精品解析：云南大学附属中学星耀喻昭学校2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

云南大学附属中学星耀喻昭学校2026-2027学年上学期期中考试 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：100分） 一、单选题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2. 2026年7月，河北省第十七届运动会射击步手枪项目决赛举行，各参赛选手展现出极强的综合实力与心理素质．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】“三角形的稳定性”能够使结构稳定不易变形，“垂线段最短”适用于最短距离问题，“两点之间，线段最短”涉及最短路径问题，“两点确定一条直线”是指经过两点有且只有一条直线．由题意“射击队员的手、肘、肩构成托枪三角形”，可知利用了三角形的稳定性． 【详解】解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性，使自身更稳定，不受外力干扰， ∴这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性． 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 对顶角相等 D. 直角三角形两锐角互余 【答案】D 【解析】 【分析】将各选项命题改写为“如果…那么…”的形式，交换题设与结论得到逆命题，再判断真假. 【详解】解：A选项逆命题为：若，则， ∵当，时，但， ∴逆命题为假命题； B选项原命题改写为：如果一个三角形是等边三角形，那么它是锐角三角形， 逆命题为：如果一个三角形是锐角三角形，那么它是等边三角形， ∵三个内角为，，的三角形是锐角三角形，但不是等边三角形， ∴逆命题为假命题； C选项原命题改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， ∵两直线平行时同位角相等，但不是对顶角， ∴逆命题为假命题； D选项原命题改写为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余， 逆命题为：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形， ∵三角形内角和为，两个锐角和为， ∴第三个角为，即该三角形是直角三角形， ∴逆命题为真命题. 4. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，逐项验证即可求解. 【详解】解：A选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； B选项，三边为，，，较短两边和为，∵，满足三边关系，∴能组成三角形，符合要求； C选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； D选项，三边为，，，较短两边和为，∵不大于，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合要求. 5. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点坐标是． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，计算正确，故符合题意； B、无法合并，计算错误，故不符合题意； C、，计算错误，故不符合题意； D、，计算错误，故不符合题意． 7. 如图，作一个角的平分线，其尺规作图的原理是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 【答案】A 【解析】 【分析】利用角平分线的尺规作图和三角形全等的判定定理即可求解． 【详解】解：如图， 以点为圆心，为半径作弧，交、于点、，分别以点、为圆心，以为半径作弧，交于点，连接，即为的平分线． 在和中， ∴， ∴，即为的平分线． 8. 如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 7.5 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】得出的面积，，由此即可得． 【详解】解：∵所在直线是的对称轴， ∴， ∵，， ∴， 又∵所在直线是的对称轴， ∴点与点关于直线对称， ∴与关于直线对称， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 9. 如图，在和中，，添加下列条件仍不能判定的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知及公共边，根据全等三角形判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在和中， ， ∴，故本选项不符合题意； B．在和中， ∴，故本选项不符合题意； C．在和中， ∴，故本选项不符合题意； D．，此时满足，无法证得，故本选项符合题意． 10. 下列条件：①；②；③；④；其中能判定是直角三角形的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据条件，结合三角形内角和为，代入得到，算出，判定是直角三角形． ②根据条件，把内角和按比例分配，算出最大角，判定是直角三角形． ③根据条件，结合三角形内角和，求出，只能得到，无法确定有直角，不能判定是直角三角形． ④根据条件，推出，，再利用内角和求出，，判定是直角三角形． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴，是直角三角形． ②∵，， ∴， ∴是直角三角形． ③∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，无法判定存在直角． ④∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，是直角三角形． 综上，能判定的条件共3个． 故选：． 11. 如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】证明，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 12. 如图，在中，是的高，是的角平分线．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为是角平分线，已知的度数，所以可根据角平分线定义求出的度数．因为是高，所以，结合已知的度数，根据直角三角形两锐角互余可求出的度数．观察角的和差关系，等于与的差，代入对应度数计算即可． 【详解】解：已知是的角平分线，， 可得：  已知是的高， 因此，即． 在中，两个锐角互余，结合 可得：． 观察图形可知， 代入数值： ． 13. 如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（ ）． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，垂直平分， ∴，， 综上可知：①②④正确，③错误， 故选：C． 14. 如图，与在直线同侧，点P在线段上．已知，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质可得，进而在中，根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，． 15. 如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，再根据直角三角形的性质可得，然后结合周长是24，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵周长是24， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每空2分，共8分） 16. 已知点与点关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴ 解得． 17. 如图，是的外角，平分，若，，则的度数为_____°． 【答案】 【解析】 【分析】根据外角定理求得，再由平分求得的度数． 【详解】解：是的外角且，， ． 平分， ． 的度数为． 18. 如图，在中，、分别是、边上的垂直平分线，、交于点O，连接、、，已知，，若，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由、分别是、边的垂直平分线可得，，则，再由角的和差得，然后根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得答案． 【详解】解：∵、分别是、边上的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴． 19. 在等腰中，，是的中线，将的周长分成6和9两部分，则线段的长为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】设中线分割的腰长一半为，分两种情况讨论周长的分配，最后用三角形三边关系验证结果． 【详解】解：设， ∵是的中线，， ∴，， 分两种情况讨论： ①如图，当时， 可得：，解得， ∴，， 此时，满足三角形三边关系，符合要求； ②如图，当时， 可得：，解得， ∴，， 此时，满足三角形三边关系，符合要求； 综上，线段的长为或． 三、解答题（本大题共8题，共62分） 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式即可； （2）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，再合并即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 21. 如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可得证． 【详解】略 22. 如图，在中，点在边上，平分，已知，，请求的度数，并说明是等腰三角形． 【答案】解：∵是的外角， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】由三角形的外角性质可得，又平分，则，通过三角形内角和定理得，所以，故，从而即可解答． 【详解】略． 23. 如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C三点． （1）若与关于y轴对称．请在图中画出； （2）依次写出，，坐标，______，______，______； （3）______． 【答案】（1）如图，即为所求； （2），， （3）4 【解析】 【分析】（1）确定关于y轴对称的对称点即可； （2）根据图形可得，，的坐标； （3）利用割补法求解面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图形可得：，，. 【小问3详解】 解：的面积． 24. 如图，在中，为的中点，，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）． 【解析】 【分析】由得，然后通过“”证明即可； 由得，，然后通过，求得，最后由即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 25. 如图，在中，，． （1）尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； （2）在（1）的条件下，求的度数． 【答案】（1）解：如图，点P即为所求作； （2） 【解析】 【分析】（1）依题意分别作、的平分线相交于点P即可； （2）先求出，进而求出，即可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， ∵、的平分线相交于点P， ， ， ． 26. 如图，在中，，点D是边的中点，且，点E是外一点，连接，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴，即 【解析】 【分析】（1）由得，根据题意得，结合可得结论； （2）证明，根据证明 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？ 作法是：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠，使得到村庄的距离最短．可过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． （1）示例1中所包含的数学原理是（ ）；示例2中所包含的数学原理是（ ）． A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图④，在等边三角形中，是的中线． （2）直接写出与的数量关系________． （3）若，为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值． 【活动三】迁移拓展，综合应用 （4）如图（5），在中，，，点在斜边上，且，是的角平分线，，分别为，上一点，请直接写出的最小值． 【答案】（1）A；B （2） （3）如图①，点即为所求． 的最小值为4 （4）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”求解即可； （2）根据三线合一得到，，即可得到； （3）连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； （4）在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：示例1中所包含的数学原理是两点之间，线段最短；示例2中所包含的数学原理是垂线段最短． 【小问2详解】 解：∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接交于点F，连接， ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴ 【小问4详解】 解：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南大学附属中学星耀喻昭学校2026-2027学年上学期期中考试 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：100分） 一、单选题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年7月，河北省第十七届运动会射击步手枪项目决赛举行，各参赛选手展现出极强的综合实力与心理素质．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 3. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 对顶角相等 D. 直角三角形两锐角互余 4. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（     ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，作一个角的平分线，其尺规作图的原理是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 8. 如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 7.5 B. 8 C. 15 D. 16 9. 如图，在和中，，添加下列条件仍不能判定的是（） A. B. C. D. 10. 下列条件：①；②；③；④；其中能判定是直角三角形的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 11. 如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 12. 如图，在中，是的高，是的角平分线．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（ ）． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 14. 如图，与在直线同侧，点P在线段上．已知，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题（本大题共4小题，每空2分，共8分） 16. 已知点与点关于轴对称，则的值为_____． 17. 如图，是的外角，平分，若，，则的度数为_____°． 18. 如图，在中，、分别是、边上的垂直平分线，、交于点O，连接、、，已知，，若，则的长为________． 19. 在等腰中，，是的中线，将的周长分成6和9两部分，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共8题，共62分） 20. 计算： （1）； （2）． 21. 如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 22. 如图，在中，点在边上，平分，已知，，请求的度数，并说明是等腰三角形． 23. 如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C三点． （1）若与关于y轴对称．请在图中画出； （2）依次写出，，坐标，______，______，______； （3）______． 24. 如图，在中，为的中点，，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）若，，，，求的长． 25. 如图，在中，，． （1）尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； （2）在（1）的条件下，求的度数． 26. 如图，在中，，点D是边的中点，且，点E是外一点，连接，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求证：． 27. 数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他所走路程的和最短？ 作法是：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2：如图③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠，使得到村庄的距离最短．可过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． （1）示例1中所包含的数学原理是（ ）；示例2中所包含的数学原理是（ ）． A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图④，在等边三角形中，是的中线． （2）直接写出与的数量关系________． （3）若，为边的中点，为上一点．当的值最小时，在图④上标注点的位置，并求出的最小值． 【活动三】迁移拓展，综合应用 （4）如图（5），在中，，，点在斜边上，且，是的角平分线，，分别为，上一点，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $