精品解析：宁夏长庆高级中学2026-2027学年第一学期高三第二次月考数学试卷

宁夏长庆高级中学2026-2027学年第一学期高三第二次月考数学试卷 满分：150分　考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（i是虚数单位），则（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 3. 函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极值 C. 在区间上不单调 D. 在处的切线的斜率大于0 4. 已知弧长为的扇形圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 定义在上的函数满足，且当时，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 函数零点的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人打算在国庆和双11期间各分两次购买某种物品若干，甲不考虑该物品单价升降且每次购买所花钱数相同，乙也不考虑该物品单价升降且每次购买数量相同.若两次单价不同，则从平均价格的角度考虑，下列判断正确的是（ ） A. 甲更省钱 B. 乙更省钱 C. 若双11降价，则乙更省钱 D. 若双11涨价，则乙更省钱 8. 已知，函数，满足对任意实数，，，都有成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面说法正确的是（　　） A. 角 与角 终边相同 B. 终边在直线 上的角 的取值集合可表示为 C. 若 是第二象限角，则 是钝角 D. 若 为第二象限角，则 为第一象限角或第三象限角 10. 下列说法正确的有（    ） A. 若，其否定为：，. B. 函数的图象恒过定点 C. 函数的值域为 D. 函数的最小值是 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上有解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_______． 13. 已知点在第二象限，则角的终边在第_________象限. 14. 若定义在上的函数同时满足： ①为奇函数； ②对任意的、，且，都有， 则称函数具有性质. 已知函数具有性质，则不等式的解集为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知 . （1）化简 ，并求 的值； （2）若 ，求 的值. 16. 设函数在处取得极大值1． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，两锐角的始边都为轴非负半轴，终边分别与单位圆O交于两点，若点A的横坐标为，点B的纵坐标为. （1）分别求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 已知为奇函数，且． （1）求实数的值； （2）求的值域； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）当，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）证明：若有两个零点，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏长庆高级中学2026-2027学年第一学期高三第二次月考数学试卷 满分：150分　考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 已知复数（i是虚数单位），则（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的减法运算及复数的模的计算公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极值 C. 在区间上不单调 D. 在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【解析】 【分析】借助导函数图象与原函数图象的关系，函数单调性、最值、极值的定义与导数的意义即可判断. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的最小值，也是函数的极小值，在区间上单调递增， 在处的切线的斜率大于0，即A、B、C错误，D正确. 故选：D. 4. 已知弧长为的扇形圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弧长公式求出半径，再利用扇形面积公式求解面积即可. 【详解】设扇形的半径为，由弧长公式得， 解得，由扇形面积公式得面积为，故D正确. 故选：D 5. 定义在上的函数满足，且当时，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可知函数是周期为1的周期函数. ， 因为，代入，得，所以. 6. 函数零点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合思想，分别作出和的图象即可求解. 【详解】解：由，得函数的定义域为， 函数零点的个数零点个数， 即函数的图象和函数的图象的交点个数， 如图所示： 数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为． 故选:C． 7. 甲、乙两人打算在国庆和双11期间各分两次购买某种物品若干，甲不考虑该物品单价升降且每次购买所花钱数相同，乙也不考虑该物品单价升降且每次购买数量相同.若两次单价不同，则从平均价格的角度考虑，下列判断正确的是（ ） A. 甲更省钱 B. 乙更省钱 C. 若双11降价，则乙更省钱 D. 若双11涨价，则乙更省钱 【答案】A 【解析】 【分析】设国庆购买的单价为，双11购买的单价为，且，设甲每次购买的钱数为x（x>0），得到平均价格为，乙每次购买的数量为y，得到平均价格为，再利用基本不等式比较.. 【详解】设国庆购买的单价为，双11购买的单价为，且. 设甲每次购买的钱数为x（x>0），则平均价格为=； 乙每次购买的数量为y，则平均价格为=. 因为当，且时，有<2， 所以<， 所以甲更省钱. 故选：A 8. 已知，函数，满足对任意实数，，，都有成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得在单调递增，分类讨论，的单调性即可求解. 【详解】由题意得：在单调递增， 当时，单调递增，所以， 当时，，令，则在上单调递增， 要使得在单调递增，只需， 综上，要使得在单调递增，只需， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面说法正确的是（　　） A. 角 与角 终边相同 B. 终边在直线 上的角 的取值集合可表示为 C. 若 是第二象限角，则 是钝角 D. 若 为第二象限角，则 为第一象限角或第三象限角 【答案】AD 【解析】 【分析】根据终边相同的角、象限角的定义与性质，结合角的周期性逐项分析判断即可. 【详解】选项A：终边相同的角相差，又，是的整数倍，因此两角终边相同，A正确. 选项B：终边在直线上的角包含第二、四象限两部分，取值集合为，B错误. 选项C：第二象限角是终边落在第二象限的角，可表示为， 钝角仅指范围内的正角，如是第二象限角但不是钝角，C错误. 选项D：若为第二象限角，则， 则，为第一象限角或第三象限角，D正确. 10. 下列说法正确的有（    ） A. 若，其否定为：，. B. 函数的图象恒过定点 C. 函数的值域为 D. 函数的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题可判断A，令，可判断B，由可判断C，由，可判断D. 【详解】对于A，命题为存在量词命题，则命题的否定为：．A正确；  对于B，由，令得，即函数图象恒过定点，故B正确； 对于C，因为，所以值域为，故C错误； 对于D，因为，所以，所以函数的最小值是，故D正确． 故选：ABD． 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上有解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定选项的正误 【详解】A选项，，定义域为， ，令，解得， 当时，，∴函数在上单调递增， 当时，，∴函数在上单调递减， ∴函数在时取得极大值也是最大值，故A对； B选项，∵时，，，， 当时，，如图所示： ∴函数有且只有唯一一个零点，故B错； C选项，∵当时，为单调递减函数，∴， ∵，所以，故C对； D选项，若在上有解，即在上有解， 由上可知函数在上单调递减，所以， 于是有，故D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知点在第二象限，则角的终边在第_________象限. 【答案】二 【解析】 【详解】因为点在第二象限，所以， 所以角的终边在第二象限 14. 若定义在上的函数同时满足： ①为奇函数； ②对任意的、，且，都有， 则称函数具有性质. 已知函数具有性质，则不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，分析该函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，即，可得出，解之即可. 【详解】构造函数，则该函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则， 所以，故函数为偶函数， 对任意的、，且，都有， 不妨设，则，即， 所以函数在上为减函数， 由，得，即， 所以，即，整理得，解得， 故原不等式的解集为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知 . （1）化简 ，并求 的值； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简求解即可. （2）根据同角的三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 由诱导公式得 ，， ，， 故 ， 所以 . 【小问2详解】 由 ，得， 则 . 16. 设函数在处取得极大值1． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为17. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的极值点及极值列式求出，再验证即可. （2）利用导数求出指定区间上的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由在处取得极大值1，得，解得， 此时，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值1， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则当或时，取得最小值；当时，取得最大值17， 所以在上的最小值为，最大值为17. 17. 如图，在平面直角坐标系中，两锐角的始边都为轴非负半轴，终边分别与单位圆O交于两点，若点A的横坐标为，点B的纵坐标为. （1）分别求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义以及同角三角函数之间的关系计算； （2）利用两角和的正弦公式计算； （3）根据三角函数值确定的范围，进而求出的范围，再利用倍角公式和两角和的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 由题意得，，， 因为均为锐角，所以，，则； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为， ， 所以， 因为，为锐角，所以， 因为，为锐角，所以， 所以，则. 18. 已知为奇函数，且． （1）求实数的值； （2）求的值域； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质和已知条件列方程组，并进行验证即可求解； （2）根据函数解析式分析时的值域，再由奇函数对称性得整体值域即可； （3）利用函数单调性和奇偶性将不等式转化为，求在上的最大值即可得解. 【小问1详解】 由题可知的定义域为． 因为为奇函数，所以，即， 又，所以，则． 所以， 验证可知，为奇函数． 【小问2详解】 由（1）可知． 当时，，所以， 则，，所以， 即时，． 又为奇函数，所以当时，， 所以的值域为． 【小问3详解】 因为单调递增，则单调递增，单调递减，单调递增， 所以既是奇函数又是增函数， 所以不等式即， 等价于，即，即， 所以原问题等价于在时有解． 因为，当时，， 所以，则， 所以，即，所以实数的取值范围是． 19. 已知函数. （1）当，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）证明：若有两个零点，则. 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）知，在单调递减，单调递增，极小值点. 有两个零点，则两零点分居极值点两侧：不妨设. 要证，也就是证. 由，可知. 因为在单调递增，所以只要证明。 又，因此只需证. 构造函数，，显然. . 令，求导得: ，所以在单调递减. ，得，所以， 即. 代入，括号内式子小于0，而，所以. 在单调递减，于是， 也就是，. 取，得. 因为，所以. 都大于 1，在递增， 所以，即.证毕. 【解析】 【分析】（1）求导，代入得斜率；求得切点；写出切线； （2）求导找单调性，得最小值在；最小值右侧式子，解关于的不等式； （3）设零点，将证转化为证，构造判断单调性完成证明. 【小问1详解】 ，，定义域. . ，切点，斜率，切线方程：. 【小问2详解】 定义域， ，令. ，递减；，递增. 所以. 条件恒成立，等价于最小值满足： ， 解得. 【小问3详解】 略. 【点睛】极值点偏移：零点分居极值点两侧不等式变形，转移到同一单调区间构造差函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $