4.1投影常见的五种题型 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

4.1投影常见的五种题型 目　录 题型一　投影的概念与类型判断 题型二　正投影——线段与图形的正投影 题型三　平行投影——同一时刻影长与物体高度 题型四　中心投影——点光源影子与物体高度 题型五　投影的综合应用与射影定理 题型一　投影的概念与类型判断 【解题技巧】投影分平行投影与中心投影：平行投影中光线互相平行（如太阳光），中心投影中光线由同一点发出（如路灯、灯泡）。物体在投影面上垂直于投影面的光线投影称正投影。判断投影类型看光线是否平行；视线被遮挡、看不到的区域称盲区，升高观察点可减小盲区。 1．下列命题中，为假命题的是（   ） A．矩形的四个角相等 B．线段的正投影是一条线段或一个点 C．正方形的对角线互相平分且垂直 D．菱形的对角线相等 2．以下结论正确的是（   ） A．相等的弦所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直弦 C．若的边长同时扩大两倍，不变 D．线段的正投影是线段 3．下列说法正确的是（　　） A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影 B．正投影一定是平行投影 C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影 D．正投影可能是中心投影 4．下列关于投影的说法正确的是（　　） A．平行投影中的光线是聚成一点的 B．线段的正投影还是线段 C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同 5．下列不是中心投影的是（   ） A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．人在路灯下形成的影子 D．皮影戏中的影子 6．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 8．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．皮影戏中的“皮影”属于__________投影．（填“平行”或“中心”） 题型二　正投影——线段与图形的正投影 【解题技巧】线段与投影面夹角为θ时，其正投影长：。垂直于投影面的线段正投影为一个点；平行于投影面的线段正投影等于本身。平面图形的正投影：与投影面平行时不变形，垂直时收缩。由正投影长与夹角可互求线段长与夹角。 1．如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 3．一面积为S的矩形纸片在水平面的正投影面积为，则它在竖直面的正投影面积为（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的有（   ） ①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是平行四边形；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 6．如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是______． 7．空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 8．图1是工艺电脑桌的实物图，其侧面可简化成图2，已知，，是的中点，，，，点是点的正投影．（参考数据：取） (1)求桌面到地面的距离．（结果精确到） (2)若，求的值．（结果精确到） 9．一个长的木棒，已知平行于投影面，投影线垂直于． (1)求影长的长度（如图（1））； (2)若将木棒绕其端点A逆时针旋转，求旋转后木棒的影长（如图（2））． 题型三　平行投影——同一时刻影长与物体高度 【解题技巧】同一时刻、同一地点，平行投影下物体的高度与影长成正比：。测物体高度时常立已知长度标杆（或利用人身高与影长），由比例式列方程求未知高度；影子落在墙面或台阶上时，先把竖直面的影长换算成对应水平影长，再列比例；底部不可到达的建筑物可借助可到达处的标杆、人影间接测量。 1．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 2．三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________． 3．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则_______米． 4．如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是__________． 5．如图，小丽家旁边有两棵树，一棵高11米的和一棵高6米的，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，树落在地面上的影子的长为12米，落在小丽家墙上影子的长为2米，另一棵树落在地面上的影子的长为4米，则落在小丽家墙上的影子的长为 _____米． 6．如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子，其中竹竿，它的影长，竹竿的影子有一部分落在墙上，．竹竿的长为________m． 7．成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”用数学的眼光来看，这是应用了比例知识中的正比例关系．某希望小学开展了“测量旗杆有多高”的实践活动．同学们进行了如下操作：某天下午5时，测出旗杆的影子长度，在同一时间、同一地点，测得两棵树的高度和它们影子的长度（如图），求旗杆的高度． 8．如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯在阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 9．如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为，并测出此时太阳光线与地面成角（计算结果精确到，参考数据：）． (1)求树的高度． (2)因水土流失，此时树沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 10．某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． (1)请在图中画出统一时刻乙数的影子； (2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 11．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点在旋转中心的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，．此时各叶片影子在点右侧成线段，测得，，垂直于地面的木棒与影子比为， (1)试确定同一时刻，木棒在地面上影子的位置； (2)求该风车的高度． 12．某数学兴趣小组的名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作： (1)测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． (2)测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为米，一级台阶高为米，落在第一级台阶的影子长为米， ①甲树的高度为______米， ②图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度． 13．已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，AB在阳光下的投影． (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影； (2)在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长 14．陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 15．阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从E点出发走了9米到达点F处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在G处测得B点的俯角为，，，，点B、C、E、F在一条直线上，求古建筑的高．（参考数据：，） 16．洋县开元舍利塔，呈荸荠状，玲珑典雅，亭亭玉立，其塔结构精巧别致，各层四面皆垂有风铃．清风徐来，随风作响，是洋县县城的标志性古建筑．阳光明媚的一天，小洋对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小洋在该塔在阳光下的影子顶端处竖直立一根米长的标杆，并测得同一时刻标杆在太阳光下的影长，然后，小洋在的延长线上的点处，竖直立一根2米长的标杆，使得塔的顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上，并测得，，已知，，，点、、、、在同一直线上，且图中所有点均在同一平面内，请根据以上测量数据，求该塔的高度． 17．十一国庆前，数学组老师呼吁同学们利用假期时间，结合课本所学知识，丈量建筑物高度，文文和乐乐想要合作测量某一居民楼的高度：阳光下，文文先站在楼影子的顶端C处，此时测得文文的影长米，文文身高为米；接着，乐乐站在F处望向楼顶B，测出仰角约为，量得米，乐乐的眼睛到地面的距离约为米．已知测量过程中点A、F、C、E依次在同一条水平直线上，、、均与地面垂直，请根据测量得到的数据，计算出居民楼的高度．（结果取整数，参考数据：，，） 18．阳光明媚的一天，小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的影子顶端了．”如图，线段表示小明，线段表示小丽，线段表示小明某一时刻在阳光下的影子，，． (1)请画出此时小丽在阳光下的影子； (2)若已知小明身高为，小明的影子长为，而此时小丽的影子长为，求小丽的身高． 19．由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下． 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 ． 备注 点F，A，B，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出的长度，就可以测出建筑物的高度”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物的高度为，请写出一条测量结果有误差的原因． 20．甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 21．如图，公路旁有两个高度相等的路灯，．小东上午去学校时发现路灯在阳光下的影子恰好落到里程碑处，他的影子恰好落在路灯的底部处．晚上回家时，站在上午同一个地方，他在路灯下的影子恰好落在里程碑处．． (1)在图中画出小东的位置（用线段表示），并画出光线，标明阳光、灯光； (2)若小东上午去学校时高的木棒在阳光下的影长为，他的身高为，他距里程碑点E为，求路灯的高． 题型四　中心投影——点光源影子与物体高度 【解题技巧】点光源（路灯、灯泡）下，物体与其影子构成相似三角形，物高与影长按相似比放大：。由已知人身高、影长与到灯的距离可求灯高；物体在点光源下形成的投影是中心投影，影子长度随位置移动而变化。求地面上阴影面积时，用相似比平方（面积比）。 1．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的投影长为（    ）    A． B． C．5 D．6 3．如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，方桌正上方的灯泡发出的光线照射方桌后（方桌可看成正方形），在地面上形成阴影，已知方桌的边长为，桌面距离地面，灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从A处背着灯柱方向走到B处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（    ）    A．先变短后变长 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．始终不变 6．如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 7．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少______米． 8．如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是___________． 9．在学习了投影一章的知识后，老师布置了一项利用相关知识测量校园内假山高度的作业，于是小明设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏照明灯，小明在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量照明灯下标杆投影的长度，以及标杆底端到假山正下方点的距离，便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于，的代数式表示假山的高度为______． (2)在实际操作中，小明测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点处根本无法直接到达，小明稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到点处，测得此时标杆在照明灯下的影长变为，请画出这一刻标杆在点的影子并根据这些数据帮助小明求出假山的高度． 10．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图，现将一高度为2米的木杆放在灯杆（点A处为照明灯）前0.6米处，再沿着方向移动1.8米放置另一个等长木杆． (1)请分别画出木杆的影子（用线段表示，适当加粗）； (2)若测得木杆影长为1.2米，求木杆的影子长度． 11．如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”） (2)已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度． 12．如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； (2)如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 13．某兴趣小组开展课外活动．如图，两地相距12米，小明从点出发沿方向以米秒的速度匀速前进，2秒后到达点，此时他在某一灯光下的影长为，继续按原速行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，从点处再行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影长为（点在一条直线上）． (1)请在图中画出小明位于点时的影子，并填空：_______米；（用含的代数式表示） (2)求小明原来的速度． 14．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． 如图，河对岸有一灯杆， 在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长 ． 已知小明的身高为 ，求灯杆的高度． 15．综合与实践． 现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题： (1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子； (2)如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度； 16．如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，点A，D，F，H，B在同一条直线上，且．．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊．米，塑像的高米，塑像的影长米． (1)求明德楼的高； (2)求塑像的影长． 17．如图，、为两盏高度相等的路灯，它们之间的距离米，欣欣（用图中表示）站在两路灯之间的点处，她在路灯的光源下的影子末端恰好落在点处，测得米，欣欣的身高米，、，，点、、在一条直线上． (1)请在图中画出欣欣在路灯的光源下的影子； (2)根据已测得的数据，计算影子的长． 18．雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度AB．如图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2米的点F处的小水潭中看到了路灯点A的影子．已知小明的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出路灯的高度AB．    19．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 题型五　投影的综合应用与射影定理 【解题技巧】综合题常把投影与相似、三角函数、坐标、几何变换结合。射影定理：直角三角形斜边上的高是斜边被分成的两段的比例中项：；两直角边分别是斜边与其在斜边上的射影的比例中项。解题先判定三角形相似或利用三角函数建立比例，再代入数据求解。 1．操作与研究∶如图，被平行于的光线照射，于，在投影面上． (1)指出图中的投影是什么，与的投影呢？ (2)探究∶ 如图1，中，，，我们可以利用与相似证明， 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 2．如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，，，． (1)BD的长为______． (2)如图2，当时． ①求的度数；（参考数据：，，，） ②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）． 3．如图1是折叠会议桌的实物图，其侧面可抽象成图2，桌面可绕点转动，，，．，点是点在地面的正投影．    (1)①桌面到地面的距离为______，______． ②求桌脚的长；（结果精确到） (2)当桌面绕点转动到图3所示的位置时，求点到地面的距离． （参考数据：，，） 4．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 5．随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的处驶来，已知，汽车从处前行多少米才能发现处的儿童．（结果保留到，参考数据： 参考答案 题型一　投影的概念与类型判断 1．D 【详解】解：A、矩形的四个角都是直角，所以矩形的四个角相等，是真命题，故不符合题意； B、当线段与投影面垂直时，正投影是一个点，当线段与投影面不垂直时，正投影是一条线段，所以线段的正投影是一条线段或一个点，是真命题，故不符合题意； C、正方形是特殊的菱形，菱形的对角线互相平分且垂直，所以正方形的对角线互相平分且垂直，是真命题，故不符合题意； D、菱形的对角线平分且垂直，不一定相等，是假命题，故符合题意； 故选：D． 2．C 【详解】解：A、相等的弦所对的圆周角不一定相等，本选项不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直弦，本选项不符合题意； C、若的边长同时扩大两倍，不变，本选项符合题意； D、线段的正投影是线段也可能是一个点，本选项不符合题意； 故选：C． 3．B 【详解】解：A．物体在太阳光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意； B．正投影一定是平行投影，正确，符合题意； C．物体在灯光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意； D．正投影是平行投影，错误，不合题意． 故选：B． 4．C 【详解】解：A、平行投影中的光线是平行的，故此选项不符合题意； B、线段的正投影可能是线段，有可能是点，故此选项不符合题意； C、圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆，故此选项符合题意； D、若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高不一定相同，故此选项不符合题意， 故选：C． 5．A 【详解】解：∵ 中心投影的光线需从一点发散， 而A中阳光为平行光，光线不从一个点发散， ∴ A不是中心投影， B、C、D中光源均为点光源，光线从一点发散，是中心投影， 故选：A． 6．A 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 7．C 【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 8．中心 【详解】解：中心投影是由同一点发出的光线形成的投影，其投影相交于一点，这种投影方式在灯光照射下形成的影子就是中心投影． 故皮影戏中的“皮影”属于中心投影． 故答案为：中心． 题型二　正投影——线段与图形的正投影 1．C 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 2．B 【详解】解：过A作于C， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：B． 3．A 【详解】解：设矩形纸片与水平面的夹角为θ，根据题意得：， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形在竖直面的正投影面积为： ． 故选：A． 4．C 【详解】解：①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点，正确； ②当长方形的对角线垂直于投影面时，其正投影是一条线段；错误； ③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；正确； ④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．正确； 故选：C 5． 【详解】解：由题意，得，，，，， 作A关于l的对称点，连接，，，过作于E， 则过点C，，四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为， 即的最小值为． 6． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ， 在直线n上的正投影的长是． 7．(1)点到水平地面的距离的长约为173.6cm (2)在水平地面上的正投影的长约为128.5cm 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，， ， ． 故点到水平地面的距离的长约为173.6cm． （2）解：在中，， ， ． 故在水平地面上的正投影的长约为128.5cm． 8．(1) (2) 【详解】（1）解：连接， ∵点是点的正投影， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 即桌面到地面的距离为； （2）解：过N作于M， ∵，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 9．(1) (2) 【详解】（1）解：∵平行于投影面，投影线垂直于 ∴； （2）过A作，垂足为H． 由题意，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵旋转， ∴， 在中，，， ∴． ∴． 题型三　平行投影——同一时刻影长与物体高度 1．B 【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为， 设大树的高度为， ， 解得， 大树的高度约是． 2．72 【详解】解：过点E作于点G，则， ∵在中，， ∴设，， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴． 延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵三个相同的叶片均匀分布， ∴，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴叶片的长度为． 3．12 【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 米 故答案为：12． 4． 【详解】解：根据题意，画图如下，过作于， 竹竿长，竹竿的影长为，树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为， 设树的高为， ∵，在同一条直线上， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴树的高度为． 故答案为： 5．3 【详解】解：如图：过点E作于M，过点G作于N． 由题意得：四边形，是矩形， 则米，，米，米． ∵米，米 ∴， 由平行投影可知：，即， 解得：． 故答案为：3． 6． 【详解】解：如图，过点N作于点． 由题意，得， ． 又，， ， ． 故竹竿的长为． 故答案为：． 7． 【详解】解：设旗杆的高度是， 则， 解得． 答：旗杆的高度是． 8．(1)解：由题意作图如下： (2) 【详解】（1）略 （2）解：如图，设直线交于点J． 由题意，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．(1) (2) 【详解】解：（1）在中，． 设，则． 由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）． 故树的高度约为． （2）当树与光线垂直时，树影最长， 过点A作太阳光线于点D，且， 如图．在中，． 故树影的最大长度为． 10．(1) 如图，连接，过作，交于点， ∴即为所求； (2)小华的影长是米． 【详解】（1）略． （2）设小华的影长是米， 由题意得：， 解得：， 答：小华的影长是米． 11．(1) 木棒在地面上影子的位置如图所示： (2)米 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作，交于，过作于，则， 由题意可得， ， ，， ， =， ， ， ， ； 答：该风车的高度为米 12．(1) (2)米 【详解】（1）解：设甲树的高度为米 根据题意得： 解得： 故答案为： （2）解：连接并延长交的延长线于，延长交于，连接， ∵米，米，米 ∴（米） ∴ ∴ ∴（米） ∴（米） 答：乙树的高度为米． 13．(1) 如图所示，线段就是的投影． (2) 【详解】（1）略 （2）解：太阳光线是平行的， ∴． ． 又， ． ， ，，， ， ． 14．纪念碑的高度为 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 由题意知，，， ， ，即， 解得， ∴纪念碑的高度为． 15．古建筑的高为12米 【详解】解：在中，米，，， ∴（米）， ∴（米）， ∵太阳光线是平行光线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴米． 答：古建筑的高为12米． 16． 【详解】解：∵同一时刻，太阳光线是平行的， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意， ∴， 即该塔的高度为． 17．居民楼的高度约为 16 米 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：， 设米， 则米， 在中，（米）， 米， 由题意得：， ， 解分式方程得：， 经检验：是原方程的根， 米， 答：居民楼的高度约为16米． 18．(1) 解：如图，线段即为此时小丽在阳光下的影子． (2)小丽的身高为． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得． 答：小丽的身高为． 19．任务1：小明的说法正确，理由如下： 由题意可得，，， ∴， ∴＝， ∵， ∴， ∵可以直接测量出的长度， ∴建筑物的高度可以通过计算得出； 任务2：建筑物的高是； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． 【详解】解：任务1：略 任务2：∵∠， ∴， ∴＝， 由任务1得，＝， ∴＝， ∵， ∴＝， ∴， ∵，即， ∴． 答：建筑物的高是； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． 20．(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，延长交于点， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴， 答：甲楼高度为； （2）解：设太阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，如图， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 21．(1)小东的位置（用线段表示），画出光线，标明阳光、灯光如图所示： (2)路灯的高为 【详解】（1）解：作阳光线，过点作的平行线交于点，过点作于点，则线段即为所求； （2）解：由题意可知，， ， ， ∴， ， ， ， 答：路灯的高为． 题型四　中心投影——点光源影子与物体高度 1．D 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故选：D． 2．D 【详解】解：延长、分别交x轴于点、，作轴于点E，交于点D，如图， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：D．    3．B 【详解】解：投影可知：，， ， ， 与的相似比是， ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 的周长为， ， ； 故选． 4．A 【详解】解：如图所示，垂直于水平面，依题意得： ，， 正方形与阴影相似，相似比为：． 由于面积比等于相似比的平方， 故地面上阴影部分的面积为． 故选A． 5．C 【详解】解：某同学在路灯下由近及远向，离路灯越来越远，其影子应该逐渐变长． 故选：C． 6． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 7． 【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，    ∵， ∴，则， ∵米，米，则米， ∴， 设， ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，    即，，米， ∴， 则， ∴米， ∴光源与小明的距离变化为：米， 故答案为：． 8． 【详解】解：由题意得：轴， ∴ ∴， ， 即： 故答案为： 9．(1) (2)3m 【详解】（1）解：,, ， , , , 则， ， 故答案为：． （2）即为所求． ，，， ，，， ，， 又， ， 设， 则， 解得， 由（1）得， ， 假山的高度为． 故答案为：． 10．(1)如图： (2)4.8米 【详解】（1）解：作射线分别交直线于点G，H，则即为所求． （2）解：由题知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理． ∴， ∴， 解得：． ∴木杆EF的影子长度为4.8米． 11．(1)中心投影； (2)． 【详解】（1）此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； （2），， ， ， ， 即：， 解得：， 路灯的高度为5米． 12．(1) 如图所示，点P为灯泡位置，线段为小玉在灯下的影长． (2) 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 13．(1) 图形如图所示： (2)小明原来的速度为 【详解】（1） 小明原来的速度为， 则， （2）解：根据题意易得四边形均为矩形，， ， 点在一条直线上，， ， ， ， ，即， ， 解得，经检验：是原方程的解， 小明原来的速度为． 14． 【详解】解：由题意，可知：，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：． 15．(1)如图所示，点P、线段即为所求， (2)路灯P离地面的高度为 【详解】（1）解：延长于点P，找到路灯 P 的位置，连接并延长，交射线于点H，即为人在路灯下的影子． （2）解：∵， ∴， 即 ① ∵， ∴， 即 ② 由①②得 解得 解得． 答：路灯P离地面的高度为． 16．(1)15米； (2)4米． 【详解】（1）∵，米， 米． 由题意，得． ∵， ∴， 解得． 答：明德楼的高为15米． （2）由题意，得． ∵， ∴， 解得． 答：塑像的影长为4米． 17．(1) 影子如图所示． (2)米 【详解】（1）略 （2），， ， ， ，即， 解得米， 米， ，， ， ， ，即， 解得， 即影子的长为米． 18．4.2米． 【详解】解：设米，米． ， ， ， ①， 由题意，，， ， ， ②， 由①②解得，， 经检验，的分式方程组的解． 米． 19．(1) 解：如图所示，点P和即为所求； (2)米 【详解】（1）略 （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 题型五　投影的综合应用与射影定理 1．(1)的投影是，的投影是点，的投影是 (2) 证明：∵中，，， ∴，， ∴，且是公共角， ∴， ∴， ∴． (3)①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 中， ∵，， ∴， ∴，即，且（公共角）， ∴； ② 【详解】（1）解：根据题意得，的投影是，的投影是点，的投影是． （2）略 （3）①略 ②∵，且， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 2．(1)250cm (2)①35°；② 【详解】（1）解：∵当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F落在处，点C落在处，可得 ∴cm （2）①如图，过点作 cm， cm， ②如图，连接，过点作， 根据题意可知 伞能遮雨的面积为 3．(1)①；；；②桌脚的长约为； (2)点到地面的距离约为 【详解】（1）解：①如图，连接， 点是点在地面的正投影， ， ， ， ，， 在中，， 即到地面的距离为， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：；；    ②如图，过点作于点， 在中，， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 即桌脚的长约为；    （2）解：如图，过点作于点， 由旋转的性质可知，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 点到地面的距离约为．    4．(1) (2) 【详解】（1）如图，过点O作、的平行线，交于H， 由题意可知，点O是的中点， ∵， ∴， ∴点H是的中点， ∵， ∴， ∴， 又∵由题意可知： ∴， ∴， 解得， ∴点O、M之间的距离等于； （2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得， ∵， ∴， ∵由题意可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴叶片外端离地面的最大高度等于． 5．汽车从处前行米才能发现处的儿童． 【详解】解：连接，并延长交于点， 由图知：， ， ，即， ． 在中， ，即， ， ． 答：汽车从处前行米才能发现处的儿童 学科网（北京）股份有限公司 $