精品解析：吉林吉林市龙潭区吉化第六中学校2026-2027学年度八年级上学期期中考试数学试题

2026—2027学年上学期期中质量检测 八年级数学试卷 一．单选题（每题3分，共18分） 1. 武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，要运用“”判定．还需补充的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的“”判定定理，熟练掌握“”判定定理中两边及其夹角对应相等的要求是解题的关键．根据“”（边角边）判定三角形全等的条件，已有，，需要找到一组对应边相等，且这组边是与的另一边，所以分析各选项能否推出该边相等． 【详解】解：要运用“”判定，已知，，则还需要． ， ， ，满足“”的条件，符合题意． 对于选项B，，不符合“”的边的要求，不符合题意； 选项C，，不符合“”的边的要求，不符合题意； 选项D，，是“”的条件，不是“”的条件，不符合题意． 故选：A． 3. 如图，在中，，，则边上的高的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质求出，进而得到即可． 【详解】解： ，， ． ， ． 故选：C． 4. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点、、、均在格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用网格特征构造全等直角三角形，通过角度转换求解． 【详解】解：设小正方形边长为，如图，构造和． 在所在的中，，， 在所在的中，，． ，， 又， ． ． ， ． 5. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 6. 如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】如图：连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为即可解答． 【详解】解：如图所示：连接． ∵，D是中点， ∴于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，确定的长度的最小值是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为． 8. 已知，，则的度数为________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和定理解得的度数，然后根据全等三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，在中，，平分，交于点E，于点D，如果，，那么的长是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质．先根据线段的和差求出，再由角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴． 故答案为：2． 10. 如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F．过点F作于点E，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质及应用，熟练掌握等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，再由等边三角形的边长为4，得出的长． 【详解】解： ∵为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，．的延长线分别交，于点，，且，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，结合已知角度求出的度数，进而求出的度数，最后利用三角形内角和定理及对顶角相等推导与的关系即可求解． 【详解】， ，， ，， ， ， ， 在中，， 在中，， ，， ． 三．解答题（共87分） 12. 已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，且．求证：（填空）． 证明：， ，即． 在和中， ∵， （______）． （______）． 【答案】；；；；；全等三角形的对应角相等 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的判定条件，根据已知条件，通过全等三角形的判定定理证得，则全等三角形的对应角相等． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ∵， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为： ；；；；；全等三角形的对应角相等． 13. 如图，与关于直线l对称，其中，，，． （1）连接，写出线段与直线l的关系． （2）求的度数． （3）求的周长和的面积． 【答案】（1）直线l垂直平分 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质可直接得出答案； （2）成轴对称的两个图形全等，全等三角形的对应角相等； （3）根据全等三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：与关于直线l对称， 直线l垂直平分； 【小问2详解】 解：∵与关于直线l对称， ∴， ∴. 【小问3详解】 解：∵，，，， ∴，，， ∴的周长， 的面积， 即的周长为，的面积为． 【点睛】本题考查轴对称图形的性质，解题的关键是掌握：成轴对称的两个图形全等；如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线． 14. 如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】 证明：，， ∴， ， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差得出，最后利用“”证明即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 15. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，根据可得，再根据全等三角形的判定证明，最后根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】略 16. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】利用“”易证，即可得到． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握判定方法：①边边边:三边分别相等的两个三角形全等；②边角边：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；③角边角：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；④角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；⑤斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 17. 已知如图，，点D是的中点，平分，，垂足为E．且．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：，点D是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得，，由角平分线的定义和平行线的性质可求，可求解． 【详解】 略 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 18. 如图，在等腰中，，，腰的垂直平分线与底边交于点D，垂足为点E． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关性质，是解题的关键： （1）等边对等角，求出的度数，中垂线的性质，得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴， ∴． 19. 如图，已知：，，点E在的延长线上． （1）求证：垂直平分； （2）求证： 【答案】（1） 证明：∵，， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2） 证明：由（1）知垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质． （1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题; （2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知，D、A、E三点均在直线上，且． （1）如图1，若，，，则线段的长为 ； （2）如图2，判断、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若将“”变为“”，其他条件不变，且，，则线段的长为 ． 【答案】（1）9 （2） 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）3 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，据此即可求解； （2）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，可得答案； （3）利用邻补角的定义得，再利用三角形的外角性质可得到，再利用证明，得，可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 21. 问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； （2）类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 【答案】（1） （2） 解：与的数量关系，位置关系是． 理由： ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质． （1）根据证明即可； （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵ ∴ ∴ 在和中，， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 22. 在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． （1）在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） （2）当点与点重合时，求线段的长； （3）当为等腰直角三角形时，求值； （4）分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）2 （3）4或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）用的长减去点P运动的路程即可得到答案； （2）当点P与点C重合时求得，则可证明此时点Q从点C运动到点B的途中，由即可求解； （3）分三种情况：，和，根据等腰直角三角形的定义可得，据此建立方程求解即可； （4）分三种情况：，和，由全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴； 【小问2详解】 解：当点P与点C重合时，， ∴点Q的运动路程为， ∵， ∴当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， ∴； 【小问3详解】 解：点P从点A运动到点C的时间为秒，点P从点A出发再回到点A的时间为秒，当点Q在从C运动到点B的时间为秒， ∵，是等腰直角三角形， ∴； 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为4或； 【小问4详解】 解：当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期期中质量检测 八年级数学试卷 一．单选题（每题3分，共18分） 1. 武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，要运用“”判定．还需补充的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，则边上的高的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点、、、均在格点上，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二．填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 8. 已知，，则的度数为________． 9. 如图，在中，，平分，交于点E，于点D，如果，，那么的长是_________． 10. 如图，在等边三角形中，，D是的中点，过点D作于点F．过点F作于点E，则的长为______． 11. 如图，．的延长线分别交，于点，，且，，，则的度数为________． 三．解答题（共87分） 12. 已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，且．求证：（填空）． 证明：， ，即． 在和中， ∵， （______）． （______）． 13. 如图，与关于直线l对称，其中，，，． （1）连接，写出线段与直线l的关系． （2）求的度数． （3）求的周长和的面积． 14. 如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 15. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，，求证：． 16. 如图，已知，，，求证：． 17. 已知如图，，点D是的中点，平分，，垂足为E．且．求证：是等边三角形． 18. 如图，在等腰中，，，腰的垂直平分线与底边交于点D，垂足为点E． （1）求的度数； （2）若，求的长． 19. 如图，已知：，，点E在的延长线上． （1）求证：垂直平分； （2）求证： 20. 已知，D、A、E三点均在直线上，且． （1）如图1，若，，，则线段的长为 ； （2）如图2，判断、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若将“”变为“”，其他条件不变，且，，则线段的长为 ． 21. 问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； （2）类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 22. 在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． （1）在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） （2）当点与点重合时，求线段的长； （3）当为等腰直角三角形时，求值； （4）分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $