精品解析：四川省成都市石室中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

成都石室中学初2028届八年级上数学十月作业抽样 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义，求一个数的平方根 ，求一个数的算术平方根． 逐一计算后判断即可． 【详解】A．，原式正确； B．，原式错误； C．，原式错误； D．，原式错误； 故选：A． 2. 下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①9，40，41；②，，（a为正整数）；③13，14，15；④，1，． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数进行解答即可． 【详解】解：①，且9，40，41都是正整数，是勾股数，符合题意； ②，且，，（a为正整数）都是正整数，是勾股数，符合题意； ③，不是勾股数，不符合题意； ④，1，不都是正整数，不是勾股数，不符合题意． 综上所述，有2组符合题意． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号特征是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，据此进行解答即可． 【详解】解：A选项：横坐标、纵坐标都是正数， 点在第一象限， 故A选项不符合题意； B选项：横坐标、纵坐标都是负数， 点在第三象限， 故B选项符合题意； C选项：横坐标是负数，纵坐标是正数， 点在第二象限， 故C选项不符合题意； D选项：横坐标是正数，纵坐标是负数， 点在第四象限， 故D选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根式应满足两个条件：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B. ，被开方数的字母因式是整式，且被开方数不含能开得尽方的因式，是最简二次根式，故选项符合题意； C. ，被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D. ，被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：． 5. 如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长度为（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用折叠的性质得出，设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵D是的中点，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可知， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴． 6. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，可得的长，然后根据数轴可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，点，若直线与x轴垂直，则m的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系内点坐标的性质，由题意转化为点A，点B到y轴的距离相等，且在y轴同侧，也就是其横坐标相等，解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴ 故选：D． 8. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．当直吸管底部在底面圆心处时，罐内部分的长度最短为圆柱形的高；当直吸管底部在底壁处时，罐内部分的长度最长为的长，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图， 当直吸管底部在底面圆心处时，罐内部分的长度最短为圆柱形的高，即， 此时直吸管露在罐外部分a的长度为， 当直吸管底部在底壁处时，罐内部分的长度最长为的长， 由勾股定理可得， 此时直吸管露在罐外部分a的长度为， 即直吸管露在罐外部分a的长度范围是， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 使有意义的x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于或等于0是解题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 10. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数是______． 【答案】49 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出m的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数． 【详解】解：由题意得： 解得 故答案为：． 11. 如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键． 12. 中，，，上的高，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分点在上，延长线上和延长线上三种情况，利用勾股定理，结合线段的和差关系分别求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 如图，当点在延长线上时， ∵，，， ∴在中，， 在中，， ∴， 如图，当点在线段上时， 同理可得，，， ∴， 当点在线段的延长线上（排列顺序为、、），则， ∴，不符合线段长度为正的实际意义，该情况舍去， 综上所述，的长为或． 13. 在平面直角坐标系中，若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求平面直角坐标系点的坐标．根据题意点到轴的距离是纵坐标，到轴的距离是横坐标，再根据第四象限点的特征，横坐标为正，纵坐标为负，即可求解． 【详解】解：点在第四象限，且点P到x轴的距离为2，则纵坐标为，到y轴的距离为1，则横坐标为， ， 故答案为：． 三、选择题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算、解方程： （1）； （2） （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式乘除运算法则化简各项，再合并同类二次根式，即可得出答案； （2）先进行分母有理化，化简所有二次根式，再合并同类二次根式，即可得出答案； （3）先移项，再根据平方根的定义求解方程即可； （4）根据立方根的定义直接开立方求解方程即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： 移项、合并得，， 开平方得，， ∴或， 解得或． 【小问4详解】 解： 开立方得，， 解得． 15. 把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 无理数集合： 分数集合： 整数集合： 非正数集合： 【答案】无理数集合：，（相邻两个之间的个数逐次加） 分数集合：，，， 整数集合：，， 非正数集合：，，，，（相邻两个之间的个数逐次加） 【解析】 【分析】先化简带乘方的数，再根据无理数、分数、整数、非正数的定义对所有数逐一归类，需要注意无理数是无限不循环小数，非正数包含和所有负数. 【详解】解：先化简，是负整数， 再根据各类数的定义逐一判断： 无限不循环小数为无理数， 无理数集合包含，（相邻两个之间的个数逐次加）； 能化为有限小数或无限循环小数的数为分数， 分数集合包含，，，； 整数包含正整数、、负整数， 整数集合包含，，； 小于或等于的数为非正数， 非正数集合包含，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 16. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，． （1）将先沿轴正方向平移5个单位长度，再沿轴负方向平移3个单位长度得到； （2）写出顶点坐标； （3）如果与全等，则请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2），， （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点在平面直角坐标系的位置写出点的坐标即可； （3）根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由点在平面直角坐标系可得：，，； 【小问3详解】 解：如图， 若与全等，则点的坐标为或或． 17. 按要求回答问题 （1）已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． （2）已知实数，满足，的平方根是它本身，求的立方根． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义列方程求解、，再计算的平方根； （2）利用二次根式有意义的条件求出、，结合平方根的性质求出，再计算所求式子的立方根． 【小问1详解】 解：的算术平方根是， ， ， 的立方根是， ， ， ， ， 的平方根为． 【小问2详解】 解：由二次根式有意义的条件得， ， ，即， ， ， 的平方根是它本身， ， ， 的立方根为． 18. 如图，在正方形中，，E为的中点，，连接，，． （1）证明：是直角三角形； （2）过点E作交于点G，交于点H，求的长； （3）在（2）的情况下，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ， ， ∵， ∴为直角三角形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理分别求出，，的长，然后根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）根据等积法求出的长即可； （3）连接，证明，得出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，为直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形全等的判定定理． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 比较大小：_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，求出，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 一直角三角形的三边分别为8，15，，那么以为边长的正方形的面积为_______． 【答案】289或161##161或289 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及正方形的面积，此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况讨论，熟练运用勾股定理进行计算．以x为边长的正方形的面积即为x2．此题应考虑两种情况：8和15是直角边，x是斜边或8和x是直角边，15是斜边，运用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：当8和15是直角边，x是斜边时，则； 当8和x是直角边，15是斜边，则， ∴以为边长的正方形的面积为：289或161． 故答案为：289或161． 21. 已知实数满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，据此化简绝对值，再通过等式变形推导代数式的值． 【详解】解：二次根式的被开方数为非负数， ，即， 又， ，因此； 将上述结果代入原等式，得. 等式两边同时减去，整理得， 等式两边同时平方，得， 移项可得． 22. 我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，用裂项法将分数进行化简与计算是解题关键． 23. 如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，若，，则的长为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等积法，角平分线的性质定理，正确地作出辅助线是解答本题的关键．过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据已知条件得，然后设，，接下来根据等积法可得，可表示，再根据勾股定理求出y，即可求出x，可得，然后根据勾股定理求出，进而得出，最后根据勾股定理求出． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵平分，， ∴. ∵点E是的中点，且， ∴. 设，， ∵， ∴， 即， ∴. 根据勾股定理，得，且， ∴， 解得， ∴. 根据勾股定理，得， 解得， 则，. 根据勾股定理，得， ∴. 根据勾股定理，． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，共3分） 24. 已知， （1）求的值； （2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 【答案】（1）17 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算以及无理数的小数部分，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，以及利用公式和小数部分的定义进行计算． （1）先对、进行分母有理化，再利用完全平方公式和平方差公式计算的值； （2）先确定的范围，从而得到、的范围，进而确定它们的小数部分、，再代入式子计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 由（1）知， ， 又∵的小数部分为的小数部分为， ． 25. 先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值______； （3）解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，容易证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得．根据题意，，，由线段公理可得，，因此当、、三点共线时，取得最小值； （2）类比（1）的解法，构造，，，，，则．由勾股定理可得，，，，由可得，的最小值为； （3）构造，，，，，由勾股定理可得，，，根据题意可得，由可判断，利用面积法计算出． 【小问1详解】 解：如图2，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 根据题意，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； 【小问2详解】 解：如图3，设，，，，， 同理（1）可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，中，，，，， 由勾股定理可得，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 如图，在等腰三角形中，，，点D为底边上任意一点（D点不与端点重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转到点E，连接． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在点D变化过程中，试探究和的数量关系； 【深入探究】 （2）如图2，在点D变化过程中，线段与相交于点G，当为等腰三角形时，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，延长至点F，使得，连接，，试探究的最小值． 【答案】（1）， （2）的长为或， （3）的最小值为， 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和旋转的性质，通过证明三角形全等得出和的数量关 系即可； （2）先求出三角形的相关角度，再根据等腰三 角形的性质分情况讨论，利用勾股定理即可求出的长； （3）延长到点使，连，过作，过作，得出等边三角形，再利用勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系即可得解． 【小问1详解】 解：∵线段绕点A逆时针旋转到点E，连接， ∴，， ∵等腰三角形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵为等腰三角形， ∴分，，三种情况，设， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴此时与，重合，不符合题意，舍去， 当时，如图，作交于点，交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴，， ∴由勾股定理得，， ∴，， ∴， 解方程得或（舍去）， 当时，如图，作交于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或； 【小问3详解】 解：如图，延长到点使，连，过作，过作， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴在上， ∴， ∴， 在，，， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质并能灵活添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室中学初2028届八年级上数学十月作业抽样 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①9，40，41；②，，（a为正整数）；③13，14，15；④，1，． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长度为（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. 4 D. 5 6. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（　　） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点，若直线与x轴垂直，则m的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 使有意义的x的取值范围是___________． 10. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数是______． 11. 如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则___________． 12. 中，，，上的高，则__________． 13. 在平面直角坐标系中，若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为___________ 三、选择题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算、解方程： （1）； （2） （3）； （4）． 15. 把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 无理数集合： 分数集合： 整数集合： 非正数集合： 16. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，． （1）将先沿轴正方向平移5个单位长度，再沿轴负方向平移3个单位长度得到； （2）写出顶点坐标； （3）如果与全等，则请直接写出点的坐标． 17. 按要求回答问题 （1）已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． （2）已知实数，满足，的平方根是它本身，求的立方根． 18. 如图，在正方形中，，E为的中点，，连接，，． （1）证明：是直角三角形； （2）过点E作交于点G，交于点H，求的长； （3）在（2）的情况下，求的长． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 比较大小：_______ ． 20. 一直角三角形的三边分别为8，15，，那么以为边长的正方形的面积为_______． 21. 已知实数满足，则__________． 22. 我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）． 23. 如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，若，，则的长为________ ． 二、解答题（本大题共3小题，共3分） 24. 已知， （1）求的值； （2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 25. 先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值______； （3）解决问题：已知正数满足，则的值为______． 26. 如图，在等腰三角形中，，，点D为底边上任意一点（D点不与端点重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转到点E，连接． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在点D变化过程中，试探究和的数量关系； 【深入探究】 （2）如图2，在点D变化过程中，线段与相交于点G，当为等腰三角形时，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，延长至点F，使得，连接，，试探究的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $