精品解析：天津市青光中学2026-2027学年高二年级上学期10月月考数学试卷

天津市青光中学2026-2027学年度第一学期阶段性检测 高二数学 一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 经过，两点的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件，选择两点式来求直线方程. 【详解】由两点式直线方程可得： 化简得： 故选：C 【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果. 【详解】∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 故选：A. 3. 已知向量，若，则x等于（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由，列方程求解即可. 【详解】因为向量，且， 所以，得， 故选：B. 4. 三点在一条直线上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由列方程来求得的值. 【详解】依题意， 即，解得. 故选：B 5. 已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易知平面的法向量，结合线面夹角可得射影的模长. 【详解】易知平面的法向量为， 且，， 则， 即直线与平面的夹角的正弦值为，余弦值为， 则， 故选：A. 6. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直的公式求得，利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，直线与直线斜率乘积为，显然相互垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件； 当直线与直线相互垂直时，，所以． 所以直线与直线相互垂直时，不一定为， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的不必要条件． 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件. 故选：B 7. 若直线与直线互相平行，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与直线互相平行， 则，解得. 故选：A. 8. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则 ，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C. 考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力. 9. 已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线过定点P ，画出图形，再求出，的斜率，然后利用数形结合求解. 【详解】如图所示： 若直线与线段相交， 则或 ， 因为，， 所以直线的斜率取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 10. 直线的斜率和在轴上的截距分别为__________，__________． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】根据直线斜率和截距的定义求解即可. 【详解】直线，即. 当时，. 故直线的斜率和在轴上的截距分别为，. 故答案为：； 11. 已知向量，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示可得解. 【详解】由，， 则，， 又， 则， 即， 解得， 故答案为：. 12. 直线l1与直线l2：y＝3x＋1平行，又直线l1过点(3,5)，则直线l1的方程为________. 【答案】 【解析】 【详解】∵直线l2的斜率k2＝3，l1与l2平行． ∴直线l1的斜率k1＝3. 又直线l1过点(3,5)， ∴l1的方程为y－5＝3(x－3)，即y＝3x－4 故答案为． 点睛：这个题目考查了直线间的位置关系，两直线平行即斜率相等，充要条件为，两直线垂直充要条件为，知道直线的斜率和过的点，直接点斜式写出直线方程即可． 13. 设两直线与．若，则____，若_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】用两直线平行、垂直的等价条件列方程求解，平行时需排除两直线重合的情况. 【详解】对于一般式直线和，平行的充要条件为且或， 所以，，整理得，解得或； 当时，，，两直线重合，不符合题意舍去； 当时两直线不重合，满足平行条件，故； 两直线垂直的充要条件为， 所以，，整理得，解得. 所以，若，则；若，则. 三、解答题（本大题共3小题，第14题20分，第15题15分，第16题20分，共55分.） 14. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）连接交于，连接， 因为四边形为平行四边形，所以为的中点， 又因为为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，可得，进而可得结论； （2）以D为原点，以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量法可求得平面与平面的夹角的正弦值； （3）由题意得，由点到平面的距离为计算即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 根据题意，以D为原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 所以， 因为为的中点，所以， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以，令，得， 所以平面的一个法向量为. 由题意可得平面的一个法向量为. 设平面与平面所成的夹角为， 所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）得平面的一个法向量为， 又，所以， 所以点到平面的距离为. 15. 已知的顶点坐标分别是． （1）求BC边上的中线所在直线的方程； （2）求过点C且与直线AB平行的直线方程； （3）求AB边高所在直线方程. 【答案】（1） . （2） . （3） . 【解析】 【小问1详解】 由中点坐标公式得BC边中点,即， BC边上的中线过与，故斜率为，所以直线方程为，整理得. 【小问2详解】 直线AB的斜率为， 过与AB平行的直线的斜率等于直线的斜率， 由点斜式得，整理得. 【小问3详解】 边的高过点且与垂直，故高所在直线斜率为， 由点斜式得边上的高所在直线方程为，整理得. 16. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，M为PC中点，E在线段BC上，且． （1）求证：平面； （2）求直线PB与平面PDE所成角的正弦值； （3）求三棱锥体积. 【答案】（1）如图，取的中点，连接， 又M为PC的中点，所以且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面. （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据中位线的性质证得四边形为平行四边形，可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可； （3）由题意可得，进而利用等体积法计算即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由底面，底面， 所以，又， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 得， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线PB与平面PDE所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为M为PC的中点，所以 ， 三棱锥体积为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市青光中学2026-2027学年度第一学期阶段性检测 高二数学 一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 经过，两点的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 150° 3. 已知向量，若，则x等于（ ） A. B. C. 3 D. 6 4. 三点在一条直线上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ） A. B. C. D. 6. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若直线与直线互相平行，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 9. 已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 10. 直线的斜率和在轴上的截距分别为__________，__________． 11. 已知向量，，，则__________． 12. 直线l1与直线l2：y＝3x＋1平行，又直线l1过点(3,5)，则直线l1的方程为________. 13. 设两直线与．若，则____，若_________． 三、解答题（本大题共3小题，第14题20分，第15题15分，第16题20分，共55分.） 14. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 15. 已知的顶点坐标分别是． （1）求BC边上的中线所在直线的方程； （2）求过点C且与直线AB平行的直线方程； （3）求AB边高所在直线方程. 16. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，M为PC中点，E在线段BC上，且． （1）求证：平面； （2）求直线PB与平面PDE所成角的正弦值； （3）求三棱锥体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $