精品解析：天津市河东区第八中学2026-2027学年高二年级上学期10月月考数学试卷

天津市第八中学2026—2027学年第一学期高二年级数学学科 第一次大单元练习 时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 I 一､单选题（共9小题，每小题5分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 135° 2. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，给出以下结论：①点关于轴的对称点的坐标为；②点关于平面对称的点的坐标是；③已知点与点，则的中点坐标是；④两点间的距离为.其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 4. 已知（2，1，﹣3），（﹣1，2，3），（7，6，λ），若P，A，B，C四点共面，则λ＝（ ） A. 9 B. ﹣9 C. ﹣3 D. 3 5. 设直线.若，则（ ） A. 0或1 B. 0或-1 C. 1 D. -1 6. 如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 7. 若过点P(3,2m)和点Q(,2)的直线与过点M(2,)和点N(,4)的直线平行，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. －2 8. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 既不充分又不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 9. 如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二､填空题（共6小题，每小题5分） 10. 若经过两点的直线的倾斜角是，则_________. 11. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为__________. 12. 过点且与直线平行的直线方程是_______. 13. 若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为________. 14. 若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是____． 15. 已知点，，则以为直径的圆的方程为______． 三､解答题（共5道，共75分） 16. 如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，求： （1）直线与直线所成角的余弦值； （2）平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知直线 与直线交于点. （1）求过点且平行于直线的直线的方程； （2）求过点且垂直于直线的直线的方程； （3）求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，，为侧棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点. (1)证明：； (2)求三棱锥的体积. 20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第八中学2026—2027学年第一学期高二年级数学学科 第一次大单元练习 时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 I 一､单选题（共9小题，每小题5分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应的倾斜角为60°. 故选：B 【点睛】本小题主要考查直线倾斜角的求法，属于基础题. 2. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用共线列方程，解方程即可． 【详解】因为，所以，即：，解得：. 故选：D． 3. 在空间直角坐标系中，给出以下结论：①点关于轴的对称点的坐标为；②点关于平面对称的点的坐标是；③已知点与点，则的中点坐标是；④两点间的距离为.其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点与点之间的性质逐一判断即可. 【详解】①点关于轴的对称点的坐标为，故①错误； ②点关于平面对称的点的坐标是，故②正确； ③已知点与点，则的中点坐标是，故③正确； ④两点间的距离为，故④错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了空间直角坐标系中的对称性、中点和距离，属于基础题. 4. 已知（2，1，﹣3），（﹣1，2，3），（7，6，λ），若P，A，B，C四点共面，则λ＝（ ） A. 9 B. ﹣9 C. ﹣3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得共面，根据共面向量的基本定理，即可求解. 【详解】由P，A，B，C四点共面，可得共面， ， ，解得. 故选:B. 【点睛】本题考查空间四点共面的充要条件以及平面向量的基本定理，属于基础题. 5. 设直线.若，则（ ） A. 0或1 B. 0或-1 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则， 解得或. 故选：A. 6. 如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示，然后利用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】如图 所以 所以异面直线与所成角的余弦值 故选：A 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题. 7. 若过点P(3,2m)和点Q(,2)的直线与过点M(2,)和点N(,4)的直线平行，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行对应直线的斜率相等可求解出的值. 【详解】由，即，得. 经检验知，符合题意. 故选：B. 8. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 既不充分又不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先由两直线平行求出参数，再由充要条件定义进行判断. 【详解】若“”，则， 所以“”是“”的充要条件. 故选：D 9. 如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平行六面体中，根据空间向量加法合成法则，对向量进行线性表示即可 【详解】解：因为，所以， 在平行六面体中， ， 故选：C 【点睛】此题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题. 第II卷（非选择题） 二､填空题（共6小题，每小题5分） 10. 若经过两点的直线的倾斜角是，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜率公式和斜率与倾斜角的公式即可求解. 【详解】由题意得，，又， 所以，解得. 11. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用向量共线定理即可得出． 【详解】解：，， 存在实属使得 解得：．故答案为4. 【点睛】本题考查了向量共线定理，属于基础题． 12. 过点且与直线平行的直线方程是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行直线斜率相等的性质，结合已知点坐标通过点斜式求解直线方程并整理为一般式. 【详解】由直线方程，可得，则其斜率为. 因所求直线与之平行，故其斜率也为. 又该直线过点，则所求直线方程为  ，即. 13. 若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设l与所成角为，则，由此即得. 【详解】由题，设l与所成角为，可得. 故答案为： 【点睛】本题考查空间向量中两向量夹角，是常考题型. 14. 若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线之间的距离及两直线不重合列出不等式，求解即可． 【详解】y＝﹣2x﹣k﹣2的一般式方程为2x+y+k+2＝0， 则两平行直线的距离d 得，|k+6|≤5，解得﹣11≤k≤﹣1， 当k+2＝﹣4，即k＝﹣6，此时两直线重合， 所以k的取值范围是 故答案为 【点睛】本题考查了两平行直线间的距离，考查两直线平行的条件，考查计算能力，属于基础题. 15. 已知点，，则以为直径的圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，写出标准方程. 【详解】由题意知，圆心为线段的中点，坐标为，即. 因为为直径，所以半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 三､解答题（共5道，共75分） 16. 如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，求： （1）直线与直线所成角的余弦值； （2）平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系,利用向量法求出直线与直线所成角的余弦值即可． （2）求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法求出平面与平面所成二面角的余弦值即可． 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. ∴， ∴，且，. ∴. 又异面直线所成的角的范围是， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由上得，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得. 又平面，所以是平面的一个法向量， ∴.由图可得平面与平面所成角为锐角， 故平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知直线 与直线交于点. （1）求过点且平行于直线的直线的方程； （2）求过点且垂直于直线的直线的方程； （3）求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果； （2）根据题意，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果； （3）根据题意，分直线经过原点与不经过原点讨论，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由，得，所以交点， 设过点且平行于直线的直线方程为， 将点坐标代入，解得， 则直线方程是:. 【小问2详解】 求过点且垂直于直线的直线方程为， 将点坐标代入，解得， 则直线方程是:. 【小问3详解】 当直线过原点时，设直线方程为， 将点坐标代入，可得， 则，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由条件可得，解得， 则，化简可得； 综上所述，直线的方程为或, 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，，为侧棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 【答案】（1）证明如下： 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 因为点M为中点，， 所以，又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，则有，再证明平面，根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得， 因为平面， 所以，即为平面PCD的一个法向量， ， 设直线与平面所成角为， 则， 又，所以， 即直线与平面所成角的大小为. 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点. (1)证明：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后可证明. （2）可把三棱锥的体积转化为的体积来计算即可. 【详解】(1) 底面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，点为棱的中点， ∴， ∴，， ∵，可得. (2)因为为的中点，故， 因为底面，故， 所以. 【点睛】本题考查空间向量在线线垂直关系中的应用以及三棱锥体积的求法，解题时注意根据题设条件选择合适的建系的方式，如果三棱锥的体积不易计算，可通过同高不同底或同底不同高把体积的计算转化为其他三棱锥的体积. 20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）存在侧棱的中点 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）要证平面可以证明垂直于，已用已知条件中的侧面底面可以转化出直线间的垂直关系（Ⅱ）中寻找点E的位置可采用几何法：猜测加证明的思路求解. 试题解析：（Ⅰ）证明：令则. 在直角梯形中， ∴, ∴ 即 又∵,∴ ∵侧面底面，且交线为，平面. ∴平面， ∵平面. ∴平面 （Ⅱ）解：存在侧棱的中点，使得平面.证明如下： 取的中点，的中点，连接可知 又 ∴ ∴四边形为平行四边形． ∴ ∵平面，平面. ∴平面． ∴存在侧棱的中点，使得平面. 考点：1.线面平行的判定；2.线面垂直的判定与性质 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $