精品解析：宁夏银川市唐徕中学2027届高三年级上学期第2次月考数学试卷

银川唐徕中学2027届高三年级第2次月考 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷上作答无效． 3．非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 20 3. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4. 在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 7. 已知，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 17 8. 已知定义域为R的函数，对于任意的，，且，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. “，”的否定为“，” B. 用二分法求方程在区间上的实根，下一个有根区间是 C. 所有的幂函数图像均过点 D. 若的定义域为，则的定义域为 10. 已知直线与的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，，且，则（ ） A. B. 函数的定义域为 C. 点是函数的图象的一个对称中心 D. 函数与的图象在上的交点个数为 11. 下列结论中，正确的是（ ） A. 已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则 B. 在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则为的外心 C. 中，为定点，若动点满足，，则的轨迹一定通过的外心 D. 中，为内心，内角，，对应的边分别为，，，且，，，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，与的夹角为，则________． 13. 偶函数满足，则________． 14. 若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值： （1）； （2），求． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）若函数与的图象关于对称，求不等式的解集． 17. 的内角，，的对边分别是，，．已知． （1）求； （2）若，求的最大值； （3）若点在边上，为的平分线且长度为1，求 18. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2） ，求的值域; （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知，． （1）求的单调区间； （2）若对内的任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川唐徕中学2027届高三年级第2次月考 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷上作答无效． 3．非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简两个集合，结合集合的补集和并集运算可得答案. 【详解】由，解得或，所以， 又，所以 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出，再用模的坐标表示求解即可. 【详解】向量，，由，得，则， 所以. 故选：B 3. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为为纯虚数，所以，故． 4. 在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是边上的中点， 所以，即. 故选：A. 5. 已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得， 故，解得. 6. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列前n项和与通项的关系推导数列为等比数列，求出通项后计算的值. 【详解】当时，，解得； 当且时，由可得， 两式作差得， 化简得，即， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，通项公式为， 故. 7. 已知，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：由，利用基本不等式结合“”的妙用即可求解； 方法二：由，则，再结合基本不等式即可求解. 【详解】方法一：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 方法二：， 则 ， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B. 8. 已知定义域为R的函数，对于任意的，，且，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，变形可得，设，根据单调性的定义，可得的单调性，将条件整理为，根据的单调性，即可得答案. 【详解】由，得，即， 设，则，所以在R上单调递增， 由，得， 因为，所以， 由，可得， 因为在R上单调递增，所以，解得. 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. “，”的否定为“，” B. 用二分法求方程在区间上的实根，下一个有根区间是 C. 所有的幂函数图像均过点 D. 若的定义域为，则的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A根据全称量词命题的否定判断；B根据函数在区间端点及中点处的函数值符号判断；C根据幂函数的性质判断；D由复合函数的定义域求解． 【详解】对于A，“”的否定应为“”，A错误． 对于B，设，则，． 因为在上连续，且，所以方程在内有实根，B正确． 对于C，幂函数在时均有，所以图象均过点，C正确． 对于D，有意义当且仅当，解得，所以定义域为，D正确． 10. 已知直线与的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，，且，则（ ） A. B. 函数的定义域为 C. 点是函数的图象的一个对称中心 D. 函数与的图象在上的交点个数为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数最小正周期求出判断选项A；利用解析式求正切型函数的定义域判断选项B；整体代入法求函数的对称中心判断选项C；作出函数图象得交点个数判断选项D． 【详解】由题意得，函数最小正周期， 则有，故，A错误； 因为，所以， 所以，B正确； 令，解得， 则函数图象的对称中心为， 令，故是图象的一个对称中心，C正确； 画出函数与函数的图象， 可得两函数图象在上共有个交点，D错误. 11. 下列结论中，正确的是（ ） A. 已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则 B. 在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则为的外心 C. 中，为定点，若动点满足，，则的轨迹一定通过的外心 D. 中，为内心，内角，，对应的边分别为，，，且，，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理，向量线性运算，三角形重心，垂心的性质分析以及向量数量积的运算及几何意义，三角形五心的性质，余弦定理，正弦余弦二倍角公式等逐项分析即可. 【详解】选项A，取的中点，如图所示： 因为为的重心， 所以， 设，则， 因为点三点共线，所以，解得，即， 所以，故A正确； 选项B，取的中点，如图所示： 则，由， 所以，所以共线， 因为为的垂心，所以，所以， 又因为为的中点，所以垂直平分， 所以在的垂直平分线上，但是不一定在的垂直平分线上， 所以故不一定是的外心，故B错误； 选项C，如图所示：设， 由， 则，即， 因为分别为与向量方向相同的单位向量， 所以的和向量在的角平分线上， 所以点经过的内心，故C错误； 选项D， 由余弦定理， 因为，所以， 所以， 又因为，其中为的内切圆的半径， 所以，解得：， 因为， 过点作，， 所以在上的投影数量为， 又， 所以， 故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，与的夹角为，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由向量数量积的定义可得：  13. 偶函数满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数的性质求，再利用周期性求． 【详解】因为是偶函数，所以． 在中令，得，所以． 因此． 又，所以． 14. 若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同构将函数进行化简，再将其的零点个数转化成两个函数的交点，再求的取值范围. 【详解】函数有且仅有两个零点，即有两个根，且由图像易得两根均大于1， 又因为，所以则，即 令，则，又因为恒大于1，，可得 又因为，可得在上恒增， 即有两交点，等价于有两根，所以有两交点， 又因为的图像如图 且的根为，则在上单增，在上单减，且时，， 又因为有两交点，则， 则. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值： （1）； （2），求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 . 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）若函数与的图象关于对称，求不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知，，，解得，根据对称性得到图像过，再代入计算即可求解析式； （2）令即可求单调递增区间； （3）先求得，再利用奇偶性、单调性及周期性解不等式即可． 【小问1详解】 由图知，，， ，解得， 又过点，即，， ，解得， ，， ； 【小问2详解】 的单调递增区间为， ， 解得， 故的单调递增区间为； 【小问3详解】 函数与的图象关于对称， ， 则函数的最小正周期，且为偶函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 的解集为． 17. 的内角，，的对边分别是，，．已知． （1）求； （2）若，求的最大值； （3）若点在边上，为的平分线且长度为1，求 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式角化边，结合余弦定理推导的值，进而求得角； （2）借助余弦定理建立的关系，结合基本不等式求解的最大值； （3）利用三角形总面积等于两个角平分线分割的小三角形面积之和，化简得到所求表达式的值. 【小问1详解】 对已知等式， 由正弦定理， 角化边得：， 整理得， 代入余弦定理，得：， 因为，故. 【小问2详解】 由余弦定理，代入， 得：， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 代入上式得：， 即，因为，故， 当且仅当时取等，因此的最大值为. 【小问3详解】 因为为的平分线，故， 由， 代入面积公式得：， 代入，化简得：， 因此. 18. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2） ，求的值域; （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出，再代入检验即可； （2）利用单调性得出函数在上的值域，令，换元后，再由二次函数的性质可得函数的值域； （3）由函数的单调性及奇偶性，可得恒成立，分类讨论，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 函数是定义域上的奇函数， ，即，解得． 此时，则，符合题意； 【小问2详解】 因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递增， 所以函数在上为增函数，所以可得， 令，则，且， 所以原函数可化为， 所以当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为， 所以可得的值域为． 【小问3详解】 由不等式恒成立， 可得恒成立，即恒成立， 即恒成立， 当时，对不恒成立，故不符合题意； 当时，不等式恒成立， 需满足，解得， 所以实数的取值范围. 19. 已知，． （1）求的单调区间； （2）若对内的任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，通过，求解即可； （2）把不等式转化为恒成立，令，求得为增函数，结合，，得到，使得，得到，求得，得出的单调性和最小值，即可求解. 【小问1详解】 由，， 求导得：， 当时，， 当时，， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问2详解】 因为函数，，， 由不等式，可得， 所以恒成立， 令，则， 令，， 所以在为增函数， 因为，， 故，使得， 即，可得，所以， 又由函数，可得， 所以在单调递增， 又 所以，可得，即， 同时， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故， 所以， 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $