精品解析：2027年四川省南充高级中学中考数学样卷

南充市二〇二七年初中学业水平考试 数学（样卷） （满分150分，时间120分钟） 注意事项：1．答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置． 2．所有解答内容均需涂、写在答题卡上． 3．客观题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． 4．主观题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹签字笔书写． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分． 1. 如果温度上升3℃记作，那么温度下降5℃记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（） A. B. C. D. 4. 某奶茶店2026年5月1日和5月2日的单日单小时销量箱线图如下(单位：杯，销量越高越受欢迎，单小时销量低于50杯为冷清时段)，则下列说法正确的是 （ ） A. 该奶茶店5月1日没有冷清时段 B. 该奶茶店5月2日单小时销量的最大值比5月1日小 C. 该奶茶店5月1日单小时销量比5月2日更集中 D. 从整体上看，该奶茶店5月1日的销量略好于5月2日 5. 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图，若，则斜梁从变为时，增加部分的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，光线经过点，照射在平面镜（轴）上的点处，其反射光线交轴于点，再被平面镜（轴）反射得光线，则直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线：的图像交轴的负半轴于点，与直线相交于，两点，抛物线：的顶点在线段上移动，若抛物线的图像与线段仅有个公共点，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 计算：=___． 12. 如图，在三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长等于___________． 13. 某学习小组在探究平面组合图形重心时发现：把平面图形分割成甲、乙两部分，面积分别为，，建立平面直角坐标系，重心分别为，，这个平面图形重心坐标为，有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则此“”形图形的重心坐标为__________． 14. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边，边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边，边向终点运动．设运动时间．当时，点，位置如图．给出下面结论：①当时，四边形是平行四边形；②点，运动过程中，可以是等边三角形；③当面积为时，或；④在点，的运动过程中，线段长度的最大值为．其中正确结论为__________．（填写序号） 三．解答题（本大题共9小题，共94分） 解答题应写出必要的文字说明或推演步骤． 15. 计算与解方程 （1）计算：． （2）解方程组：． 16. 如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，连接、． （1）求证：． （2）若，请你先连接，再判断的形状，并说明理由． 17. 为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的名队员的成绩，分成以下五组：组（），组（），组（），组（），组（）．并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________；名队员比赛成绩的中位数落在__________组（选填组名）． （2）队员成绩的平均数能不能达到85分？（直接判断，不说理由） （3）从组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率． 18. 如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 19. 如图，是的外接圆，为直径，为的切线，连接交弦于，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 【情境引入】 定义：我们把形如（，均不为零），且两个解分别为，的方程称为“对轮分式方程”． 例如：为“对轮分式方程”，可化为， ∴两个解分别为，． 【问题解决】 （1）方程为“对轮分式方程”，则__________，_________． （2）若关于的方程是“对轮分式方程”，它的解分别为，，求的取值范围，并求代数式的最大值． 21. 根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材 南充某班级组织“畅游嘉陵江，探寻家乡美”春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，结合本地餐饮特色，现有，两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：川北特色面食 元 套餐满份及以上打七五折 套餐无折扣 ：南充特色盖浇饭 元 素材 该班级共名同学，每人都从，两种套餐中选择一种，一人订餐一份．经统计，有人确定套餐，人确定套餐，其余人两种套餐均可． 问题解决： （1）两种套餐皆可的人中，若有人选择套餐，该班订餐总费用为多少？ （2）设未确定套餐的名同学中有人选择了套餐，求该班订餐总费用元与之间的函数关系式，并写出的取值范围． （3）用于研学的餐费仅有元，如何分配名同学的套餐，才能使得该班更多学生品尝到川北特色面食？ 22. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该图象的对称轴． （2）若，，为函数图象上两点，当时，求的取值范围． （3）若，点，在抛物线上，且，当取某一范围值时，恒有，求的取值范围． 23. 【问题背景】 在等腰中，，点在直线上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． 【证明体验】 （1）如图，若，求的长度． 【思考探究】 （2）如图，当点在线段上时（点不与端点重合），求证：． 【拓展延伸】 （3）若，为上一点且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市二〇二七年初中学业水平考试 数学（样卷） （满分150分，时间120分钟） 注意事项：1．答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置． 2．所有解答内容均需涂、写在答题卡上． 3．客观题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． 4．主观题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹签字笔书写． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分． 1. 如果温度上升3℃记作，那么温度下降5℃记作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，如果温度上升3℃记作+3℃，那么温度下降5℃记作-5℃． 故选：D． 【点睛】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 2. 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键． 先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ． 【详解】解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ． ∴ 故选：D ． 3. 下列计算结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项，，结果正确； B选项，，选项结果错误； C选项，，选项结果错误； D选项，，选项结果错误． 4. 某奶茶店2026年5月1日和5月2日的单日单小时销量箱线图如下(单位：杯，销量越高越受欢迎，单小时销量低于50杯为冷清时段)，则下列说法正确的是 （ ） A. 该奶茶店5月1日没有冷清时段 B. 该奶茶店5月2日单小时销量的最大值比5月1日小 C. 该奶茶店5月1日单小时销量比5月2日更集中 D. 从整体上看，该奶茶店5月1日的销量略好于5月2日 【答案】C 【解析】 【分析】结合箱线图的定义与特征，逐项分析求解即可． 【详解】解：A．该奶茶店5月1日的单小时销量的最小值小于50，有冷清时段，该项错误； B．5月2日顶端线段（最大值）明显高于5月1日，所以2日单小时销量最大值更大，该项错误． C．5月1日的箱体宽度、整体数据区间都比2日窄，说明1日销量波动更小，数据更集中，该项正确． D． 1日与2日的中位数相同，最小值，下四分位数相同，但5月2日的上四分位数、最大值均高于1日，整体销量更好，所以1日销量不如2日，该项错误． 5. 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可列出方程． 【详解】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据题意，得 故选：A 【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 6. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据作图推出，得出，即可作答． 【详解】解：由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点． 故选：D． 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数的关系和一元二次方程根的判别式求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴． 8. 如图，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图，若，则斜梁从变为时，增加部分的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直平分得到，进而得到，因此，通过解直角三角形在中求出，在中求出，从而根据求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． ∵在中，， ∴． 9. 如图，在平面直角坐标系中，光线经过点，照射在平面镜（轴）上的点处，其反射光线交轴于点，再被平面镜（轴）反射得光线，则直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作轴于点E，则，易得，可设直线的解析式为，把点A、B的坐标代入即可求出k和b的值，于是可得直线的解析式，证明，求出点C的坐标，根据直线和一次项的系数相等，设出直线的解析式，把点C的坐标代入即可求得直线的函数表达式． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点E，则， 由题意得：，，， ， ， ∵， ， ， 设直线的解析式为， 把点A、B的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 直线的解析式为． 10. 如图，已知抛物线：的图像交轴的负半轴于点，与直线相交于，两点，抛物线：的顶点在线段上移动，若抛物线的图像与线段仅有个公共点，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点A、B、C的坐标及直线的解析式，用m表示抛物线的顶点坐标，联立与直线得到交点横坐标关于m的表达式，根据交点在线段上的个数，分情况求m的取值范围即可． 【详解】解：令，得，解得，， ∵点A在x轴负半轴， ∴， 令，得，解得， ∴，， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线为， ∵抛物线：的顶点在线段上移动， ∴，且，  ∴解析式为． 令，得，整理得， ∵抛物线的图像与线段仅有个公共点， ∴，即． 解得． 线段的横坐标范围为， ①当时，，即 （在线段外），（在线段上），符合题意； ②当时，解得（舍去）． 此时，即有两个公共点，不合题意； ③ 当时，，，仅有1个公共点，符合题意； ④当时，且，有两个公共点，不合题意； ⑤当时， ∵， ∴，即（在线段外）． 又∵，且， ∴仅有1个公共点，符合题意； ⑥当时，，仅有1个公共点，符合题意． 综上，m的取值范围是或． 二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 计算：=___． 【答案】1． 【解析】 【详解】解：因为分式的分母相同，所以只要将分母不变，分子相加即可：． 故答案为：1 12. 如图，在三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长等于___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】解：∵沿折叠点C落在边上的点E处， ∴． ∵， ∴， ∴的周长 故答案为：9 13. 某学习小组在探究平面组合图形重心时发现：把平面图形分割成甲、乙两部分，面积分别为，，建立平面直角坐标系，重心分别为，，这个平面图形重心坐标为，有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则此“”形图形的重心坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形，， ∴， ∵为的中点，， ∴，即； ∵， ∴； ∵四边形是矩形，， ∴， ∵为中点， ∴，即； ∵，， ∴，， ∴“”形的重心坐标为． 14. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边，边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边，边向终点运动．设运动时间．当时，点，位置如图．给出下面结论：①当时，四边形是平行四边形；②点，运动过程中，可以是等边三角形；③当面积为时，或；④在点，的运动过程中，线段长度的最大值为．其中正确结论为__________．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】当时，此时点P在上，点Q在上，可证明，再由可证明四边形是平行四边形；②分三种情况；当时，点P在上，点Q在上，当时，点P在上，点Q在上，当时，点P在上，点Q在上，根据等边三角形的性质讨论求解即可；分三种情况；当时，点P在上，点Q在上，当时，点P在上，点Q在上，当时，点P在上，点Q在上，分别用含t的式子表示出的面积，进而建立方程求解即可；④分三种情况；当时，点P在上，点Q在上，当时，点P在上，点Q在上，当时，点P在上，点Q在上，结合勾股定理讨论求解即可． 【详解】解：①当时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵， ∴此时点P在上，点Q在上， 如图所示， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当时，点P在上，点Q在上，此时， ∴不可能是等边三角形； 当时，点P在上，点Q在上， 此时， ∴不可能是等边三角形； 当时，点P在上，点Q在上， 此时， 由勾股定理得， ， 当时，则， ∴， 解得，此时点P与点Q都运动到了点C， ∴不可能是等边三角形； 综上所述，不可能是等边三角形，故②错误； ③当点在上，点在上，此时， ∵， ∴， ∴或（负值舍去）； 当点在上，点在上，此时， ∴， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时， ∴ ， ∴， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确； ④当点在上，点在上，此时， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为； 当点在上，点在上，此时，过点D作交于点R，则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 当点在上，点在上，此时， 此时一定满足； 综上所述，的最大值为，故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 三．解答题（本大题共9小题，共94分） 解答题应写出必要的文字说明或推演步骤． 15. 计算与解方程 （1）计算：． （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）逐项化简二次根式、特殊角三角函数值、负整数指数幂、绝对值项，再合并计算； （2）先将分式形式的方程整理为整式方程，再通过加减消元法求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：将第二个方程去分母整理得， 故原方程组化为， 得，解得， 将代入①得，解得， 因此方程组的解为． 16. 如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，连接、． （1）求证：． （2）若，请你先连接，再判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， 是它的对角线， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）如图，即为所求，是等边三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，得，，进而可证得； （2）根据正方形的性质和三角形外角定理可解得，再由全等三角形的性质以及等边三角形的判定求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 为落实五育并举，培养学生良好的审美情趣和艺术素养，某校举办了“庆五四”系列艺术展演活动．现对歌唱比赛成绩进行统计，将参赛的名队员的成绩，分成以下五组：组（），组（），组（），组（），组（）．并绘制出了两幅不完整的统计图（如图）．根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________；名队员比赛成绩的中位数落在__________组（选填组名）． （2）队员成绩的平均数能不能达到85分？（直接判断，不说理由） （3）从组的甲、乙、丙、丁四名队员中随机选择两名担任校园合唱队领唱，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名队员恰好被选中的概率． 【答案】（1）20；C （2）不能 （3） 【解析】 【分析】（1）用C组人数除以C组占比就可以求出总人数；根据中位数定义，该次比赛共20人，中位数是第10位和第11位队员的平均成绩，找出该两名的分组位置即可判断出中位数在哪一组. （2）按每组都取本组最高分来算平均分，比较即可得出答案． （3）列表统计出所有可能的结果计算即可． 【小问1详解】 解：， D组人数为：人， 把20个数据从小到大排列，中位数是第10，第11个数的平均数， ，， 即中位数在C组． 【小问2详解】 解：按每组都取本组最高分来算平均分为：， ∵， ∴队员成绩的平均数不能达到85分． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 由上表可知，共有12种可能的结果，其中甲、乙两名队员恰好被选中的结果有2种，所以甲、乙两名队员恰好被选中的概率：． 18. 如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式求出点的坐标，再由点的坐标求出反比例函数的解析式； （2）过点P作轴于点D，设，证明，根据相似三角形对应边成比例，列方程求解． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∵点在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为，即； 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴于点D， ∵、， ∴，， ∵点P在反比例函数第一象限图象上， ∴设，，， 在和中，，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴点P的坐标为． 19. 如图，是的外接圆，为直径，为的切线，连接交弦于，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴，即， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆切线的性质可知，由直径所对的圆周角等于90度以及直角三角形两个锐角互余得出，由等边对等角得出，即可得出，结合已知条件可得出，即可得出． （2）由正弦的定义得出，由垂径定理得出，，由勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 20. 【情境引入】 定义：我们把形如（，均不为零），且两个解分别为，的方程称为“对轮分式方程”． 例如：为“对轮分式方程”，可化为， ∴两个解分别为，． 【问题解决】 （1）方程为“对轮分式方程”，则__________，_________． （2）若关于的方程是“对轮分式方程”，它的解分别为，，求的取值范围，并求代数式的最大值． 【答案】（1）， （2）的取值范围为且，代数式的最大值为 【解析】 【分析】（1）方程为“对轮分式方程”，可化为，由此即可得出结果； （2）由“对轮分式方程”的定义可得，，将方程整理得，由题意可得，解得，由题意可得，均不为，则，表示出，从而即可得出结果． 【小问1详解】 解：方程为“对轮分式方程”，可化为， ∴两个解分别为，； 【小问2详解】 解：∵关于的方程是“对轮分式方程”，它的解分别为，， ∴，， 将方程整理得， 由题意可得， 解得， 由题意可得，均不为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，代数式取得最大值为， 综上所述，的取值范围为且，代数式的最大值为． 21. 根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材 南充某班级组织“畅游嘉陵江，探寻家乡美”春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，结合本地餐饮特色，现有，两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：川北特色面食 元 套餐满份及以上打七五折 套餐无折扣 ：南充特色盖浇饭 元 素材 该班级共名同学，每人都从，两种套餐中选择一种，一人订餐一份．经统计，有人确定套餐，人确定套餐，其余人两种套餐均可． 问题解决： （1）两种套餐皆可的人中，若有人选择套餐，该班订餐总费用为多少？ （2）设未确定套餐的名同学中有人选择了套餐，求该班订餐总费用元与之间的函数关系式，并写出的取值范围． （3）用于研学的餐费仅有元，如何分配名同学的套餐，才能使得该班更多学生品尝到川北特色面食？ 【答案】（1）该班订餐总费用为1144元． （2）当且为整数时，；当且为整数时，． （3）30名未确定套餐的同学中，安排21人选择A套餐，9人选择B套餐，能让最多学生品尝到川北特色面食． 【解析】 【分析】（1）先计算A套餐总份数，判断是否满足优惠条件，再分别计算A、B套餐的费用，然后求和即可得到总费用； （2）根据A套餐总份数是否达到20份分类，结合总费用的构成列出函数关系式，再根据m的实际意义确定取值范围； （3）要使品尝A套餐的学生最多，需在餐费限额内取m的最大值，结合对应函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：选择A套餐的总人数为（人）． ∵， ∴A套餐不享受优惠． 选择B套餐的总人数为（人）． 总费用（元）． 【小问2详解】 解：设未确定的30名同学中有m人选择A套餐，则有人选择B套餐． A套餐总人数为，B套餐总人数为． ① 当，即且m为整数时，； ② 当，即且m为整数时， ． 综上，当且为整数时，；当且为整数时，． 【小问3详解】 解：要使品尝川北特色面食（A套餐）的学生最多，需m尽可能大． 当时，，超出餐费限额，不符合要求． 当时，， ∵， ∴w随m的增大而增大． 令， 解得． ∵m为整数， ∴m的最大值为21． 此时，即21人选A套餐，9人选B套餐． 答：安排21名未确定的同学选择A套餐，9名选择B套餐，能让最多学生品尝到川北特色面食． 22. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该图象的对称轴． （2）若，，为函数图象上两点，当时，求的取值范围． （3）若，点，在抛物线上，且，当取某一范围值时，恒有，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出二次函数经过点，然后利用二次函数的对称性求解即可； （2）当时，得到，然后利用根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式的变形得到，然后结合求解； （3）首先得到抛物线开口向上，由得到，求出，然后得到当时，y随x的增大而减小，结合得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴当时， ∴二次函数的图象经过点 ∵二次函数的图象经过点 ∴该图象的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵二次函数对称轴为直线， ∴ ∴二次函数 ∵，的纵坐标相同 ∴，关于对称轴直线对称 当时， 整理得， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴抛物线开口向上 ∵点，在抛物线上，且 ∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴点在点左边 ∵对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而减小 ∵二次函数的图象经过点和 ∴当时， ∴ ∵ ∴ ∵二次函数的图象经过点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 要使恒成立，则 ∴或 又∵ ∴． 23. 【问题背景】 在等腰中，，点在直线上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． 【证明体验】 （1）如图，若，求的长度． 【思考探究】 （2）如图，当点在线段上时（点不与端点重合），求证：． 【拓展延伸】 （3）若，为上一点且，求的值． 【答案】（1） （2）证明：， ， 由（1）得， 同理可得，，， ，， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）作于，可得，，进而得出结论； （2）证明，进而得出结果； （3）当点在线段上时，作，交的延长线于，作于G，设，则，解直角三角形，求得的长，根据求得，进而求得，进一步得出结果；当点在的延长线上时，设，则，同样方法求得结果． 【小问1详解】 证明：如图1， 作于， ，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图2， 当点在线段上时，作，交的延长线于，作于G，设，则， 由（1）得，， 在中，，， ，， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图3， 当点在的延长线上时，设，则， 由（1）得，，作，交的延长线于，作于，同理可得，，， ， ， ， ， ， ， 综上所述：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $