4.1投影第2课时课后分层作业 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（2026新教材）九年级上册 · 第四章 投影与视图 4.1 投影（第2课时）：正投影 课后分层作业｜巩固基础 · 分层提升 · 弹性选做 使用说明 1. 本作业分三档：第一档·基础（全员必做）、第二档·提升（全员必做）、第三档·挑战（选做），建议总用时不超过40分钟． 2. 【答案】【解析】【详解】紧随每题之后；请先独立完成，再对照批改；错题请在附录自查表中记录错因并重做． 3. 本作业所有题目均取自公开网络考试真题，每题题前注明出处与考试时间；答案均经独立复算． ⏱ 建议用时 总计≤40分钟 📚 题量构成 共18题：选13·填4·解1 🎯 分层分布 基础8·提升5·挑战5 ▍本课时要点速览 概念 要点 正投影的定义 投影线垂直于投影面的投影，叫做这个物体的正投影；正投影是平行投影的特殊情形，投影线互相平行且垂直于投影面． 正投影的性质 线段或平面图形平行于投影面时，正投影保持原来的形状、大小（线段等长、图形全等）；倾斜时投影变小；垂直时线段的投影是一个点，平面图形的投影是一条线段． 常用结论 球的正投影总是圆；同一时刻太阳光下物体的高度与影长的比相等；几何体的三视图都是正投影． 第一档 · 基础 —— 全员必做（约12分钟） 题 1｜选择 · 正投影的概念｜建议用时 1.5分钟 下列关于正投影的说法正确的是（　　） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 题 2｜选择 · 正投影与平行投影、中心投影的关系｜建议用时 1.5分钟 下列说法正确的是（　　） A．正投影可能是平行投影，也可能是中心投影 B．物体在灯光下产生的投影可能是物体的正投影 C．物体在太阳光下产生的投影是物体的平行投影 D．电灯的光源距离投影面较远的投影就是平行投影 题 3｜填空 · 面平行于投影面时的正投影｜建议用时 1.5分钟 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小 （填“相同”“不一定相同”“不相同”之一）． 题 4｜填空 · 正投影的形状｜建议用时 1.5分钟 三角形铁板的正投影的形状可能是 （写出一种即可）． 题 5｜选择 · 圆柱的正投影｜建议用时 1.5分钟 如图，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是（　　） A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱 题 6｜选择 · 球的正投影｜建议用时 1.5分钟 球在平面上的正投影是（　　） A．圆面 B．椭圆面 C．点 D．线段 题 7｜选择 · 线段的正投影｜建议用时 1.5分钟 木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（　　） A．大于1.2m B．小于1.2m C．等于1.2m D．小于或等于1.2m 题 8｜选择 · 圆形物体的正投影｜建议用时 1.5分钟 圆形物体在阳光下的投影不可能是（　　） A．圆形 B．线段 C．矩形 D．椭圆形 第二档 · 提升 —— 全员必做（约10分钟） 题 9｜选择 · 平行投影的特点｜建议用时 2分钟 三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（　　） A．　　B．　　C．　　D．　　 题 10｜填空 · 同一时刻物高与影长成比例｜建议用时 2分钟 某一时刻，太阳光下身高1.5m的小明的影长为2m，同一时刻旗杆的影长为6m，则旗杆的高度为 ． 题 11｜选择 · 几何体的正投影｜建议用时 2分钟 在水平的讲台上放置圆柱形水杯和长方体形粉笔盒，投影线的方向如图中箭头所示，则它们的正投影是（　　） A．　　B．　　C．　　D．　　 题 12｜选择 · 几何体的正投影｜建议用时 2分钟 把一个正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（　　） A．　　B．　　C．　　D．　　 题 13｜选择 · 不改变形状和大小的投影｜建议用时 2分钟 下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．当△ABC平行于投影面时的正投影 D．当△ABC平行于投影面时的中心投影 第三档 · 挑战 —— 选做（约18分钟） 题 14｜选择 · 正方体影子的边数探究｜建议用时 3分钟 在太阳光下，转动一个正方体，观察正方体在地面上投下的影子，那么这个影子最多可能是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 题 15｜选择 · 正方形的平行投影｜建议用时 3分钟 正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（　　） A．正方形 B．平行四边形或一条线段 C．矩形 D．菱形 题 16｜解答 · 正三棱柱的正投影综合｜建议用时 6分钟 如图，正三棱柱的面EFDC平行于投影面P，且AE＝EF＝AF＝2，AB＝6．（1）三棱柱在投影面P上的正投影的图形是（　　）A．一条线段　B．矩形　C．平行四边形　D．等腰梯形；（2）求正投影的面积． 题 17｜选择 · 正投影的面积｜建议用时 3分钟 当棱长为20cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（　　） A．20 B．300 C．400 D．600 题 18｜填空 · 平行四边形正投影的面积｜建议用时 3分钟 平行于投影面的平行四边形的面积与它的正投影的面积的大小关系是 ． 附录 · 课后自查表 课后自查表（对照各题后的答案与解析填写） 题号 档次 考查知识点 错因记录（概念不清／计算失误／方法不当／未完成） 题 1 基础 正投影的概念 题 2 基础 正投影与平行投影、中心投影的关系 题 3 基础 面平行于投影面时的正投影 题 4 基础 正投影的形状 题 5 基础 圆柱的正投影 题 6 基础 球的正投影 题 7 基础 线段的正投影 题 8 基础 圆形物体的正投影 题 9 提升 平行投影的特点 题 10 提升 同一时刻物高与影长成比例 题 11 提升 几何体的正投影 题 12 提升 几何体的正投影 题 13 提升 不改变形状和大小的投影 题 14 挑战 正方体影子的边数探究 题 15 挑战 正方形的平行投影 题 16 挑战 正三棱柱的正投影综合 题 17 挑战 正投影的面积 题 18 挑战 平行四边形正投影的面积 北师大版（2026新教材）九上数学 · 第4章 4.1 投影（第2课时）课后分层作业　—　第 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版（2026新教材）九年级上册 · 第四章 投影与视图 4.1 投影（第2课时）：正投影 课后分层作业｜巩固基础 · 分层提升 · 弹性选做 使用说明 1. 本作业分三档：第一档·基础（全员必做）、第二档·提升（全员必做）、第三档·挑战（选做），建议总用时不超过40分钟． 2. 【答案】【解析】【详解】紧随每题之后；请先独立完成，再对照批改；错题请在附录自查表中记录错因并重做． 3. 本作业所有题目均取自公开网络考试真题，每题题前注明出处与考试时间；答案均经独立复算． ⏱ 建议用时 总计≤40分钟 📚 题量构成 共18题：选13·填4·解1 🎯 分层分布 基础8·提升5·挑战5 ▍本课时要点速览 概念 要点 正投影的定义 投影线垂直于投影面的投影，叫做这个物体的正投影；正投影是平行投影的特殊情形，投影线互相平行且垂直于投影面． 正投影的性质 线段或平面图形平行于投影面时，正投影保持原来的形状、大小（线段等长、图形全等）；倾斜时投影变小；垂直时线段的投影是一个点，平面图形的投影是一条线段． 常用结论 球的正投影总是圆；同一时刻太阳光下物体的高度与影长的比相等；几何体的三视图都是正投影． 第一档 · 基础 —— 全员必做（约12分钟） 题 1｜选择 · 正投影的概念｜建议用时 1.5分钟 出处：《2025-2026北师大版九上§5.1投影课时练习(2)》（2025年9月） 下列关于正投影的说法正确的是（　　） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【解析】正投影是投影线垂直于投影面的平行投影，其形状由物体本身及其与投影面的位置关系决定，不同物体的正投影可能相同． 【详解】A．物体的正投影是圆时，该物体可能是球，也可能是底面平行于投影面的圆柱，不一定是球，故A错误； B．不同物体的正投影可以相同，如球与底面平行于投影面的圆柱，正投影都是圆，故B正确； C．只有当圆锥的轴平行于投影面时，正投影才是等腰三角形；当底面平行于投影面时，正投影是圆，故C错误； D．圆纸片平行于投影面时正投影是圆，倾斜时变小，垂直于投影面时是一条线段，故D错误． 故选B． 题 2｜选择 · 正投影与平行投影、中心投影的关系｜建议用时 1.5分钟 出处：《2025-2026北师大版九上§5.1投影课时练习(2)》（2025年9月） 下列说法正确的是（　　） A．正投影可能是平行投影，也可能是中心投影 B．物体在灯光下产生的投影可能是物体的正投影 C．物体在太阳光下产生的投影是物体的平行投影 D．电灯的光源距离投影面较远的投影就是平行投影 【答案】C 【解析】正投影是平行投影的特殊情形，一定不是中心投影；太阳光可看作平行光线，灯光属于点光源． 【详解】A．正投影是平行投影的特殊情形，不可能是中心投影，故A错误； B．灯光是点光源，其投影是中心投影，不可能是正投影，故B错误； C．太阳光线可看作平行光线，物体在太阳光下产生的投影是平行投影，故C正确； D．电灯的光线由同一点发出，无论光源距离投影面多远，都是中心投影，故D错误． 故选C． 题 3｜填空 · 面平行于投影面时的正投影｜建议用时 1.5分钟 出处：《2025-2026北师大版九上§5.1投影课时练习(2)》（2025年9月） 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小相同（填“相同”“不一定相同”“不相同”之一）． 【答案】相同 【解析】正投影的性质：当物体的某个面平行于投影面时，它的正投影与这个面的形状、大小完全相同． 【详解】物体某个面平行于投影面时， 该面上各点到投影面的垂线段彼此平行且对应关系不变， 所以这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同． 故填：相同． 题 4｜填空 · 正投影的形状｜建议用时 1.5分钟 出处：《2025-2026北师大版九上§5.1投影课时练习(2)》（2025年9月） 三角形铁板的正投影的形状可能是三角形（答案不唯一）（写出一种即可）． 【答案】三角形（答案不唯一） 【解析】三角形铁板的正投影形状取决于它与投影面的位置关系：平行时为三角形，倾斜时为三角形或变小的三角形，垂直时为线段． 【详解】当三角形铁板平行于投影面时，正投影是与原三角形形状、大小相同的三角形； 当三角形铁板倾斜于投影面时，正投影是比原三角形小的三角形； 当三角形铁板垂直于投影面时，正投影是一条线段． 故填：三角形（答案不唯一，填“线段”也可）． 题 5｜选择 · 圆柱的正投影｜建议用时 1.5分钟 出处：原创力文档《九年级数学上册单元测试 第五章 投影与视图（基础过关）北师大版（含解析）》（2024年9月18日） 如图，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是（　　） A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱 【答案】B 【解析】投影线沿图中箭头方向（水平方向）垂直照射圆柱，圆柱直立放置，其正投影是高等于圆柱的高、宽等于底面直径的矩形． 【详解】∵圆柱直立放置，两个底面是水平放置的圆， 由图可知，投影线沿水平方向从左向右垂直照射， ∴两个底面平行于投影线，它们的投影各是一条线段， 侧面上正对投影线的母线投影后成为矩形的两条竖直边， ∴圆柱的正投影是一个矩形． 故选B． 题 6｜选择 · 球的正投影｜建议用时 1.5分钟 出处：学科网《5.1投影同步练习2025—2026学年北师大版九上》（2025年8月） 球在平面上的正投影是（　　） A．圆面 B．椭圆面 C．点 D．线段 【答案】A 【解析】球向任意方向作正投影，投影都是与球的大圆同样大小的圆面． 【详解】球的正投影不随投影线方向改变： 无论从哪个方向投影，球的轮廓都是圆， 所以球在平面上的正投影是圆面． 故选A． 题 7｜选择 · 线段的正投影｜建议用时 1.5分钟 出处：2024年九上·肇东期末（题库） 木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（　　） A．大于1.2m B．小于1.2m C．等于1.2m D．小于或等于1.2m 【答案】D 【解析】线段平行于投影面时正投影等长；倾斜时投影变短；垂直于投影面时正投影是一个点． 【详解】当木棒平行于投影面时，正投影的长等于木棒长1.2m； 当木棒倾斜于投影面时，正投影的长小于木棒长； 当木棒垂直于投影面时，正投影是一个点，长为0． 综上，木棒正投影的长小于或等于1.2m． 故选D． 题 8｜选择 · 圆形物体的正投影｜建议用时 1.5分钟 出处：学科网《5.1投影(第2课时)导学案》（2025年11月） 圆形物体在阳光下的投影不可能是（　　） A．圆形 B．线段 C．矩形 D．椭圆形 【答案】C 【解析】圆形物体的轮廓是圆，在平行光线下，投影可能是圆、椭圆或线段，不可能出现有棱角的矩形． 【详解】圆形物体（如圆纸片）平行于地面放置时，阳光下的投影是圆形，A可能； 圆形物体的圆面正对光线方向时，投影是一条线段，B可能； 圆形物体倾斜于地面时，投影是椭圆形，D可能； 矩形有四个顶点和四条直边，圆形物体的投影不可能是矩形，C不可能． 