期中模拟提升卷（测试范围：第十三～十五章）2026-2027学年人教版八年级上册数学

2026-2027学年八年级上册数学期中模拟提升卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点O，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，为的中点，延长交于点，为上的一点，于点．下列判断错误的是（     ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 3．如图，若与关于直线对称，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，平分．若＝，＝，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图，与关于直线对称，，，则长度为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 7．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E．已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 8．如图，在等腰中，，，于点D，M、N两点分别是线段上的动点，则的最小值是（     ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 9．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，平分，交于点D，，交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接，则下列结论中不成立的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知a，b，c为的三边，且满足，，则c的取值范围是______． 12．如图，在中，平分，交于点，于点．若，，则的度数是________． 13．如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______cm． 14．如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为___________． 15．如图，在四边形中，和都是直角，且，现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，则________，若，则________． 16．如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是_______千米． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 18．已知，请用直尺和圆规完成下面的作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，请在的边上找一个点P，使得点P到点A和点C的距离相等． (2)如图2，已知中，，请在边上找一点Q，使Q到边的距离等于的长度． 19．探究以下问题： (1)如图1，在中，，，求的高与的比． (2)如图2，在中，，点分别在边，上，且，，，垂足分别为．若，求的值． 20．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)证明：； (2)证明：； 21．如图①，在中，是的中点，于，于，． (1)求证：平分； (2)如图②，连接，求证：垂直平分． 22．如图，在中，平分，与线段的延长线交于点． (1)证明：； (2)试探究线段和的数量关系，并证明你的结论． 23．从“一线三等角”到一线四等角． (1)如图1，与中，，试证明． (2)如图2，在（1）的条件下，聪明的小赵发现此时上还存在一个点，使得，，试证明． (3)在（1）的条件下，若，，请直接写出与的关系． 24．【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________； A．    B．   C．    D． (2)连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是________； (3)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． (4)在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学期中模拟提升卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.如图，为了估计池塘岸边两点A,B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点O,测 得AO=80m,B0=40m,则A,B两点之间的距离可能是() A.30m B.40m c.105m D.125m 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系得出40<AB<120,根据AB的取值范围判断即可. 【详解】解：根据三角形的三边关系定理得： 80-40<AB<80+40 即：40<AB<120, ∴.A、B的距离在40m和120m之间， ∴.A、B之间的距离可能是105m. 2.如图，在△ABC中，∠I=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E,F为AB上 的一点，CF⊥AD于点H.下列判断错误的是() 试卷第1页（共3页） E A.AG是△ABE的角平分线 B.CH为△ACD边AD上的高 C.BE是△ABC边AC上的中线 D.AH为△AFC的高线 【答案】C 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可. 【详解】解：A.∠1=∠2， ∴.AG是△ABE的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意： B..CF⊥AD, ∴.CH为△ACD边AD上的高，故本选项结论正确，不符合题意： C.G为AD的中点， .BG是△ABD边AD上的中线，故原说法不正确，符合题意： D.CF⊥AD, ∴，AH为△AFC的高线，故本选项结论正确，不符合题意. 3.如图，若△ABC与△A'B'C关于直线MN对称，则下列说法不一定正确的是() 试卷第2页（共3页） A.AB=A'B' B.AB∥B'C C.BB'⊥MN D.AA∥BB 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可. 【详解】解：·△ABC与△AB'C关于直线MN对称， :AB=A'B',BB'L MN,AA'l/BB', ∴只有选项B符合题意 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC.若∠BAE=32°，∠CAD=24°， 则∠B的度数为() E D A.45° B.50° C.55° D.60° 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义结合∠BAE=32°可得出∠CAE的值，进而可得出∠DAE、 试卷第3页（共3页） ∠BAD 的值，在△ABD ∠B 中利用三角形内角和定理可求出一”的值，此题得解 【详解】解：AE平分∠BAC,∠BAE=32°， ∴.∠CAE=∠BAE=32° ∴.∠DAE=∠CAE-∠CAD=8° ∴.∠BAD=∠BAE+∠DAE=40° .AD⊥BC ∴.∠ADB=90° ∴.∠B=180°-∠BAD-∠ADB=50° 5.一个三角形的三边为a-2,a,a+ 且周长为不大于14的偶数，则“的值不可能是() 13 11 A.5 B.3 C.3 D.3 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系及取不等式组的特殊解.由三角形三边关系和周长条件列 不等式组确定的取值范围，结合周长为偶数的条件验证选项， 【详解】解：三角形最长边为a+l,由三边关系得a-2+a>a+l,解得a>3. 周长为(a-2)+a+(a+)=3a-1,由周长不大于14，得3a-1≤14，解得a≤5. 由周长为偶数，得3a-1为偶数，即3a为奇数. 综上，a的取值范围是3<a≤5，且3a为奇数. 试卷第4页（共3页） 选项A、B、D均满足上述条件，选项C中a=3不满足a>3,无法构成三角形，不符合条 件， 6.如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，AB=5,BC=3,则DE长度为() A.2 B.3 C.5 D.8 【答案】C 【详解】解：：△ABC与△DEF关于直线MN对称， AB与DE 是对应线段， .DE=AB .AB=5 ∴DE=5 7.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点 E.已知AB=10,DE=4,则AE的长为() 试卷第5页（共3页） A.4 B.5 C.6 D.10 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的 性质及平行线的性质得∠EDB=∠ABD,则可得ED=BE,再根据 AE=AB-BE=AB-DE即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键. 【详解】解：BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD ·.DE∥BC ∴.∠EDB=∠CBD ∴.∠EDB=∠ABD ∴.ED=BE .AB=10DE=4 .AE=AB-BE=AB-DE=10-4=6 故选C 8.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8,∠ACB=75°，AD⊥BC于点D,M、N两点 试卷第6页（共3页） 分别是线段ACAD上的动点，则MN+CN的最小值是() A D A.3.5 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】利用等腰三角形三线合一性质得出AD垂直平分BC,易得CN=BN,根据垂线 段最短确定MN+CN的最小值为点B到AC的距离，结合含30°角的直角三角形性质求解即 可 【详解】解：如下图，连接BN, M B D :AB=AC,AD⊥BC ∴.AD垂直平分BC, 试卷第7页（共3页） ..CN =BN, .MN+CN MN+BN, B,N,M I三点共线且BM L AC时，MW+BN取得最小值，最小值为点B到AC的距 离，如下图， M AB=AC=8,∠ACB=750 .∠ABC=∠ACB=75°， :.∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)=30° :在R△MM中，BM=方4B=4 9.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将∠C沿DE对折，使点C落在 C外的点C处，若1=20°，则∠2的度数为（) △AB C D 2 C2-- E 试卷第8页（共3页） A.80° B.90° C.100° D.110° 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质，得到∠CED=∠DEC,，∠CDE=∠CDE,从而求出∠CED 的度数，再根据三角形内角和是180°，分别求出∠C、∠CDE度数，最后计算即可求解 【详解】解：由折叠可得，∠CED=∠DEC,∠CDE=∠CDE ·∠CED+∠DEB=18O°∠DEB=∠DEC-∠I ·∠CED+∠DEC-∠1=180°，即2∠CED-20°=180° ∴.∠CED=100° ∠A=65°∠B=75° ∴.∠C=180°-∠A-∠B=40° .∠CDE=180°-∠C-∠CED=40° .·∠CDE=∠CDE ∴.∠CDC'=2∠CDE=80° ∠2=180°-∠CDC'=100° 10.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D, BE上D,交1D的延长线于点E,交MC的延长线于点E,连接DF,则下列结论中不成 立的是() 试卷第9页（共3页） A,AB=AF B.AC+CD=AB C.BD=DF D.BE=CD 【答案】D 【分析】通过证明△ABE≌△AFE(ASM）,△4CD≌aBCF(4SM)来推导线段之间的数量关 系，并利用线段垂直平分线的性质判断线段相等即可. 【详解】解：AD平分∠BAC, .∠BAE=∠FAE, ·AE⊥BF, ∴.∠AEB=∠AEF=90° AE=AE, :.△ABE≌△AFE(ASA). AB=AF,故A不符合题意： .·∠BED=∠ACB=90°，∠BDE=∠ADC, .∠CAD=∠CBF, .AC=BC,∠ACD=∠BCF, :.△ACD≌aBCF(ASA 试卷第10页（共3页） :.CD=CF, .AC+CD=AC+CF=AF, AB=AF, .AC+CD=AB,故B不符合题意： ·△ABE≌△AFE(ASA) ∴.BE=EF, AE⊥BF, ∴.AE垂直平分BF, ∴.BD=FD,故C不符合题意； 如图，过点E作EH⊥AF于点H, B D .EF>EH, 显然EH>CD, BE=EF, .BE>CD,故D符合题意 试卷第11页（共3页） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.已知a,b,c为△ABC的三边，且满足a+b=3c-2,a-b=6-2c,则c的取值范围 是 【答案】2<c<6 【分析】结合已知条件表示出a和b,再根据三角形三边关系列出不等式，取解集的公共其部 分得到C的取值范围. 【详解】解：a,b,C为△ABC的三边，满足a+b=3c-2,a-b=6-2c, ∴.联立两个等式相加得2a=C+4,即a≈<+4 2,两个等式相减得2b=5c-8,即 b=5c-8 2, 根据三角形任意两边之和大于第三边， 列出不等式a+b>c,代入得3c-2>c,解得c>1; a+csb代入得。4+cs5c-8 2,解得c<6: b+c>a代入得528+c>c+4 2,解得c>2: 取三个不等式解集的公共部分，得2<C<6. 12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,CE⊥AB于点E.若 试卷第12页（共3页） ∠B=40°，∠4CE=20°，则∠1DC的度数是 【答案】 75° 【分析】根据垂直的定义和直角三角形两锐角互余求得∠BAC,然后根据角平分线的定义 和三角形外角的性质即可求得∠ADC. 【详解】解：CE⊥AB, ∴.∠AEC=90°， .·∠ACE=20°， .∠BAC=90°-∠ACE=90°-20°=70°， .AD平分∠BAC, :∠BAD=)∠BMC= ×70°=35° .∠ADC=∠BAD+∠B=35°+40°=75° 13.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点F,EF=2BF,ED⊥BC交 试卷第13页（共3页） BC的延长线于点D,AB=BD.若BF=2cm,则AC= cm。 【答案】6 【分析】根据题意，在△ABC和△BDE中由角边角可证得△ABC≌△BDE,又根据全等三 角形的性质对应边相等，可得AC=BE,再由EF=2BF,BF=2Cm可得BE的长度， 即可求出AC的长度. 【详解】解：：∠ABC=90°，BE⊥AC,ED⊥BC, .∠ABC=∠BFC=∠D=90°， 又·∠DBE+∠BCA=90°，∠A+∠BCA=90°， ∴.∠DBE=∠A, AB=BD, :△MBC≌△BDE(ASA) :AC=BE, EF=2BF,BF =2cm, .BE=BF+EF=3BF=3×2=6, 试卷第14页（共3页） .AC=6 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,AB=12,CD=3 ，则△ABD的面积为 A D 【答案】18 【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线的性质求出DE,再根据三角形面积公式 计算即可. 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E, A E B D AD平分∠BAC,∠C=90°，CD=3, .DE=DC=3. :5mD5,0=3x12=18 即△ABD的面积为18， 试卷第15页（共3页） 15.如图，在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB=AC,现将△BEC沿 BC 翻折，点E的对应点为E,BE'与边1C相交于点D,恰好BE'是∠ABC的角平分 线，则∠DCE'=°，若BD=4,则CE= E 【答案】 22.5 2 【分析】由条件可知△ABC是等腰直角三角形，再由BE是角平分线可求出∠ABD,进而 求解；根据BE'是∠ABC的角平分线和∠BEC是直角，可以联想到构造等腰三角形，延长 CE交BM的延长线于F,然后证明△BMD≌aCM 即可求解 【详解】解：，∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠ABC=45° .BE∠ABC 平分 ∴.∠DBA=22.5° .∠ADB=∠EDC,∠BEC=∠BAC, ∴.∠DCE=∠DBA=22.5° 如图，延长CE交BA的延长线于F. 试卷第16页（共3页） :BE平分 ∠ABC,∠BE'C=90° E D .∠CBE'=∠FBE',∠BE'F=∠BE'C=90° ∴.∠BCE'=∠F ∴.BC=BF 1 CE= CF 2 在RtABAD和Rt△CAF中， ∠BAD=∠CAF AB=AC ∠DBA=∠DCE' △BAD≌aCAF(ASA) ∴.BD=CF :.CE=1BD=2 2 ∴.由翻折可得，CE=CE=2 16,如图，收民从生活区边M 上某点A出发，先到草地 P9上某点B牧马，再到小河边 PM上某点C饮马，最后▣到点A处，已知，点P到DM的距离为4千米， ∠QPM=30° 试卷第17页（共3页） ,若△ABC的周长为m千米，则m的最小值是千米. 草地 小河 M 牧民生活区 【答案】4 【分析】在OM上取一点A,作点A关于r的对称点D,点A关于PM的对称点E,连 接DE交P9于B,交PM于C,连接AB、AC、PA、PD、PE,由轴对称的性质可 得△ABC的周长为m=DE，即当DE最小时，△ABC的周长m最小，证明△DPE为等边 三角形，得出DE=DP,由垂线段最短可得，当PA LOM时，PA最小，即DP最小，结 合题意可得DP的最小值为4km,即可得解. 【详解】解：如图，在OM上取一点A,作点A关于P的对称点D,点A关于PM的对 称点E,连接DE交P№于B,交PM于C,连接AB、AC、PM、PD、PE, 草滟 小河 1 D M 牧民生活区 AB=DB AP=DP AP=PE AC=CE 试卷第18页（共3页） ∠APQ=∠DP2∠APM=∠EPM .△AB C的周长为m=AB+AC+BC=BD+CE+BC=DE “当DE最小时，△4BC的周长”最小， :∠QPM=30° ∴.∠DPE=∠AP9+∠DPQ+∠APM+∠EPM=2(∠APQ+∠APM)=2∠OPM=60° PE=PD=PA ∴.DE=DP 当PALM时，PA最小，即DP最小， 点P到D 的距离为4km :.DP 的最小值为 4km ∴.m 的最小值为 km 故答案为：4. 【点睛】本题考查轴对称，等边三角形，最短路径问题，垂直平分线的性质，掌握相关知识 是解决问题的关键， 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17.已知，如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，且∠ADE=70°， ∠B=105° 试卷第19页（共3页） E (I)求∠DAE的度数； (2)求∠C的度数. 【答案】（①）20° g30 【分析】(1)根据三角形高的定义和三角形内角和定理即可求出答案： (2)根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出答案. 【详解】(I)解：：DE是△ADC的高， .∠AED=∠CED=90°， .∠ADE=70°， .∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=20°； (2)解：：AD是△ABC的角平分线， .∠BAC=2∠DAE=40°， .·∠B=105°， ∠C=180°-∠BAC-∠B=35° 18.已知△ABC,请用直尺和圆规完成下面的作图，不写作法，保留作图痕迹. 试卷第20页（共3页） B 图1 图2 (I)如图1，请在△ABC的BC边上找一个点P,使得点P到点A和点C的距离相等. ②)如图2，已知△ABC中，∠BAC=90°，请在AB边上找一点2，使Q到BC边的距离等 的长度. 【答案】() -M B (2) 【分析】(1)点P满足PA=PC,所以点P在AC的垂直平分线上，作线段AC的垂直平 分线，其与BC边的交点即为所求点P. (2)点0满足到BC的距离等于A,说明O在∠C的角平分线上，作∠C的角平分线， 其与AB边的交点即为所求点Q. 【详解】(1)解：作线段AC的垂直平分线MN交BC于点P, 试卷第21页（共3页） 点P即为所求， 理由：由作图知，MN垂直平分AC, .PA=PC, (2)解：作∠ACB的平分线CS,交AB边于点Q, 点Q即为所求， 理：过点Q作OR⊥BC于点R, .∠A=90°， ..Q41AC 由作图知， CQ平分∠ACB, OR=04 19.探究以下问题： 图1 图2 (I)如图1，在△ABC中，AB=4,BC=2,求△ABC的高CD与AE的比. (②)如图2，在△ABC中，∠C=90°，点D,P分别在边AB,AC上，且BP=AP, DE⊥BP,DF LAP,垂足分别为B,F.若BC=I0,求DF+DE的值 CD 1 【答案】()AE2 试卷第22页（共3页） 310 【分析】(1)利用面积相等，把高表示成面积和高对应的边的关系式，即可求出CD与 AE 的比： △PBD,APAD,△ABP (2)分别求出 的面积，根据各三角形的面积之间的关系，最后得出答 案 详解】(1)解：根据题意得，δac=。 AB.CD=I BC.AE 5×4CD=二×2AE 2 ..2CD=AE CD 1 AE 2. 1 1 (②解：由题意得5Am= AP.BC=二×10AP=5AP 21 2 BP=AP :SAm=Sr+Sam=4n-DF+号BP-DE=号4PDF+D0-=5P, 2 :、 AP(DF+DE)=5AP ∴.DF+DE=10 试卷第23页（共3页） 20.如图，以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE, ∠BMD=∠C1E=90°，连接BE和CD相交于点O,MB交CD于点F,1C交BE于点 D (I)证明：△DAC≌△BAE: (2)证明：DC⊥BE: 【答案】(I)证明：△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，且∠BAD=∠CAE=90°， ∴AD=AB,AE=AC,∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, .∠BAE=∠DAC, :△DAC≌△BAE(SAS). (2)证明：由(1)得△DAC≌△BAE, .∠ADC=∠ABE, .∠AFD=∠OFB,且∠ADF+∠AFD+∠DAF=180°， ∠OBF+∠OFB+∠BOF=180° .∠BOF=∠DAF=90°， 试卷第24页（共3页） .DC⊥BE. 【分析】(1)根据等腰直角三角形的定义得到AD=AB,AE=AC,证明 ∠BME=∠DAC,则可利用SAS证明△DAC≌△BAE, (2)由全等三角形的性质得到∠ADC=∠ABE，再由三角形内角和定理证明 ∠BOF=∠DAF=90 ,则可证明DC LBE 【详解】(1)略 (2)略 21.如图①，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, BE=CF 图① 图② ()求证：AD平分∠BAC; (2②)如图②，连接EF,求证：AD垂直平分EF, 【答案】(I)证明：~D是BC的中点， ∴.BD=CD 试卷第25页（共3页） .·DE⊥ABDF⊥AC 在Rt△BDE和RtACDF中， 和 BD=CD BE=CF .RtABDE≌RtACDF(HL) ∴.DE=DF 点D在∠BAC 的平分线上， :AD平分 ∠BAC (2)证明：由(1)知DE=DF, “在Rt△AED和Rt△AFD中， 和 DE=DF AD=AD ∴.RtAAED≌Rt△AFD(HL) .AE=AF 又DE=DF, ∴.AD EF 垂直平分 【分析】(I)由D是BC的中点，可得BD=CD,利用HL可证Rt△BDE≌Rt△CDF, 可得DE=DF,利用角平分线的判定定理可证AD平分∠BAC; (2)根据垂直平分线的判定方法，证明AE=AF,DE=DF即可. 试卷第26页（共3页） 【详解】(1)略 (2)略 22.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,与线段CD 的延长线交于点E. A E D (I)证明：∠ACD=∠EBD: (2)试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论. 【答案】(I)证明：：BE⊥CD,∠BAC=90°， ∴.∠E=∠A=90° .·∠BDE=∠ADC ∴.∠EBD=180°-∠E-∠BDE=180°-∠A-∠ADC=∠ACD 即∠ACD=∠EBD BE-CD ,理由如下： 延长BE、CA交于点F,如图， 试卷第27页（共3页） F A E 则∠BAF=180°-∠BAC=90°， .BE⊥CD ∴.90°=∠BED=∠BAC ,∠BDC=∠ABF+∠BED=∠ACD+∠BAC .∠ACD=∠ABF 又：'AB=AC,∠BAF=∠CAD=90°， .△ABF≌△ACD(ASA) ∴.BF=CD 平分 .CD ∠ACB ∴.∠FCE=∠BCE .BE⊥CD ∴.∠CEF=∠CEB=90° 在△CEF和△CEB中： ∠FCE=∠BCE CE=CE ∠CEF=∠CEB 试卷第28页（共3页） aCEF≌aCEB(ASA) .BE=EF=1BF 1 .BE=三CD 2 【分析】(1)利用三角形内角和定理以及已知条件进行角度的转化即可. (2)通过构造全等三角形来找出BE和CD的数量关系即可. 【详解】(1)略 (2)略 23.从“一线三等角”到一线四等角. B F 图1 图2 )如图1，△ABC与△BDE中，∠C=∠ABD=∠E,AB=BD,试证明△ABC≌△BDE, (2)如图2，在(1)的条件下，聪明的小赵发现此时BE上还存在一个点，使得 ∠C=∠ABD=∠E=∠AFD=50°，∠BAD+∠BFD=180°，试证明BC=BF 6)在()的条件下，若∠C=∠ABD=∠E=∠AFD,∠BMD+∠BFD=180,请直接写 出BC与EF的关系. 【答案】(I)证明：·∠ABE=∠ABD+∠DBE=∠A+∠C,∠C=∠ABD, 试卷第29页（共3页） .∠A=∠DBE, ∠C=∠E,AB=BD, :.△ABC≌aBDE(AAS). 2)证明：由(1)知△ABC≌aBDE, :BC=DE, .AB=BD,∠ABD=50°， ,∠BAD=∠BDA=180°-50 -=65° 2 .∠BAD+∠BFD=180°， .∠BFD=180°-∠BAD=115° .∠EFD=180°-∠BFD=65°， ∠E=50°， :.∠FDE=∠BFD-∠E=65°， .∠EFD=∠FDE=65°， .DE=EF, .BC=EF 3)BC=EF 【分析】(1)利用三角形的外角性质求得∠A=∠DBE,再利用AAS即可证明 试卷第30页（共3页） △ABC≌ABDE (2)由(I)知△ABC≌△BDE,得到BC=DE,利用三角形内角和定理求得 ∠BMD=∠BDA=6S°，计算求得∠EFD=∠FDE=6S°，即可得到BC=BF, (3)设∠C=∠ABD=∠E=∠AFD=a,同(2)即可得到BC=EF. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：设∠C=∠ABD=∠E=∠AFD=, 由(I)知△ABC≌△BDE, .BC=DE, .AB=BD,∠ABD=A, :∠BAD=∠BDA-1809-a=90-1 -a 2 .∠BAD+∠BFD=180°， ∠BFD=180°-∠BAD=90°+a :∠EFD=180°-∠BFD=90°- -a ∠E=a, 试卷第31页（共3页） ∠FDE=∠BFD-∠E=90°+a-a=90°- a 2 2 ∠EFD=∠FDE=90°-1 2 ∴.DE=EF, .BC=EF, 24.【阅读理解】 如图1，△ABC中，若AB=I0,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内 经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,，请根据小明的方 法思考： 图1 图2 图3 (I)由己知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA (②)连接BE,利用三角形的三边关系可以确定AE的取值范围，从而可以得到AD的取值范 围是 3)如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE+∠CAF=180°，试判断 试卷第32页（共3页） 线段AD与EF的数量关系，并说明理由. (④)在(3)的条件下，若∠BAE=∠CAF=90°，延长DA交EF于点G,AD=2, AG= ,则AMBC 的面积为 【答案】(I)B a1<D<9 3)EF=2AD 理由如下：延长AD到M,使得DM=AD,连接BM,如图， ⊙ ∴.AM=AD+DM=2AD, :AD是△ABC的中线， :BD=CD, 在△BDM和△CDA中， BD=CD ∠BDM=∠CDA DM=DA 试卷第33页（共3页） :.△BDM≌aCDA(SAS) .BM=AC, .·AC=AF, .BM=AF, :△BDM≌△CAD, ∴.∠MBD=∠ACD, BM∥AC. .∠ABM+∠BAC=180°， .∠BAE+∠CAF=180°， :.∠BAC+∠FAE=360°-（∠BAE+∠CAF)=360°-180°=180° ∴.∠ABM=∠FAE, 在△ABM和△EAF中， AB=AE ∠ABM=∠EAF BM=AF :△ABM SEAF(SAS) .'AM EF, .AM =2AD .EF=2AD: 试卷第34页（共3页） (4)6 【分析】(1)根据全等三角形的判定定理即可解答： (2)根据三角形三边的关系即可求出AE的取值范围，进而可求出AD的取值范围： (3)延长AD到M,使得DM=AD,连接BM,则AM=2AD,由(I)同理可证 △ADC≌aMDB(SAS),得到BM=AC=AF,BM∥AC,从而 ∠ABM+∠BMC=180°，又∠BAC+∠FME=180°，因此∠ABM=∠FME,进而得证 △ABM≌AEAF(SAS), 即可得到结论： (4)由(3)可得∠BAM=∠E,EF=AM=2AD=4,△ADC2△MDB, △ABM≌aEAF,则SMc=SBM=Sr,说明∠AGE=90°即可求解. 【详解】(1)解：(I)延长AD到点E,使DE=AD, AD是中线， .BD CD. .·∠ADC=∠EDB :.△MDC≌aEDB(SAS) 故选：B: (2):△ADC≌△EDB, .AC=BE=8. 试卷第35页（共3页） 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .2<AE<18,即2<2AD<18, 1<AD<9; (3)略 (4)延长AD到M,使得DM=AD,连接BM, A D B 由(3)可知∠BAM=∠E,EF=AM=2AD=4, .∠BAE=∠CAF=90°， ∴.∠BAM+∠EAG=90°， .∠E+∠EAG=90°，即∠AGE=90°， ·△ADC≌△MDB,△ABM≌△EAF, 58w=5w=SmF40=24x3=6 2 试卷第36页（共3页）