山东省烟台第一中学2026-2027学年高二第一学期阶段检测练习（第9周周测）数学试题

烟台一中2026~2027学年度第一学期阶段检测练习题 高二数学参考答案及评分标准 （第9周测试题 2026.10.31） 选择题答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D C B B C B 题号 8 9 10 11 12 13 14 答案 B D C AC ACD AD ABD 非选择题： 15. 解析：设直线 与 延长线的交点为 ， 在 延长线上， 存在实数 ，使得 。 由 得 ，故 的坐标为 ， 将 代入直线 的方程 ，得 ， 整理得 。 当 时，左边为 ，右边为 ，方程无解， 此时直线 与 斜率相等，两直线平行，无交点，不符合题意。 当 时，，结合 得 ， 移项通分化简得 ，即 ，等价于 ， 解得 。故实数 的取值范围是 。 16. 解析：设点 、，在椭圆 中，， 则 ，所以，椭圆 的右焦点为 ， 由重心的坐标公式可得 ，所以，，所以线段 的中点为 ， 若直线 轴，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意； 若直线 轴，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意， 所以，直线 的斜率存在且不为零，由已知条件可得 ，两式作差可得 ， 所以，，即 ，即 ，则 ， 故直线 的方程为 ，即 。 17. 试题解析： 解：设过原点的射线 的方程为 ， 将 代入椭圆 ，得 ， 又 ，故 。将 代入圆 ， 整理得 ，舍去 的根，得 。 为 的中点，，又 与 共线同向，故 。 又 ，代入得 ， 将 代入化简，得 。 令 ，故求原式最大值等价于求 的最大值， 整理得 ， 该关于 的一元二次方程有正实根，故判别式 ，即 ， 化简得 ，解得 。当 时，代入方程解得 ，故 的最大值为 ，代入得原式最大值为 。 18. 解： (1) 设 ，则由 ， 得 ， ……2分 ， 整理得 ， 即圆 的方程为 。 ……4分 (2) (i) 证明：由直线 ， 可得 ， ……5分 由 ，解得 ， 即直线恒过定点 ； ……6分 (ii) 由 (1) 圆 的方程为 ， 即 ，圆心 ，半径 。 设直线恒过的定点 为 ，则当 时，弦 最短， ……8分 由 ， 所以直线的斜率为 ，方程为 ， 即 ， ……9分 此时圆心 到直线的距离 ， 弦长 ， ……11分 又点 到直线的最大距离为 ， 所以 。 ……13分 19.解： （1）取 的中点 ，连接 ， 因为 ，，且 的中点 ， 所以 ，， 又 ， 平面 ， ……2分 故 平面 ， 由于 平面 ， 故 ， ……4分 第（1）问图 第（2）问图 （2）当 时，由 ，则 ， 取 的中点 ，连接 ， 故 到 四点的距离相等， 故 为三棱锥 外接球的球心， ……6分 因为 ，，故 ，，， 设 到平面 的距离为 ， 到平面 的距离为 ， 由等体积法可得 ， ……8分 而 ， 由于 ，故 ， ……9分 所以 ， 从而 ， 故 到平面 的距离为 。 ……10分 （3）以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系 ， 过点 作平面 的垂线，垂足为 ， 第（3）问图 ……11分 设 为翻折过程中所旋转的角度，则 ， ，， 故 ，，，， ， 则 ，， ……12分 设平面 的法向量为 ， 则 ， 取 ，则 ， 所以 ， ……13分 设平面 的法向量为 ， ，， 则 ， 取 ，则 ， 则 ， ……14分 设平面 平面与 的夹角为 ， 故 ， ， ……15分 令 ，， 故 ， 由于 ， 故 ， ……16分 当且仅当 ，即 时取等号， 故平面 与平面 夹角余弦值的最小值为 。 ……18分 高二数学参考答案 第 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 烟台一中2026~2027学年度第一学期阶段检测练习题 高二数学 （第9周测试题 2026.10.31） 本试卷共19题，满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上相应位置的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，只收答题卡。 一、单项选择题（共10题，每题5分，合计50分） 1. 已知空间向量 不共面，若 ,且A,B,C三点共线,则 A. B. C. D. 2. 已知直线 , 将 绕点 逆时针旋转角 后得到直线 , 若 与直线 垂直, 则旋转角 的大小为 A. B. C. D. 3. 若动点 满足方程 , 则动点 的轨迹方程为 A. B. C. D. 4. 若空间向量 满足 , 则 在 上投影向量的模的最小值是 A. B. C. D. 5. 已知直线 （）与曲线 恰有两个不同的公共点 , 则 A. B. C. D. 6. 在三棱台 中, , 且 , 若 平面 , 则点 到直线 的距离为 A. B. C. D. 第10题图 第6题图 7. 已知直线 与曲线 交于 两点, 平面上的动点 满足 , 则 的最大值为 A. B. C. D. 8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 , 点 在 上. 已知 的周长为 , 面积为, 且其内心 满足 , 则 的离心率为 A. B. C. D. 9. 已知点 , 点 是圆 上的动点, 点 是圆 上的动点, 则 的最大值为 A. B. C. D. 10. 如图, 圆锥的轴截面 是等边三角形, 是底面圆圆上一动点, 是 的中点, 则直线 与 所成角的余弦值的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题（每题6分，共4题，合计24分） 11. 下列说法正确的是 A. 直线 必过定点 B. 过点 且在 轴截距互为相反数的直线方程为 C. 已知直线 与直线 平行, 则平行线间的距离是 D. 两直线 与 互相平行, 则 或 12. 已知直线 交椭圆 于 两点, 为椭圆的左、右焦点, 为椭圆的左、右顶点, 在椭圆上与 关于直线 的对称点为 , 则 A. 若 , 则 B. 若 , 则椭圆的离心率为 C. D. 若直线 平行于 轴, 则 13. 如图, 类似“心形”的曲线 , 可以看成由上半部分曲线 和下半部分曲线 构成, 曲线 的一个焦点为 , 是“心形”曲线 上的动点, 则下列说法正确的 A. 曲线 的方程为 B. 的最大值为 C. 若直线 与曲线 只有 1 个交点, 则实数 的最小值为 D. 曲线 上的点到直线 的距离的最小值是 14. 在棱长为 的正方体 中, , 则下列说法正确的是 A. 过 的平面截正方体所得截面图形的周长为 B. 为平面 内的直线, 若 与 所成角的最小角为 , 则 C. 为正方体内一动点 (含边界), 总满足 且, 则 的轨迹的长度为 D. 三棱锥 的外接球表面积为 三、非选择题（共46分） 填空题：每小题5分，共3小题，合计15分。 15. 已知点 的坐标分别为 ，直线 与线段 的延长线相交，则实数 的取值范围是______． 16. 已知椭圆 的一个顶点为 ，直线 交椭圆于 、 两点，如果 的重心恰好为椭圆的右焦点 ，则直线 方程为______． 17. 已知圆 ，椭圆 ，过原点 的射线 与椭圆 在第一象限的交点为 ，与圆 的交点为 ， 为 的中点，则 的最大值是______． 解答题：第18题13分，第19题18分，合计31分。 18. （本题13分） 设 是平面上两个定点，则满足 （其中 为常数， 且 ）的点 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知 ，且 ，此时，点 的轨迹记为圆 ． (1) 求圆 的方程； (2) 若直线 ． (i) 证明：直线 恒过定点； (ii) 若点 在圆 上，直线 与圆 交于 两点，当弦 的长度最短时，求 面积的最大值． 19. （本题18分） 如图，在平面四边形 中， 为等腰直角三角形， 为正三角形，，，现将 沿 翻折至 ，形成三棱锥 ，其中 为动点． (1) 证明：； (2) 若 ，三棱锥 的各个顶点都在球 的球面上，求球心 到平面 的距离； (3) 求平面 与平面 夹角余弦值的最小值． 高二数学试题 第 页） 学科网（北京）股份有限公司 $