精品解析：吉林长春市第五十三中学2026年-2027学年上学期八年级数学期中试卷

八年级数学 一、选择题（8小题共24分） 1. 下列实数：0，，，1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：，，是整数，为有理数； 是无限循环小数，为有理数； 是分数，为有理数； 无理数有，（相邻两个1之间依次多一个0），，共3个． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 算术平方根等于它本身的数是0和1 C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定，算术平方根的定义，绝对值的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项命题未限定点在已知直线外，是假命题； B．算术平方根等于本身的数是和，是真命题； C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，本选项命题未说明两条被截直线平行， 是假命题； D．取，，满足，但，本选项命题是假命题． 4. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法与除法，积的乘方，幂的乘法法则判断即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，，则，故本选项错误； D、，故本选项正确． 5. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图所示的长方形，可以得到的因式分解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用组合图形的思路求整体的面积，另直接求整体图形面积，进而得到因式分解． 【详解】解：运用组合图形的思路求整体的面积，直接求矩形面积 ∴． 6. 如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义得出，根据，得出，等量代换得到，则，根据，，结合的周长，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的周长， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 与的大小有关 【答案】B 【解析】 【分析】设，，先由直角三角形两锐角互余得到，再由题意及等腰三角形的性质得到和，最后在中，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设，，则在中，， 由题意可知， 和是等腰三角形， 则，， 在中，由可得． 二、填空题（6小题共18分） 9. 若实数满足，则的立方根是_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质和立方根的计算，解题的关键是利用“平方数和算术平方根均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个数均为0”的性质求出、的值． 先根据非负数的性质，由推出且；再解出、的值，计算；最后求的立方根． 【详解】解：，，且， ，． 解得，， ， ． 故答案为：． 10. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案为：或． 11. 若展开后不含x的一次项，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】将原式展开合并同类项后，利用“不含的一次项即一次项系数为”列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含的一次项， ∴的一次项系数为， ∴ 解得． 12. 如图，长、宽分别为、的长方形周长为，面积为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，整式的因式分解，根据题意得出，，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可． 【详解】解：长、宽分别为、的长方形周长为，面积为， ，， ， 故答案为：． 13. 如图，若大正方形与小正方形的面积之差为28，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】14 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， 由于大正方形与小正方形的面积之差是28，即， ． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提． 14. 如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 【答案】 ①③④ 【解析】 【分析】证明，得到，据此可判断①；证明，得到，据此可判断③④；过点作于点，证明，得到，可证明，推出，则可证明，再由，得到，据此可判断②． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 如图所示，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②错误； 综上所述，正确的有①③④ ． 三、解答题（共72分） 15. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式符合平方差公式形式，直接用公式分解； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】2 【解析】 【分析】根据数轴得到，则可确定的符号，据此化简绝对值求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 19. 已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2）的算术平方根为6 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质，算术平方根的计算，立方根的性质以及求代数式的值，准确计算是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得a的值；根据立方根的定义求得b的值； （2）先把a、b的值代入求解，再计算算术平方根即可． 【小问1详解】 解：∵一个正数的两个不同的平方根为和， ∴， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， ∴，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴的算术平方根为6． 20. 先化简，再求值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x=． 【答案】原式=﹣3x2+4，当x=时，原式=﹣2． 【解析】 【详解】试题分析：原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 试题解析：原式=x2+4x+4﹣4x2﹣4x=﹣3x2+4， 当x=时，原式=﹣6+4=﹣2． 考点：整式的化简求值． 21. 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】 (1)证明：平分， ， 在和中，， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线定义得出，由证明即可； （2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）略 （2），， ， 平分， ， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键． 22. 如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，           ∵， ∴， ∴，， ∴，        ∵， ∴，      ∴，             ∴是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即；再根据等边对等角即可证明结论； （2）先求得，再证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶ ∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 23. 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法，我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是 ； 【拓展应用】 根据（1）中的等量关系及课本所学的知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) ，(2)3，(3)79． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）由，则，利用面积公式和完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：(1)由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积， ∴； (2)由（1）可得， ∵ ， ， ； (3) 设，则， ∵， ∴， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和为 ． 24. 在中，，，，三点都在直线上． （1）若． ①如图1，若，则与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． （2）如图3，若，，，其余条件不变．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度由点向点的方向运动，请直接写出使得与全等时的值． 【答案】（1）①，； ②，理由如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）或 【解析】 【分析】（1）①推出，然后证明，即可得到，； ②同①证明，即可得到，，进而求解即可； （2）设运动时间为，根据题意分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ②略 【小问2详解】 解：设运动时间为， ∵， ∴当时，，， ∴，， ∴，； 当时，，， ∴， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（8小题共24分） 1. 下列实数：0，，，1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 算术平方根等于它本身的数是0和1 C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 若，则 4. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图所示的长方形，可以得到的因式分解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 8. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 与的大小有关 二、填空题（6小题共18分） 9. 若实数满足，则的立方根是_____． 10. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 11. 若展开后不含x的一次项，则__________． 12. 如图，长、宽分别为、的长方形周长为，面积为，则的值为_______． 13. 如图，若大正方形与小正方形的面积之差为28，则图中阴影部分的面积是_______． 14. 如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 三、解答题（共72分） 15. 计算： （1） （2）． 16. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 17. 因式分解： （1） （2） 18. 已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 19. 已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 20. 先化简，再求值：（x+2）2﹣4x（x+1），其中x=． 21. 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 23. 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法，我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是 ； 【拓展应用】 根据（1）中的等量关系及课本所学的知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 24. 在中，，，，三点都在直线上． （1）若． ①如图1，若，则与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． （2）如图3，若，，，其余条件不变．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度由点向点的方向运动，请直接写出使得与全等时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $