精品解析：北京市朝阳区北京中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

初三年级数学学科试卷 满分100分 考试时间120分钟 考生须知 1．本试卷共8页，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，绕着某个定点旋转能够和自身重合的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对各选项图形进行分析，寻找定点，看绕定点旋转后是否能够与原图重合． 【详解】解：A、旋转不能和自身重合，该选项不符合题意； B、旋转不能和自身重合，该选项不符合题意； C、旋转不能和自身重合，该选项不符合题意； D、绕着图片中心点旋转能够和自身重合，该选项符合题意． 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 3. 一元二次方程化为一般式后，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对移项得，再结合一元二次方程的定义即可得出结果． 【详解】解：对移项得， ∵一元二次方程一般式为，且， ∴． 4. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用时，求函数值进行一一检验是否为0即可． 【详解】A.当时，，图象过点，选项A不合题意； B.当时，，图象过点，选项B合题意； C.当时，，图象过点，选项C不合题意； D.当时，无意义，选项D不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数解析式是解题关键． 5. 用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项得，再配方即可得出结果． 【详解】解：对移项得， 配方得， 即， ∴． 6. 将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，求出新图象的顶点坐标，然后顶点式写出新抛物线解析式即可得答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，-3）， ∴将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标为（-2，0）， ∴平移后得到的抛物线的解析式是． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 7. 如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格结构作、的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，、的垂直平分线相交于点Q， 则旋转中心点Q． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，．给出下面四个结论： ①四边形不可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，取，容易证明四边形是菱形；对于②，作于点，由的几何意义可得，，由等腰三角形的性质可得，结合等积变形可得为定值；对于③，设点的坐标为，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质可计算出的中点坐标为，由可判断的中点不在双曲线上；对于④，取，容易证明此时，再取，此时，因此必定存在的时刻． 【详解】解：对于①，当时，四边形是菱形，证明如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故①错误； 对于②，如图，作于点， 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为定值，故②正确； 对于③，设点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点的坐标为， 由中点公式可得，的中点坐标为， ∵， ∴的中点不在反比例函数的图象上， ∴点不可能是的中点，故③错误； 对于④，当，如图，取的中点，连接， 由①可知，四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由③可知，点的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象的上方， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在点移动的过程中，必然存在一个时刻，使得， ∴可能是直角三角形，故④正确； 综上，正确的结论为②④． 二．填空题（共16分，每题2分） 9. 一元二次方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 两边同时开平方得：， 方程的解为，． 10. 已知二次函数有最大值，写出一个满足条件的二次函数的解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】二次函数存在最大值的核心判定条件是抛物线开口向下，即二次项系数小于，据此构造简单解析式即可. 【详解】解：二次函数（）有最大值， 一定有， 取，，，可得二次函数开口向下，存在最大值． 11. 在平面直角坐标系中，点，，在反比例函数的图象上，比较，，的大小关系是________．（用“”把它们连接起来．） 【答案】 【解析】 【分析】将三个已知点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标值，再比较大小即可． 【详解】解：∵ 三个点均在反比例函数的图象上， ∴ 各点坐标满足函数解析式，将横坐标代入即可求出对应纵坐标， 将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵ 有理数大小关系为， ∴ 对应纵坐标的大小关系为． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，，则，，据此即可求解． 【详解】解：设关于的一元二次方程的另一个根是， 则， ∴． 故答案为：． 13. 随着人工智能技术发展，某科技公司研发的智能服务机器人产能不断提升．年该公司智能服务机器人年产量为万台；年、年连续两年扩产，预计到年年产量达到万台．设年至年智能服务机器人年产量的年平均增长率为，则根据题意可以列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知2025年的初始年产量为500万台，经过连续两年的相同年平均增长率增长后，2027年的年产量达到720万台，根据连续增长的数量关系建立对应等式即可． 【详解】解：∵ 年平均增长率为， ∴ 2026年的年产量为万台， ∵ 2027年在2026年的产量基础上保持相同的年平均增长率增长， ∴ 2027年的年产量为万台， ∵ 2027年的预计年产量为720万台， ∴ 可列方程为． 14. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握知识点是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解： ， 将绕点旋转到的位置 ，， ， 故答案为： 15. 如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B为y轴上一点，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，若点C恰好落在抛物线上，则点C的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质． 过B作轴，于N，于M，进而证明，求的C点的值，把C点的坐标代入解析式，即可求得C点坐标． 【详解】解：如图，过B作轴，于N，于M， 当时，， 解得：或， ∴， 由旋转的性质可得，，， ， ， ，，， ， 设，， ， 将代入 得， 解得，或， 点坐标为或  故答案为：或 16. 已知抛物线开口向下，与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在点，之间（包含端点）．有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④对于任意实数，总成立．其中正确的结论有________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】结合抛物线的对称轴、过定点坐标、轴交点范围，利用二次函数的最值性质逐一验证四个结论的正误． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故结论①正确， ∵抛物线过点， ∴将代入，得， 将代入上式，得，即， ∵抛物线与轴交点在之间（包含端点）， ∴， 将代入，得， 解得，故结论②正确， ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数的最大值为，即对任意，， 方程可整理为， ∵， ∴直线与抛物线无交点，对应方程没有实数根，故结论③错误， 将代入结论④的左侧表达式： ， ∵抛物线开口向下， ∴， 又∵对任意实数成立， ∴，即总成立，故结论④正确， 综上，正确的结论有①②④． 三．解答题（共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】运用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ，即， ， ∴，． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】根据方程根的定义得出，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 19. 已知二次函数．并回答以下问题： （1）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列表、描点、画出图象的方法，解答即可； （2）直接观察图象，即可． 【小问1详解】 解：列表如下： x 0 1 2 y 5 0 0 5 描点，并画出函数图象略； 【小问2详解】 解：观察图象得：当时，函数值的取值范围为． 20. 如图，中，，，点是边上一点，连接，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上，延长交于点． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）证明：将绕点旋转得到， ，． ， ， ． 中，，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，结合可得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，，则可求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出，则，根据等角对等边可得出． 【小问1详解】 解：将绕点旋转得到， ． ， ． ， ， ． 【小问2详解】 略 21. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是A． （1）求a和的值； （2）当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键． （1）先利用反比例函数求出，得到，把代入求出； （2）在同一坐标系中画出函数图象，根据图象进行解答即可． 【小问1详解】 解：把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到， 解得； 【小问2详解】 由（1）可知，函数即为函数， 当时，， 当过点时，，解得，即， 当时，为，与平行， 如图， 根据图象可知，当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，此时 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为， ∴， 解得． 23. 如图，在中，，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）依题意补全图形； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 解：依题意补全图形如下： （2） 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）先将线段绕点逆时针旋转，得到线段，再连接，即可得； （2）先根据直角三角形的性质和勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，则可得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得，，则可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，． 24. 小军同学计划为一幅长寸，宽寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 【答案】寸 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的建立与求解，矩形面积公式，根据题意构建关于画框宽度的一元二次方程是解题关键． 设画框左右宽度为寸，进而表示出上下宽度，再结合矩形面积公式与题目中的面积比例关系列出一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，最终得出画框宽度． 【详解】解：设摆台画框的左、右边宽度为寸，则上、下边宽度为寸， 已知创意画的长为寸，宽为寸，则创意画的面积为平方寸， 画框所占面积为创意画面积的， 画框的面积为平方寸， 画框与创意画的总面积为平方寸， 带画框的整体长为寸，宽为寸， ， 可得， 即， 解得，（不合题意，舍去）， 故摆台画框的左、右边宽度为寸． 答：摆台画框的左、右边宽度应是寸． 25. 消防队员在灭火时，水柱的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．在某天的演练中，水枪斜向上喷水，水枪喷口置于原点处，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱上的点的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，如图所示．设第一次出水的水柱的运动轨迹是，当水平距离时，水柱达到最大高度． （1）求抛物线的函数解析式． （2）将出水初速度由第一次的减小为第二次的，水柱的运动轨迹变为． ①请判断 （填写“”“”或“”）；结合图象和初速度的大小关系，推测抛物线的二次项系数的绝对值与其所对应的出水初速度的平方之间满足 （填写“正比例”或“反比例”）关系． ②为了探究以上的推测是否正确，小北同学查阅了资料：设出水初速度为，当斜向上喷水时，水柱在水平方向做匀速运动，水平距离与时间的关系：；竖直方向做匀变速运动，竖直高度与时间的关系：（其中为重力加速度，）．请你根据以上资料，通过计算说明①中的推测是否正确．并据此计算的值． 【答案】（1） （2）①；反比例；②正确， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①根据开口越大，二次函数系数的绝对值越小，判断与的大小即可，根据反比例函数的特点进行判断即可； ②由得，再将代入得出，从而得出二次项系数，从而验证推测正确，最后将代入求出结果即可． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线顶点为，设， 把点代入得：， 解得：， ∴这条抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①由图象可得：的开口比的开口大， ∴； 根据函数图象可知：初速度v越大，开口越大，越小；初速度v越小，开口越小，越大，因此推测二次项系数的绝对值与其所对应的出水初速度的平方之间满足反比例关系； ②由，得，代入得： ， ∵， ∴ ∴二次项系数， 即， ∴二次项系数的绝对值与其所对应的出水初速度的平方满足反比例关系， 即①中的推测是正确的． ∵， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过．顶点坐标为． （1）求的值，并用含的式子表示． （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点．过点作平行于轴的直线，交一条过原点的直线于点．已知直线与抛物线（除原点外）的另一个交点的横坐标为．若点从点运动到点的过程中，线段的长随的长增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）且 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式得，再由顶点横坐标对应对称轴公式得出； （2）先求出直线的解析式，用表示、坐标进而得到关于的函数，分、结合的取值范围与二次函数性质，求出满足条件的的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入二次函数，得 ； ∵二次函数顶点的横坐标为，即抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得抛物线的解析式为， 令，则， ∵直线过原点， ∴设其解析式为， 由题意得直线与抛物线的交点为， 解得， 直线的解析式为， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，且， ， ∵过点作平行于轴的直线，交直线于点， 的纵坐标与相同， 代入直线，得 解得， ， ∵点从点运动到点的过程中，线段的长随的长增大而增大，分两种情况讨论： ①当时，，即， 此时随增大而减小， ， ∴该函数开口向上，对称轴为， ∴此时在对称轴左侧，随增大而减小， 随增大而增大，满足条件； ②当时，，即， 此时随增大而增大， ， ∴该函数开口向下，对称轴为， 要使随增大而增大，需 解得， ； 综上所述，且． 27. 如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，交于点，作射线与的延长线交于点． （1）求的大小； （2）点是线段中点（点在点左侧），点在线段上，连接，当线段和满足什么数量关系时，线段，并证明． 【答案】（1） （2）补全图形， 当时，线段， 证明：作点关于的对称点，连接，，， 垂直平分， ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， 根据勾股定理，， ， 由得，点为的中点， 设，，则， ，， ， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角计算，由三角形内角和可得，进而可表示，再由三角形内角和表示，利用三角形外角的性质表示． （2）作点关于的对称点，连接，，，则可得到是等腰直角三角形，且可得，由，点为的中点可证得，由，可得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，故． 【小问1详解】 解：，， ， 由旋转可得，，， ， ， ； 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点绕着点旋转得到对应点为，点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“二次变换点”． （1）如图，已知点，，点是点关于点的“二次变换点”． ①当时，在图中画出点的位置，并直接写出点的坐标； ②的长度是否与有关？若有关，说明理由，若无关，求的长． （2）已知点，是边长为的等边三角形（点，，按逆时针方向排列），点是点关于点的“二次变换点”，在绕点旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 【答案】（1）①； ②的长与t的值无关， 由①得：，， ∴， 即的长为4； （2）的长为或 【解析】 【分析】（1）①根据“二次变换点”定义得到点绕着点旋转得到对应点为，点关于直线的对称点为，根据点，，得到点，，即可；②根据点，，即可求解； （2）连接，过点A作于点D，设点B绕着点C旋转得到对应点为，则点，C，B三点共线，根据“二次变换点”定义得到，点，N关于直线对称，垂直平分，从而得到，进而得到，进而得到当点N与点重合时， 的长最大，此时三线重合，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵点是点关于点的“二次变换点”， ∴点绕着点旋转得到对应点为，点关于直线的对称点为， ∵点，， ∴点， ∴， ∵， ∴点； 在图中画出点的位置略； ②略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点A作于点D，设点B绕着点C旋转得到对应点为，则点，C，B三点共线， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点是点关于点的“二次变换点”， ∴，点，N关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴当点N与点重合时， 的长最大，此时三线重合， 如图， 或 ∵点， ∴， ∴， ∴或， 即的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科试卷 满分100分 考试时间120分钟 考生须知 1．本试卷共8页，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，绕着某个定点旋转能够和自身重合的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程化为一般式后，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，．给出下面四个结论： ①四边形不可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ 二．填空题（共16分，每题2分） 9. 一元二次方程的解为________． 10. 已知二次函数有最大值，写出一个满足条件的二次函数的解析式________． 11. 在平面直角坐标系中，点，，在反比例函数的图象上，比较，，的大小关系是________．（用“”把它们连接起来．） 12. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 13. 随着人工智能技术发展，某科技公司研发的智能服务机器人产能不断提升．年该公司智能服务机器人年产量为万台；年、年连续两年扩产，预计到年年产量达到万台．设年至年智能服务机器人年产量的年平均增长率为，则根据题意可以列方程为________． 14. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则_____． 15. 如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B为y轴上一点，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，若点C恰好落在抛物线上，则点C的坐标为______． 16. 已知抛物线开口向下，与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在点，之间（包含端点）．有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不相等的实数根；④对于任意实数，总成立．其中正确的结论有________． 三．解答题（共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 已知二次函数．并回答以下问题： （1）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围； 20. 如图，中，，，点是边上一点，连接，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上，延长交于点． （1）求的度数； （2）若，求证：． 21. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是A． （1）求a和的值； （2）当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 23. 如图，在中，，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，． （1）依题意补全图形； （2）若，求线段的长． 24. 小军同学计划为一幅长寸，宽寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 25. 消防队员在灭火时，水柱的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．在某天的演练中，水枪斜向上喷水，水枪喷口置于原点处，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱上的点的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，如图所示．设第一次出水的水柱的运动轨迹是，当水平距离时，水柱达到最大高度． （1）求抛物线的函数解析式． （2）将出水初速度由第一次的减小为第二次的，水柱的运动轨迹变为． ①请判断 （填写“”“”或“”）；结合图象和初速度的大小关系，推测抛物线的二次项系数的绝对值与其所对应的出水初速度的平方之间满足 （填写“正比例”或“反比例”）关系． ②为了探究以上的推测是否正确，小北同学查阅了资料：设出水初速度为，当斜向上喷水时，水柱在水平方向做匀速运动，水平距离与时间的关系：；竖直方向做匀变速运动，竖直高度与时间的关系：（其中为重力加速度，）．请你根据以上资料，通过计算说明①中的推测是否正确．并据此计算的值． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过．顶点坐标为． （1）求的值，并用含的式子表示． （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点．过点作平行于轴的直线，交一条过原点的直线于点．已知直线与抛物线（除原点外）的另一个交点的横坐标为．若点从点运动到点的过程中，线段的长随的长增大而增大，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，交于点，作射线与的延长线交于点． （1）求的大小； （2）点是线段中点（点在点左侧），点在线段上，连接，当线段和满足什么数量关系时，线段，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点绕着点旋转得到对应点为，点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“二次变换点”． （1）如图，已知点，，点是点关于点的“二次变换点”． ①当时，在图中画出点的位置，并直接写出点的坐标； ②的长度是否与有关？若有关，说明理由，若无关，求的长． （2）已知点，是边长为的等边三角形（点，，按逆时针方向排列），点是点关于点的“二次变换点”，在绕点旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $