精品解析：宁夏长庆高级中学2025-2026学年第一学期高三第二次月考数学试卷

宁夏长庆高级中学2025-2026学年第一学期高三第二次月考数学试卷 一、单选题：本卷共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把两个集合化为区间，再取它们的公共部分，并注意端点是否能取到． 【详解】由题意，，． 两集合的公共部分满足 ，所以 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出复数，再根据复数模的计算公式求出． 【详解】， ， ． 故选：B． 3. 关于 的不等式 是 成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得 由，可得，所以充分性成立； 但由，得不到，则必要性不成立. 所以 是  成立的充分不必要条件. 4. 函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ） A. 是函数 的极大值点 B. 在 处切线的斜率小于零 C. 是函数 的最小值点 D. 在区间 上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象与单调性的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】由导函数 的图象可知：当时，，当时，， 对于AC，是函数 的极小值点，无极大值点，故AC错误， 对于B，由导数图象可知，故 在 处切线的斜率大于0，B错误， 对于D, 由于时，，故 在区间 上单调递增,D正确. 5. 已知，为第一象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用商关系和平方关系可求答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，； 因为为第一象限角，所以. 故选：A 6. 已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性可得，距离y轴近的点，对应的函数值较小，可得选项. 【详解】因为函数满足，且函数在上是减函数，所以可知距离y轴近的点，对应的函数值较小；，且，所以，故选B. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养. 7. 已知函数的定义域为，求实数的取值集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为对恒成立；分别在和两种情况下，结合二次函数性质可构造不等式组求得结果. 【详解】因为函数的定义域为，所以对恒成立， 当时，不等式为，满足题意； 当时，，解得：， 综上所述：. 故选：B. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对称性和奇偶性，即可求解. 【详解】解：因为为奇函数，所以有，故 ， 故选:B. 二、多选题：本卷共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内. 9. 已知角 的终边经过点 ，则（ ） A. θ为第四象限角 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解ABC，利用诱导公式以及弦切互化，即可求解D. 【详解】对于A，由于点位于第四象限，故θ为第四象限角，A正确， 对于B, ，B正确， 对于C，，C正确， 对于D, ，D错误， 10. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】，解得，所以在上单调递减，故A正确； 又时，单调递减，单调递增，， 所以时，的值域为，故B错误； 在上单调递减，在和单调递增， ，所以只有一个零点，故C错误； 因为，所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：AD. 11. 已知定义域为R的是奇函数，则（ ） A. B. 在R上单调递增 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为是定义域为R的奇函数，所以，即，解得，此时，，是奇函数，故，故A正确．因为，所以在R上单调递减，故B错误．因为，所以，所以，故C正确．因为在R上单调递减，所以，即，解得或，所以的解集为，故D正确．故选ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义直接计算. 【详解】由已知， 则， 故答案为：. 13. 已知为函数的极小值点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性可知结果. 【详解】，令，则；令，则， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值点，所以. 故答案为： 14. 已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分离参数法得到，令，求出即可. 【详解】解：， 即， 即， 又， ， 令， 则， 在上单调递减，在上单调递增， ， 解得：. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）. （2） 【答案】（1）121 （2）7 【解析】 【分析】（1）根据指数式运算法则对式子进行化简求解即可. （2）根据对数的运算法则进行化简求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知奇函数满足当时，. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，利用奇函数的定义进一步计算即可； （2）考查函数的单调性，转化不等式，解出即可. 【小问1详解】 当时，. 因为是奇函数，所以， 所以 【小问2详解】 易得函数在上单调递增, 因为是奇函数，所以在上单调递增. 因为， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 17. 已知 （1）化简； （2）若 是第三象限角，且 ，求 的值； （3）若 ，求 的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可， （2）利用诱导公式及同角关系即可求解， （3）利用特殊角以及诱导公式化简求解. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 由可得，即， 由于 是第三象限角，故， 因此 【小问3详解】 当时， 18. 某农业科学院果树研究所在培育新品种苹果树的研究中，选择6个果园试种新品种苹果树，得到样本数据如下表： 果园的面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 6 产量（单位：吨） 2.6 6.3 9.3 11.2 16.5 18.3 （1）若果园的面积（单位：亩）与产量（单位：吨）满足线性回归关系，试求关于的线性回归方程； （2）果树研究所在某县大面积推广此品种苹果树，以这6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为概率，从该县果园中随机抽取3个，其中亩产量高于3吨/亩的果园的个数记为，求的分布列和数学期望． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 期望为2 【解析】 【分析】（1）首先求，再根据参考公式求和，求回归直线方程； （2）首先求这6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为概率，再转化为二项分布求分布列和数学期望. 【小问1详解】 ，， ， 所以， ， 所以； 【小问2详解】 由题意可知，6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为， 则， ，， ，， 即的分布列为 0 1 2 3 . 19. 已知函数，. （1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数k的值； （2）设，当时， （i）证明：函数存在唯一的极大值点； （ii）证明：. 【答案】（1） （2） （i）,, 令，由正切函数性质得在上单调递减，结合零点存在性定理，必定存在作为零点，令，， 令，，故在单调递增，在单调递减， 函数存在唯一的极大值点 （ii）由前问知当时，，且， 故， 证明即可，令，证即可， 即证，令，则 故在上单调递增，即 故原不等式得证 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质直接求解即可. 求导后判定导数单调性，后用零点存在性定理找到导函数变号零点即可. 利用前两问的结论先进行放缩，后构造函数求解即可. 【小问1详解】 ，, 在处的切线与直线垂直，, 故，即值为 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了导数的综合应用，运用放缩法进行解题，凸显了技巧性，还需考生多加练习. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏长庆高级中学2025-2026学年第一学期高三第二次月考数学试卷 一、单选题：本卷共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 关于 的不等式 是 成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ） A. 是函数 的极大值点 B. 在 处切线的斜率小于零 C. 是函数 的最小值点 D. 在区间 上单调递增 5. 已知，为第一象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为 A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，求实数的取值集合（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多选题：本卷共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内. 9. 已知角 的终边经过点 ，则（ ） A. θ为第四象限角 B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 11. 已知定义域为R的是奇函数，则（ ） A. B. 在R上单调递增 C. 的值域为 D. 的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 13. 已知为函数的极小值点，则______. 14. 已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）. （2） 16. 已知奇函数满足当时，. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 17. 已知 （1）化简； （2）若 是第三象限角，且 ，求 的值； （3）若 ，求 的值. 18. 某农业科学院果树研究所在培育新品种苹果树的研究中，选择6个果园试种新品种苹果树，得到样本数据如下表： 果园的面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 6 产量（单位：吨） 2.6 6.3 9.3 11.2 16.5 18.3 （1）若果园的面积（单位：亩）与产量（单位：吨）满足线性回归关系，试求关于的线性回归方程； （2）果树研究所在某县大面积推广此品种苹果树，以这6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为概率，从该县果园中随机抽取3个，其中亩产量高于3吨/亩的果园的个数记为，求的分布列和数学期望． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 19. 已知函数，. （1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数k的值； （2）设，当时， （i）证明：函数存在唯一的极大值点； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $