现象中，属于平行投影的是（ ）（2025-2026学年北师大版期末复习） A. 皮影戏中的影子 B. 阳光下旗杆的影子 C. 台灯下的笔筒的影子 D. 汽车灯光照射下行人的影子 【答案】B 【分析】本题考查平行投影的判断，平行投影的光源是太阳光。 【详解】平行投影的光源为太阳光（平行光线），中心投影的光源为灯光（点光源）。皮影戏中的影子、台灯下的笔筒的影子、汽车灯光照射下行人的影子都是灯光形成的中心投影；阳光下旗杆的影子是太阳光形成的平行投影。 故选B。 8. 阳光照射小树在地面上形成的投影属于___平行___投影（填"平行"或"中心"）。（2025秋福田区期末） 【答案】平行 【分析】本题考查平行投影的定义，太阳光可以看成平行光线。 【详解】太阳光的光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。阳光照射小树在地面上形成的投影属于平行投影。 9.一天下午小红先参加了校运动会女子200m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，摄影师在同一位置拍摄了两张照片。关于两张照片中影子的说法正确的是（ ）（2025秋南海区期末） A. 先拍的照片影子较长 B. 先拍的照片影子较短 C. 两张照片影子一样长 D. 无法判断 【答案】B 【分析】本题考查平行投影下影子长度随时间的变化规律。 【详解】下午，太阳逐渐西斜，物体的影子会越来越长。先参加200m比赛时时间较早，影子较短；后参加400m比赛时时间较晚，影子较长。所以先拍的照片影子较短。 故选B。 【题型4】正投影的概念 考查要点：理解正投影的定义，能判断正投影。解题方法：正投影是平行光线与投影面垂直时形成的投影。 10. 当平行光线与投影面___垂直___时，这种投影称为正投影。（课本基础知识） 【答案】垂直 【分析】本题考查正投影的定义。 【详解】平行光线所形成的投影称为平行投影，其中平行光线与投影面垂直的投影称为正投影。 11. 水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示（从上向下垂直照射），它的正投影图是（ ）（2025酒泉校级三模） 【答案】D 【分析】本题考查正投影的特点，当物体与投影面平行时，正投影与物体形状大小相同。 【详解】因为水杯的杯口与投影面平行，且光线垂直照下（正投影），杯口的正投影应该与杯口形状相同，即圆形。 故选D。 12. 下列投影中，属于正投影的是（ ）（2025-2026学年专题练习） A. 灯光下的手影 B. 太阳光下的树影 C. 正午时旗杆在地面上的影子 D. 皮影戏中的影子 【答案】C 【分析】本题考查正投影的判断，正投影需要两个条件：平行光线+垂直投影面。 【详解】正投影是平行光线且与投影面垂直的投影。灯光下的手影和皮影戏中的影子是中心投影，A、D错误；太阳光下的树影是平行投影，但不一定是正投影（除非太阳光线垂直地面），B错误；正午时太阳在正上方，光线垂直地面，旗杆在地面上的影子是正投影，C正确。 故选C。 【题型5】中心投影与平行投影的区别 考查要点：区分中心投影和平行投影。解题方法：看光源--灯光是中心投影，太阳光是平行投影；看光线--点光源是中心投影，平行光线是平行投影。 13. 下列关于中心投影和平行投影的说法正确的是（ ）（2025-2026学年期末复习） A. 中心投影的光线是平行的 B. 平行投影的光线是从一点发出的 C. 同一时刻，平行投影下不同物体的物高与影长成比例 D. 中心投影下，物高与影长一定成比例 【答案】C 【分析】本题考查中心投影和平行投影的区别。 【详解】中心投影的光线是从一点发出的，A错误；平行投影的光线是平行的，B错误；同一时刻，平行投影下不同物体的物高与影长成比例，C正确；中心投影下，物高与影长不成固定比例，与物体到光源的距离有关，D错误。 故选C。 14. 在"霍童线狮"表演中，艺人操控"线狮"在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在"线狮"上，形成的影子属于___中心投影___。（填写"中心投影"或"平行投影"）（2025秋张家川县期末） 【答案】中心投影 【分析】本题考查中心投影的判断，舞台灯光是点光源。 【详解】舞台上方的灯光是从点光源发出的光线，光线呈放射状照射到"线狮"上，形成的影子属于中心投影。 15. 下列各种现象：①孙敬"悬梁"在灯下读书的影子；②朱买臣"负薪"在日光下读书的影子；③车胤"囊萤"借萤火之光读书的影子；④匡衡"凿壁偷光"借灯光读书的影子。其中属于平行投影的是__②____（填序号）。（2025秋金凤区校级期末） 【答案】② 【分析】本题考查平行投影的判断，只有太阳光形成的投影才是平行投影。 【详解】①灯是点光源，形成中心投影；②太阳光近似平行光线，形成平行投影；③萤火虫为点光源，形成中心投影；④灯光为点光源，形成中心投影。故属于平行投影的是②。 【题型6】利用平行投影求物体高度（相似三角形） 考查要点：利用平行投影下物高与影长成比例的性质求物体高度。解题方法：同一时刻，物高与影长的比值为定值，列比例式求解。 16. 在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，已知竹竿高2m，影长1.2m，旗杆影长7.2m，则旗杆的高度为______m。