故选C． 第二档 · 提升 —— 全员必做（约10分钟） 题 9｜选择 · 平行投影的特点｜建议用时 2分钟 出处：原创力文档《3.1 投影（4大题型）（分层练习）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（浙教版）（解析版）》（2024年5月27日） 三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（　　） A．　　B．　　C．　　D．　　 【答案】C 【解析】太阳光是平行光，同一时刻三根等高的竖直木杆的影子应方向相同、长度相等且互相平行，逐项对照判断． 【详解】∵三根木杆等高、竖直立在平地上，太阳光是平行光线， ∴同一时刻三根木杆的影子方向相同、长度相等且互相平行． A．三个影子的方向不一致，故A不符合题意； B．三个影子的长度不相等，故B不符合题意； C．三个影子方向相同、长度相等且互相平行，影子合理，故C符合题意； D．三个影子的方向不互相平行，故D不符合题意． 故选C． 题 10｜填空 · 同一时刻物高与影长成比例｜建议用时 2分钟 出处：学科网《5.1投影同步练习2025—2026学年北师大版九上》（2025年8月） 某一时刻，太阳光下身高1.5m的小明的影长为2m，同一时刻旗杆的影长为6m，则旗杆的高度为4.5m． 【答案】4.5m 【解析】同一时刻，太阳光下物体的高度与其影长成正比，设旗杆高为x m，列比例式求解． 【详解】同一时刻，太阳光下物体的高度与影长的比相等． 设旗杆的高度为x m， 由题意，得 ＝， 解得 x＝＝4.5． 所以旗杆的高度为4.5m． 题 11｜选择 · 几何体的正投影｜建议用时 2分钟 出处：Book118《2025九年级上数学北师期末单元测试卷·期末综合测评卷》预览版 在水平的讲台上放置圆柱形水杯和长方体形粉笔盒，投影线的方向如图中箭头所示，则它们的正投影是（　　） A．　　B．　　C．　　D．　　 【答案】C 【解析】投影线方向竖直向下，正投影相当于“从上向下看”：圆柱的正投影是圆，长方体的正投影是矩形． 【详解】由图可知，投影线的方向竖直向下， 圆柱形水杯在该方向上的正投影是圆（俯视图）， 长方体形粉笔盒在该方向上的正投影是矩形（俯视图）， 圆与矩形并排摆放，与选项C相符． 故选C． 题 12｜选择 · 几何体的正投影｜建议用时 2分钟 出处：原创力文档《3.1 投影（4大题型）（分层练习）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（浙教版）（解析版）》（2024年5月27日） 把一个正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（　　） A．　　B．　　C．　　D．　　 【答案】B 【解析】正六棱柱直立放置，水平方向的平行光线正对棱柱的侧面照射，沿光线方向看过去，棱柱的轮廓是一个矩形． 【详解】由图可知，正六棱柱直立放置，投影线是水平方向的平行光线， 光线正对棱柱的矩形侧面照射，两个底面平行于投影线，其投影各是一条线段， 沿光线方向，棱柱轮廓的上、下边界是两条平行线段，前、后边界也是两条平行线段， ∴这个正六棱柱的正投影是矩形． 故选B． 题 13｜选择 · 不改变形状和大小的投影｜建议用时 2分钟 出处：学科网《第四章投影与视图能力提升卷2026~2027北师大版九上》（2026年10月16日） 下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．当△ABC平行于投影面时的正投影 D．当△ABC平行于投影面时的中心投影 【答案】C 【解析】平面图形平行于投影面时，它的正投影与原图形形状、大小完全相同；中心投影和平行投影在图形倾斜时都会使形状或大小改变． 【详解】中心投影会改变图形的形状和大小，故A错误； 平行投影中，图形倾斜于投影面时形状会发生改变，故B错误； 当△ABC平行于投影面时，它的正投影与△ABC形状、大小完全相同，一定不会改变，故C正确； 中心投影即使图形平行于投影面，投影的大小也会随距离改变，故D错误． 故选C． 第三档 · 挑战 —— 选做（约18分钟） 题 14｜选择 · 正方体影子的边数探究｜建议用时 3分钟 出处：北师大版配套《知能演练提升》九上《5.1投影（第2课时）正投影》 在太阳光下，转动一个正方体，观察正方体在地面上投下的影子，那么这个影子最多可能是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】C 【解析】正方体影子的边界由“轮廓棱”的投影围成；沿体对角线方向观察时，三个面同时参与轮廓，影子是六边形． 【详解】正方体有一个面平行于地面时，影子是正方形（四边形）； 转动正方体，使两个面参与轮廓时，影子可以是五边形； 沿体对角线方向观察，三个面同时参与轮廓时，影子是六边形； 正方体只有六个面，参与轮廓的面数不超过3对，影子边数不可能超过6， 所以影子最多是六边形． 故选C． 题 15｜选择 · 正方形的平行投影｜建议用时 3分钟 出处：北师大版配套《知能演练提升》九上《5.1投影（第2课时）正投影》 正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（　　） A．正方形 B．平行四边形或一条线段 C．矩形 D．菱形 【答案】B 【解析】太阳光是平行光线，正方形的投影是平行投影；平行投影保持线段的平行关系，正方形的对边投影仍平行；当正方形平行于光线时投影退化为线段． 【详解】正方形的两组对边分别平行， 在平行投影下，平行线段的投影仍互相平行， 所以正方形的投影是平行四边形（矩形、菱形、正方形是它的特殊情形）； 当正方形所在平面平行于光线方向时，投影退化为一条线段； 所以投影一定是平行四边形或一条线段． 故选B． 题 16｜解答 · 正三棱柱的正投影综合｜建议用时 6分钟 出处：原创力文档《九年级数学上册单元测试 第五章 投影与视图（基础过关）北师大版（含解析）》（2024年9月18日） 如图，正三棱柱的面EFDC平行于投影面P，且AE＝EF＝AF＝2，AB＝6．（1）三棱柱在投影面P上的正投影的图形是（　　）A．一条线段　B．矩形　C．平行四边形　D．等腰梯形；（2）求正投影的面积． 【答案】（1）B；（2）正投影的面积为12 【解析】面EFDC平行于投影面P时，三棱柱的正投影就是矩形面EFDC本身：EF＝2，侧棱长等于AB＝6，从而正投影是长为6、宽为2的矩形． 【详解】∵AE＝EF＝AF＝2， ∴△AEF是边长为2的等边三角形，EF＝2． ∵该几何体是正三棱柱，AB是它的一条侧棱，AB＝6， ∴各条侧棱的长都等于6，即FC＝6，且FC⊥EF． ∵面EFDC平行于投影面P， ∴三棱柱在投影面P上的正投影与矩形面EFDC的形状、大小完全相同． （1）正投影的图形是矩形．故选B． （2）正投影的面积＝EF×FC＝2×6＝12． 答：正投影的面积是12． 题 17｜选择 · 正投影的面积｜建议用时 3分钟 出处：学科网《第五章投影与视图单元综合达标测试题2025-2026北师大版九上》（2025年12月11日） 当棱长为20cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（　　） A．20 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【解析】面平行于投影面时，正投影与这个面形状、大小完全相同，面积等于该正方形面的面积． 【详解】∵正方体的某个面平行于投影面， ∴这个面的正投影与它形状、大小完全相同， 又正方体的棱长为20cm， ∴正投影的面积＝＝400（）． 故选C． 题 18｜填空 · 平行四边形正投影的面积｜建议用时 3分钟 出处：学科网《4.1~4.2投影视图错题巩固与压轴训练2026-2027北师大版九上》（2026年10月24日） 平行于投影面的平行四边形的面积与它的正投影的面积的大小关系是相等． 【答案】相等 【解析】平面图形平行于投影面时，它的正投影与原图形全等，面积相等． 【详解】∵平行四边形平行于投影面， ∴它的正投影与原平行四边形形状、大小完全相同（全等）， ∴平行四边形的面积与它的正投影的面积相等． 故填：相等． 附录 · 课后自查表 课后自查表（对照各题后的答案与解析填写） 题号 档次 考查知识点 错因记录（概念不清／计算失误／方法不当／未完成） 题 1 基础 正投影的概念 题 2 基础 正投影与平行投影、中心投影的关系 题 3 基础 面平行于投影面时的正投影 题 4 基础 正投影的形状 题 5 基础 圆柱的正投影 题 6 基础 球的正投影 题 7 基础 线段的正投影 题 8 基础 圆形物体的正投影 题 9 提升 平行投影的特点 题 10 提升 同一时刻物高与影长成比例 题 11 提升 几何体的正投影 题 12 提升 几何体的正投影 题 13 提升 不改变形状和大小的投影 题 14 挑战 正方体影子的边数探究 题 15 挑战 正方形的平行投影 题 16 挑战 正三棱柱的正投影综合 题 17 挑战 正投影的面积 题 18 挑战 平行四边形正投影的面积 北师大版（2026新教材）九上数学 · 第4章 4.1 投影（第2课时）课后分层作业　—　第 页 学科网（北京）股份有限公司 $