（2024秋清水县期末） 【答案】12 【分析】本题考查平行投影的性质，同一时刻物高与影长成比例。 【详解】设旗杆的高度为x m，根据同一时刻物高与影长成正比，得： = ，解得x = 12，即旗杆的高度为12m。 17. 已知AB和DE是直立在地面上的两根立柱。AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m。在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长。（2024秋张店区期末） 【答案】DE = 14 m 【分析】本题考查平行投影的性质，利用相似三角形对应边成比例求解。 【详解】因为AB和DE都垂直于地面，且太阳光线平行，所以三角形ABC相似于三角形DEF。所以 = ，即 = ，解得DE = 14 (m)。答：DE的长为14m。 18. 某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为1.5m。在某一时刻，如果测得甲、乙立柱的影子长分别为1.24m和1m，那么甲立柱的高度是多少？（课本例题改编） 【答案】甲立柱的高度为1.86m 【分析】本题考查平行投影的性质，同一时刻物高与影长成比例。 【详解】设甲立柱的高度为AD，乙立柱的高度为BE = 1.5m，甲立柱影长AD' = 1.24m，乙立柱影长BE' = 1m。因为同一时刻太阳光下，物高与影长成比例，所以 = AD'/BE'，即 = ，解得AD = 1.5 × 1.24 = 1.86 (m)。答：甲立柱的高度为1.86m。 【题型7】投影的综合应用 考查要点：综合运用中心投影和平行投影的知识解决实际问题。解题方法：根据投影类型选择对应的方法，中心投影用相似三角形（位似），平行投影用物高与影长比例。 19. 广场上有一路灯，路灯下一墙墩AB的影子是BC，小明身高DE的影子是EF。请确定路灯灯泡P的位置。（2025秋贵阳校级月考） 【答案】连接CA并延长，连接FD并延长，两条延长线的交点P即为路灯灯泡的位置。 【分析】本题考查中心投影中确定光源位置的方法。 【详解】中心投影的特点是：物体上的点与影子上的对应点及光源在一条直线上。(1)连接墙墩顶端A和影子顶端C，得到一条直线；(2)连接小明头顶D和影子顶端F，得到另一条直线；(3)两条直线延长后的交点P，就是路灯灯泡所在的位置。 20. 在平面直角坐标系中，点光源位于P（5，5）处，木杆AB平行于x轴，木杆两端的坐标分别为A（0，2），B（6，2）。求木杆AB在x轴上的投影CD的长。（2025秋周村区期末） 【答案】投影CD的长为10 【分析】本题考查中心投影在坐标系中的应用，利用相似三角形求解。 【详解】过P作PE垂直x轴于E，交AB于M。因为P（5，5），A（0，2），B（6，2），所以PM = 5 - 2 = 3，PE = 5，AB = 6。又因为AB平行于CD（都平行于x轴），所以三角形PAB相似于三角形PCD，所以 = ，即 = ，解得CD = 10。答：投影CD的长为10。 21. 三根竖立的竹竿在同一光源O下的影子如图所示，其中竹竿AB的影子为AG，竹竿CD的影子为CH。已知AB垂直GF，CD垂直GF，点G、A、C、H、E、F在同一条直线上。确定光源O的位置，并画出影子为EF的竹竿EK。（2025秋莲湖区月考） 【答案】连接GB、HD并延长，交点即为光源O的位置；连接OF，过E作EF的垂线交OF于点K，EK即为所求竹竿。 【分析】本题考查中心投影中确定光源位置和画物体影子的方法。 【详解】(1)确定光源位置：连接竹竿AB的顶端B和影子顶端G，得到直线BG；连接竹竿CD的顶端D和影子顶端H，得到直线DH；两条直线延长的交点O，就是光源的位置。(2)画竹竿EK：连接光源O和影子顶端F，得到直线OF；过E作EF的垂线（即竖直方向），交OF于点K；线段EK就是影子为EF的竹竿。 二、进阶思维题 （一）选择题 22. 数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子。从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（ ）（2025秋龙华区期末） A. 一直变短 B. 短-长-短 C. 一直变长 D. 长-短-长 【答案】D 【分析】本题考查平行投影下影子长度随时间的变化规律。 【详解】从早晨到傍晚，太阳高度角先由小变大（中午最大），再由大变小。早晨太阳低，影子长；中午太阳高，影子短；傍晚太阳低，影子长。所以影子长度的变化情况是：长-短-长。 故选D。 23. 在路灯两侧，有3根高度相同的杆子，它们的位置分别为A、B、C，其中A离路灯最远，B离路灯最近，C在中间。夜晚，在这盏路灯灯光的照射下，3根杆子的影子长度（ ）（2025秋肇源县期末） A. A影长最长 B. B影长最长 C. C影长最长 D. 一样长 【答案】A 【分析】本题考查中心投影的特点，物体离光源越远，影子越长。 【详解】中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，离点光源近的物体影子短，离点光源远的物体影子长。因为A杆离路灯最远，所以A杆的影子最长。 故选A。 24. 孟母教子是中国传统文化的重要组成部分，孟母像位于太谷区孟母园内。在晴天的日子里，从早到晚在太阳光下孟母像的影子长度的变化情况是（ ）（2025秋贵阳校级月考） A. 逐渐变长 B. 逐渐变短 C. 先逐渐变长，后逐渐变短 D. 先逐渐变短，后逐渐变长 【答案】D 【分析】本题考查平行投影下影子长度随时间的变化规律。 【详解】从早晨到傍晚，太阳高度角先由小变大（中午最大），再由大变小。早晨太阳低，影子长；然后太阳逐渐升高，影子逐渐变短；到中午时影子最短；下午太阳逐渐西斜，影子又逐渐变长；傍晚太阳低，影子又变长。所以影子长度变化是：先逐渐变短，后逐渐变长。故选D。 25. 圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由"圭"和"表"两个部件组成。当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间。则表在圭面上形成的投影是（ ）（2025高州市模拟） A. 中心投影 B. 平行投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 不能确定 【答案】B 【分析】本题考查平行投影的判断，太阳光形成的投影是平行投影。 【详解】圭表是利用太阳光照射表，在圭面上形成影子来测量时间的。太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。所以表在圭面上形成的投影是平行投影。故选B。 26. 幼儿园的丽丽小朋友和妈妈晚上散步（丽丽身高小于妈妈），在同一路灯下，丽丽的影子比妈妈的影子长，这时妈妈和丽丽谁离路灯更近一点（ ）（2025-2026学年单元练习） A. 妈妈 B. 丽丽 C. 一样近 D. 无法判断 【答案】A 【分析】本题考查中心投影的特点，离点光源近的物体影子短。 【详解】中心投影的特点：离点光源近的物体影子短，离点光源远的物体影子长。已知丽丽身高小于妈妈，但丽丽的影子比妈妈的影子长，说明丽丽离路灯更远，妈妈离路灯更近。因为如果两人离路灯同样远，妈妈更高，影子应该更长；现在丽丽的影子反而更长，说明丽丽离路灯更远。 故选A。 27. 在一天中的四个不同时刻，小红观察了一个物体在阳光照射下投射在地面上的影子。已知北半球从早晨到傍晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长。按照时间先后顺序排列，正确的是（ ）（2025-2026学年期中复习） A. ①②③④ B. ④①③② C. ④③①② D. ②①③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行投影下影子方向和长度随时间的变化规律。 【详解】北半球从早晨到傍晚，物体影子的指向变化为：早晨影子朝西（最长），上午影子朝西北（渐短），中午影子朝北（最短），下午影子朝东北（渐长），傍晚影子朝东（最长）。根据影子的方向和长度判断：④影子朝西且最长（早晨），③影子朝西北且较短（上午），①影子朝东北且较长（下午），②影子朝东且最长（傍晚）。所以先后顺序为：④③①②。 故选C。 （二）填空题 28. 小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，若树高AB=3m，树影BC=4m，树与路灯的水平距离BP=8m，则路灯的高度OP为__9____m。（2025秋莱芜区期中） 【答案】9 【分析】本题考查中心投影下利用相似三角形求高度。 【详解】因为OP垂直PC，AB垂直PC，所以AB平行于OP，所以三角形ABC相似于三角形OPC，所以 = 。因为PC = BP + BC = 8 + 4 = 12 (m)，所以 = ，解得OP = 9 (m)。即路灯的高度OP为9m。 29. 小明家的客厅有一张直径为1.4m，高0.8m的圆桌BC，在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE。以1m为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是___（4.1，0）___。（2025秋郫都区校级期中） 【答案】（4.1，0） 【分析】本题考查中心投影下的相似三角形应用，求影子端点坐标。 【详解】因为圆桌BC高0.8m，灯A距地面2.4m，所以圆桌到灯的垂直距离为2.4 - 0.8 = 1.6 (m)。因为BC平行于DE（都在水平面上），所以三角形ABC相似于三角形ADE，所以 = = ，即 = ，解得DE = 2.1 (m)。因为D的坐标为（2，0），影子DE在x轴上，所以E点的横坐标为2 + 2.1 = 4.1，纵坐标为0，即E（4.1，0）。 30. EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD可近似看成一个矩形，且满足3FD=2FA，盲区EB的长度是6米，车宽FA的长度为______米。（2025秋青羊区校级期末） 【答案】 【分析】本题考查中心投影下相似三角形的应用（盲区问题）。 【详解】过点P作PM垂直BE于点M，交FA于点N。因为FA平行于BE，所以三角形PAF相似于三角形PBE，所以 = 。设FD = 2k，则AF = 3k（由3FD=2FA得FD:FA=2:3）。PN = PM - MN = 1.6 - 2k（MN = FD = 2k），PM = 1.6。代入得：3 = (1.6 - 2k)/1.6，即0.5k = 1 - 1.25k，1.75k = 1，k = 。所以AF = 3k = (米)。 31. 圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影。桌面的直径1.2米，桌面距离地面1米。假设灯泡距离地面3米，那么地面上阴影部分的面积为___0.81π___平方米。（结果保留π）（2025-2026学年期中复习） 【答案】0.81π 【分析】本题考查中心投影下相似图形的面积比。 【详解】灯泡距地面3m，桌面距地面1m，灯泡到桌面的距离为3 - 1 = 2 (m)。由中心投影的相似性：桌面直径/阴影直径 = 灯泡到桌面距离/灯泡到地面距离，即1.2/阴影直径 = ，解得阴影直径 = 1.8 (m)，阴影半径 = 0.9 (m)。阴影面积 = π × 0.9² = 0.81π (平方米)。 32. 一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为2:5。若三角尺的一边长为4cm，则其投影三角形的对应边的长为___10___cm。（2025-2026学年期末复习） 【答案】10 【分析】本题考查中心投影下的位似图形性质。 【详解】中心投影形成的投影与原图形是位似图形，对应边的比等于相似比。已知相似比为2:5，即三角尺:投影 = 2:5。设投影三角形对应边长为x cm，则 = ，解得x = 10 (cm)。 （三）解答题 33. 广场上有一路灯，路灯下一墙墩AB的影子是BC，小明身高DE的影子是EF，在M处有一棵大树，它的影子是MN。 (1)在图中确定路灯灯泡P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在图中画出表示大树高度的线段MG（不写作法，保留作图痕迹）。（2025秋贵阳校级月考） 【答案】(1)连接CA并延长，连接FD并延长，两线交点P即为路灯灯泡位置；(2)连接PN，过M作MN的垂线交PN于G，线段MG即为大树的高度。 【分析】本题考查中心投影中确定光源位置和画物体影子的方法。 【详解】(1)确定路灯位置：中心投影中，物体顶端、影子顶端和光源在同一直线上。连接墙墩顶端A和影子顶端C，得到直线AC；连接小明头顶D和影子顶端F，得到直线DF；两条直线延长后的交点P，就是路灯灯泡的位置。(2)画大树高度：连接光源P和大树影子顶端N，得到直线PN；过M作MN的垂线（竖直方向），交PN于点G；线段MG就是表示大树高度的线段。 34. 已知AB和DE是直立在地面上的两根立柱。AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m。 (1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； (2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长。（2024秋张店区期末） 【答案】(1)连接AC，过D作DF平行AC交直线BC于F，线段EF即为DE的投影；(2)DE = 14 m 【分析】本题考查平行投影的画法和利用相似三角形求高度。 【详解】(1)画DE的投影：连接甲立柱顶端A和影子顶端C，得到太阳光线AC；过乙立柱顶端D作DF平行AC，交地面直线于点F；线段EF就是乙立柱DE在阳光下的投影。(2)计算DE的长：因为AC平行于DF，所以角ACB = 角DFE。又因为角ABC = 角DEF = 90度，所以三角形ABC相似于三角形DEF，所以 = ，即 = ，解得DE = 14 (m)。答：DE的长为14m。 35. 在平面直角坐标系中，点光源位于P（5，5）处，木杆AB平行于x轴，木杆两端的坐标分别为A（0，2），B（6，2）。 (1)画出木杆AB在x轴上的投影CD； (2)求出其投影CD的长。（2025秋周村区期末） 【答案】(1)连接PA并延长交x轴于C，连接PB并延长交x轴于D，线段CD即为投影；(2)CD的长为10 【分析】本题考查中心投影在坐标系中的应用，利用相似三角形求解。 【详解】(1)画投影：连接点光源P和木杆左端A，延长交x轴于点C；连接点光源P和木杆右端B，延长交x轴于点D；线段CD就是木杆AB在x轴上的投影。(2)求CD的长：过P作PE垂直x轴于E，交AB于M。因为P（5，5），A（0，2），B（6，2），所以PM = 5 - 2 = 3，PE = 5，AB = 6。又因为AB平行于CD（都平行于x轴），所以三角形PAB相似于三角形PCD，所以 = ，即 = ，解得CD = 10。答：投影CD的长为10。 四、中考链接题（2025、2026年真题） 36. （2025山东济南中考）路灯AB与地面垂直，身高1.6m的小明站在距离路灯底部B点9m的D处，测得小明在路灯下的影子DF=3m。求路灯AB的高度。 【答案】路灯AB的高度为6.4m 【分析】本题考查中心投影下利用相似三角形求路灯高度。 【详解】由题意，CD = 1.6m（小明身高），BD = 9m，DF = 3m。因为AB垂直BF，CD垂直BF，所以AB平行于CD，所以三角形CDF相似于三角形ABF，所以 = 。其中BF = BD + DF = 9 + 3 = 12 (m)。代入得： = ，解得AB = 1.6 × 4 = 6.4 (m)。答：路灯AB的高度为6.4m。 37. （2025江西中考）路灯A与路灯C都与地面垂直，且相距18米，路灯C的高度比路灯A的高度低1.6米。夜晚，身高为1.6米的小明从路灯A走向路灯C，当行走2秒后，他走到了B处（速度1.5米/秒），此时发现身后影子顶部正好触到路灯A的底部。求路灯A的高度。 【答案】路灯A的高度为11.2m 【分析】本题考查中心投影下双路灯问题的相似三角形应用。 【详解】当行走2秒时，小明走的距离为：1.5 × 2 = 3 (m)，即AB = 3m。此时小明在B处，身高BE = 1.6m。身后影子顶部触到路灯A的底部，说明光线从C经过小明头顶E到A。即C、E、A三点共线。设路灯C高度为h_C，路灯A高度为h_A = h_C + 1.6。过E作EF垂直AC于F，EF = 1.6m，AF = 3m，CF = 18 - 3 = 15m。由相似三角形：_C = ，即_C = ，解得h_C = 1.6 × 6 = 9.6 (m)。所以h_A = 9.6 + 1.6 = 11.2 (m)。答：路灯A的高度为11.2m。 38. （2025四川成都中考）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为_12_____米。 【答案】12 【分析】本题考查平行投影下物高与影长成正比的性质。 【详解】设旗杆的高度为x米。同一时刻，物高与影长成正比，即标杆高/标杆影长 = 旗杆高/旗杆影长。代入数据： = ，解得x = 2 × = 12 (米)。答：旗杆的高度为12米。 39. （2025·江西中考）阜新西山水塔公园的核心景观是始建于1937年的西山水塔，该塔是阜新市历史上的第一座水塔．在一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想法．他观察到水塔垂直于水平地面，阳光下水塔的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长是米，坡面上的影长是20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高米的小明在水平地面上的影长是米（参考数据） （1）求点C到水平地面的距离； （2）求小明测得的水塔的高度（结果精确到1米） 【答案】 10米 47米 【解析】 （1）过C作CH BD交BD延长线于H，利用30度角所对的直角三角形等于斜边一半求解即可； （2）过H作HE AC交AB于E，则四边形AEHC为平行四边形，在Rt 中， 米，则BH=55米，再根据平行投影求解即可. 【解答】 （1）解：如图，过C作 交BD延长线于H， 在Rt 中， 答：点C到水平地面的距离为10米； （2）解：如图，过H作 四边形AEHC为平行四边形， Rt 中， （米）， 身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， 解得 答：小明测得的水塔高度约为47米. 40. （2025四川模拟）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（       ） A.越来越大 B.影子不是直角三角形 C.影子越来越小 D.影子越来越大 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质． 利用位似图形的性质逐项进行判断即可． 【解答】 解：、根据位似图形的性质可得，，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意； 、根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意； 、 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意； 、根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意； 故选：． 41. （2025陕西中考）秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系。秦腔演员在灯光下表演的影子是__中心____投影。（填"平行"或"中心"） 【答案】中心 【分析】本题考查中心投影的判断，舞台灯光是点光源。 【详解】秦腔演员在舞台灯光下表演，灯光是从点光源发出的光线，光线呈放射状照射到演员身上，形成的影子属于中心投影。故答案为：中心。 42.（2025山西中考）夜晚，当你走近一盏路灯时，你发现自己的影子（ ） A. 不变 B. 由短变长 C. 由长变短 D. 无法判断 【答案】C 【分析】本题考查中心投影的特点，距离点光源越近影子越短。 【详解】根据中心投影的特点：距离点光源越近，影子越短。夜晚当人走近一盏路灯时，人与光源的距离变小，所以影子会由长变短。 故选C。 45. （2025山东中考）电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FM运动，当他运动2米到达点D处时，测得影长DN=0.6m，再前进2米到达点B处时，测得影长MB=1.6m（图中线段AB、CD、EF表示小明的身高，均为1.6m）。求路灯O的高度。 【答案】路灯O的高度为4.8m 【分析】本题考查中心投影下利用两次测量求路灯高度的问题。 【详解】设路灯O距地面高度为h米，路灯杆底部为P，设PB = x 米（路灯底部到B点的距离）。小明身高为1.6m。第一次在B处：MB = 1.6m，由相似三角形： = MB/(PB+MB) = 1.6/(x+1.6)，化简得： = 1/(x+1.6)，即h = x + 1.6 ... (1)。第二次在D处：DB = 2m，DN = 0.6m，D在B靠近F的一侧，PD = PB - DB = x - 2。由相似三角形： = DN/(PD+DN) = 0.6/(x-2+0.6) = 0.6/(x-1.4)，即 = 0.6/(x-1.4) ... (2)。将(1)代入(2)：1.6/(x+1.6) = 0.6/(x-1.4)，1.6(x-1.4) = 0.6(x+1.6)，1.6x - 2.24 = 0.6x + 0.96，x = 3.2。代入(1)：h = 3.2 + 1.6 = 4.8 (m)。答：路灯O的高度为4.8m。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第4章 投影与视图 4.1 投影 本节知识点总结 1. 投影的定义: 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。照射光线叫做投影线。 2. 中心投影: 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 (1)确定光源位置：过物体顶端及其影子顶端画直线，两条直线的交点就是光源位置。 (2)特点：影子长短与物体到光源的距离有关，离光源越近影子越短，离光源越远影子越长。 3. 平行投影: 太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。 (1)正投影：平行光线与投影面垂直时形成的投影。 (2)特点：同一时刻，不同物体的影子长度与高度成比例（物高与影长的比值为定值）。 (3)不同时刻，同一物体影子长度不同（上午影子由长变短，下午由短变长）。 4. 中心投影与平行投影的区别: 中心投影的光线从一点发出，影子方向可能不同，物高与影长不成固定比例；平行投影的光线平行，同一时刻影子方向相同，物高与影长成固定比例。 5. 投影的应用: 确定光源位置、画物体影子、利用相似三角形求物体高度。 分层作业 📅 一、基础过关题 【题型1】投影的定义与识别 考查要点：理解投影现象的概念，能判断生活中的投影现象。解题方法：投影必须满足光线照射和留下影子两个条件。 1. 下列现象不属于投影的是（ ）（2025-2026北师大版期末复习） A. 皮影 B. 素描画 C. 手影 D. 树影 2. 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是______现象。影子所在的平面称为______。（课本基础知识） 3. 下列关于投影的说法正确的是（ ）（2025秋期中复习） A. 投影的形成只需要物体和光线 B. 影子所在的平面称为投影面 C. 投影线就是投影面 D. 只要有光线就能形成投影 【题型2】中心投影的判断与应用 考查要点：判断中心投影，理解中心投影的特点，能确定光源位置。解题方法：中心投影的光源是点光源（灯光），过物体顶端和影子顶端连线，交点即光源。 4. 下列光源所形成的投影不是中心投影的是（ ）（2026年中考一轮复习） A. 手电筒 B. 蜡烛 C. 太阳 D. 台灯 5. 夜晚，当你走近一盏路灯时，你发现自己的影子（ ）（2025-2026学年单元练习） A. 不变 B. 由短变长 C. 由长变短 D. 无法判断 6. 晚上小明在路灯下散步，在小明由A处沿直线走到路灯正下方再走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）（2025秋东阳市期末） A. 逐渐变短 B. 逐渐变长 C. 先变短后变长 D. 先变长后变短 【题型3】平行投影的判断与特点 考查要点：判断平行投影，理解平行投影的特点。解题方法：平行投影的光源是太阳光（平行光线），同一时刻影子方向相同。 7. 下列各种现象中，属于平行投影的是（ ）（2025-2026学年北师大版期末复习） A. 皮影戏中的影子 B. 阳光下旗杆的影子 C. 台灯下的笔筒的影子 D. 汽车灯光照射下行人的影子 8. 阳光照射小树在地面上形成的投影属于______投影（填"平行"或"中心"）。（2025秋福田区期末） 9.一天下午小红先参加了校运动会女子200m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，摄影师在同一位置拍摄了两张照片。关于两张照片中影子的说法正确的是（ ）（2025秋南海区期末） A. 先拍的照片影子较长 B. 先拍的照片影子较短 C. 两张照片影子一样长 D. 无法判断 【题型4】正投影的概念 考查要点：理解正投影的定义，能判断正投影。解题方法：正投影是平行光线与投影面垂直时形成的投影。 10. 当平行光线与投影面______时，这种投影称为正投影。（课本基础知识） 11. 水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示（从上向下垂直照射），它的正投影图是（ ）（2025酒泉校级三模） 12. 下列投影中，属于正投影的是（ ）（2025-2026学年专题练习） A. 灯光下的手影 B. 太阳光下的树影 C. 正午时旗杆在地面上的影子 D. 皮影戏中的影子 【题型5】中心投影与平行投影的区别 考查要点：区分中心投影和平行投影。解题方法：看光源--灯光是中心投影，太阳光是平行投影；看光线--点光源是中心投影，平行光线是平行投影。 13. 下列关于中心投影和平行投影的说法正确的是（ ）（2025-2026学年期末复习） A. 中心投影的光线是平行的 B. 平行投影的光线是从一点发出的 C. 同一时刻，平行投影下不同物体的物高与影长成比例 D. 中心投影下，物高与影长一定成比例 14. 在"霍童线狮"表演中，艺人操控"线狮"在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在"线狮"上，形成的影子属于______。（填写"中心投影"或"平行投影"）（2025秋张家川县期末） 15. 下列各种现象：①孙敬"悬梁"在灯下读书的影子；②朱买臣"负薪"在日光下读书的影子；③车胤"囊萤"借萤火之光读书的影子；④匡衡"凿壁偷光"借灯光读书的影子。其中属于平行投影的是______（填序号）。（2025秋金凤区校级期末） 【题型6】利用平行投影求物体高度（相似三角形） 考查要点：利用平行投影下物高与影长成比例的性质求物体高度。解题方法：同一时刻，物高与影长的比值为定值，列比例式求解。 16. 在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，已知竹竿高2m，影长1.2m，旗杆影长7.2m，则旗杆的高度为______m。（2024秋清水县期末） 17. 已知AB和DE是直立在地面上的两根立柱。AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m。在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长。（2024秋张店区期末） 18. 某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为1.5m。在某一时刻，如果测得甲、乙立柱的影子长分别为1.24m和1m，那么甲立柱的高度是多少？（课本例题改编） 【题型7】投影的综合应用 考查要点：综合运用中心投影和平行投影的知识解决实际问题。解题方法：根据投影类型选择对应的方法，中心投影用相似三角形（位似），平行投影用物高与影长比例。 19. 广场上有一路灯，路灯下一墙墩AB的影子是BC，小明身高DE的影子是EF。请确定路灯灯泡P的位置。（2025秋贵阳校级月考） 20. 在平面直角坐标系中，点光源位于P（5，5）处，木杆AB平行于x轴，木杆两端的坐标分别为A（0，2），B（6，2）。求木杆AB在x轴上的投影CD的长。（2025秋周村区期末） 21. 三根竖立的竹竿在同一光源O下的影子如图所示，其中竹竿AB的影子为AG，竹竿CD的影子为CH。已知AB垂直GF，CD垂直GF，点G、A、C、H、E、F在同一条直线上。确定光源O的位置，并画出影子为EF的竹竿EK。（2025秋莲湖区月考） 二、进阶思维题 （一）选择题 22. 数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子。从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（ ）（2025秋龙华区期末） A. 一直变短 B. 短-长-短 C. 一直变长 D. 长-短-长 23. 在路灯两侧，有3根高度相同的杆子，它们的位置分别为A、B、C，其中A离路灯最远，B离路灯最近，C在中间。夜晚，在这盏路灯灯光的照射下，3根杆子的影子长度（ ）（2025秋肇源县期末） A. A影长最长 B. B影长最长 C. C影长最长 D. 一样长 24. 孟母教子是中国传统文化的重要组成部分，孟母像位于太谷区孟母园内。在晴天的日子里，从早到晚在太阳光下孟母像的影子长度的变化情况是（ ）（2025秋贵阳校级月考） A. 逐渐变长 B. 逐渐变短 C. 先逐渐变长，后逐渐变短 D. 先逐渐变短，后逐渐变长 25. 圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由"圭"和"表"两个部件组成。当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间。则表在圭面上形成的投影是（ ）（2025高州市模拟） A. 中心投影 B. 平行投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 不能确定 26. 幼儿园的丽丽小朋友和妈妈晚上散步（丽丽身高小于妈妈），在同一路灯下，丽丽的影子比妈妈的影子长，这时妈妈和丽丽谁离路灯更近一点（ ）（2025-2026学年单元练习） A. 妈妈 B. 丽丽 C. 一样近 D. 无法判断 27. 在一天中的四个不同时刻，小红观察了一个物体在阳光照射下投射在地面上的影子。已知北半球从早晨到傍晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长。按照时间先后顺序排列，正确的是（ ）（2025-2026学年期中复习） A. ①②③④ B. ④①③② C. ④③①② D. ②①③④ （二）填空题 28. 小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，若树高AB=3m，树影BC=4m，树与路灯的水平距离BP=8m，则路灯的高度OP为______m。（2025秋莱芜区期中） 29. 小明家的客厅有一张直径为1.4m，高0.8m的圆桌BC，在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE。以1m为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是______。（2025秋郫都区校级期中） 30. EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD可近似看成一个矩形，且满足3FD=2FA，盲区EB的长度是6米，车宽FA的长度为______米。（2025秋青羊区校级期末） 【答案】 31. 圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影。桌面的直径1.2米，桌面距离地面1米。假设灯泡距离地面3米，那么地面上阴影部分的面积为_____平方米。（结果保留π）（2025-2026学年期中复习） 32. 一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为2:5。若三角尺的一边长为4cm，则其投影三角形的对应边的长为______cm。（2025-2026学年期末复习） （三）解答题 33. 广场上有一路灯，路灯下一墙墩AB的影子是BC，小明身高DE的影子是EF，在M处有一棵大树，它的影子是MN。 (1)在图中确定路灯灯泡P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在图中画出表示大树高度的线段MG（不写作法，保留作图痕迹）。（2025秋贵阳校级月考） 34. 已知AB和DE是直立在地面上的两根立柱。AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m。 (1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； (2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长。（2024秋张店区期末） 35. 在平面直角坐标系中，点光源位于P（5，5）处，木杆AB平行于x轴，木杆两端的坐标分别为A（0，2），B（6，2）。 (1)画出木杆AB在x轴上的投影CD； (2)求出其投影CD的长。（2025秋周村区期末） 三、中考链接题 36. （2025山东济南中考）路灯AB与地面垂直，身高1.6m的小明站在距离路灯底部B点9m的D处，测得小明在路灯下的影子DF=3m。求路灯AB的高度。 37. （2025江西中考）路灯A与路灯C都与地面垂直，且相距18米，路灯C的高度比路灯A的高度低1.6米。夜晚，身高为1.6米的小明从路灯A走向路灯C，当行走2秒后，他走到了B处（速度1.5米/秒），此时发现身后影子顶部正好触到路灯A的底部。求路灯A的高度。 38. （2025四川成都中考）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米。 39. （2025·江西中考）阜新西山水塔公园的核心景观是始建于1937年的西山水塔，该塔是阜新市历史上的第一座水塔．在一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想法．他观察到水塔垂直于水平地面，阳光下水塔的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长是米，坡面上的影长是20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高米的小明在水平地面上的影长是米（参考数据） 40. （2025四川模拟）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（       ） A.越来越大 B.影子不是直角三角形 C.影子越来越小 D.影子越来越大41. （2025陕西中考）秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系。秦腔演员在灯光下表演的影子是______投影。（填"平行"或"中心"） 42.（2025山西中考）夜晚，当你走近一盏路灯时，你发现自己的影子（ ） A. 不变 B. 由短变长 C. 由长变短 D. 无法判断 43. （2025山东中考）电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FM运动，当他运动2米到达点D处时，测得影长DN=0.6m，再前进2米到达点B处时，测得影长MB=1.6m（图中线段AB、CD、EF表示小明的身高，均为1.6m）。求路灯O的高度。 学科网（北京）股份有限公司 $