精品解析：内蒙古自治区包头市第九中学外国语学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

包九中外国语学校初三年级数学 一、单选题（每题3分，8题共24分） 1. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 3. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵平行四边形具有对角线互相平分、对角相等的性质，故C、D不符合题意． ∵菱形是特殊的平行四边形，对角线互相垂直，该性质平行四边形不一定具有，故A符合题意． ∵对角线相等不是菱形和平行四边形的必然性质，故B不符合题意． 4. 将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵将抛物线向左平移个单位， ∴， ∵再向下平移个单位， ∴． 5. 对于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 函数的最小值为1 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 6. 如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点D是斜边的中点， ∴． 故选：D． 7. 抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 8. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点A，B，C代入抛物线解析式，求出，，，即可比较． 【详解】解：∵点，，都在抛物线上， ∴，，， ∴． 二、填空题（每题3分，4题共12分） 9. 抛物线的顶点坐标是_______________ 【答案】（1，2） 【解析】 【分析】把二次函数的解析式改成顶点式，即可求得顶点坐标. 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2） 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质.转化成顶点式是解题的关键. 10. 已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是___． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得﹣2•x1=﹣6，所以x1=3． 11. 已知一个直角三角形两直角边长之和为，则这个直角三角形的最大面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设这个直角三角形的一条直角边长为，其面积为，则另一条直角边长为，利用三角形面积公式得到面积的二次函数表达式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设这个直角三角形的一条直角边长为，其面积为，则另一条直角边长为， 由题意得：， ∴， 又∵这个直角三角形的面积， ∴在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为200， 即这个直角三角形的最大面积为． 12. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，先根据表格中值相等的点求出对称轴，再得到对应对称点的函数值即可得到结果． 【详解】解：由表格可得，当时，，当时，， ∵二次函数上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵关于直线的对称点为， 由表格可知时，， ∴当时，． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，； 【小问3详解】 解： 或 解得，； 【小问4详解】 解： ，， ∴ 解得，． 14. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 15. 已知抛物线 （1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴总有两个交点． （2）若，抛物线与轴交于和，求的值． 【答案】（1）证明：抛物线与轴交点的纵坐标为， 当抛物线与轴相交时可得：， ， ，即：， 不论为任何实数，该抛物线与轴总有两个交点； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出、，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，可得：， 抛物线与轴交于和， 可得方程， ，， ． 16. 已知二次函数的图象与轴的交点为，． （1）______；______； （2）求该图象的顶点坐标； （3）画出这个函数的图象，并回答： ①当时，的取值范围是_____； ②当时，的取值范围是_____． 【答案】（1）2， （2） （3）画图如下： ①或；② 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）将，代入求解即可； （2）将表达式配方成顶点式求解即可； （3）①利用五点作图法画出图象，然后根据图象求解即可； ②根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得； 故答案为：2，． 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∴该图象的顶点坐标为； 【小问3详解】 ①列表如下： x 0 1 0 0 ∴由图象得，当时，的取值范围是或； 故答案为：或； ②当时，， ∴由图象得，当时，的取值范围是． 故答案为：． 17. 某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【解析】 【分析】（1）设平均月增长率为未知数，根据4月销量与6月销量的数量关系列一元二次方程求解． （2）以售价为自变量，月销售利润为因变量，结合销量与售价的变化关系构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值对应的售价． 【小问1详解】 解：设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，根据题意， 得， 整理得， 解得，， ∵月增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． 答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为每个元，月销售利润为元．单个头盔的利润为元． ∵售价每上涨2元，月销售量减少1个，当售价为400元时月销量为60个， ∴月销售量为个， ， 解不等式组得， 根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值．将，代入，得， ∵， ∴该售价符合实际销售的取值范围． 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 18. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作拋物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系：，已知，落点的水平距离是，竖直高度是． （1）点的坐标是______，点的坐标是______； （2）求与的函数关系式； （3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）利用待定系数法解答即可； （）求出直线的解析式，设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点，求出的关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得，点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大， 即当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，此时的水平距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校初三年级数学 一、单选题（每题3分，8题共24分） 1. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 3. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 4. 将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 函数的最小值为1 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴为直线 6. 如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，4题共12分） 9. 抛物线的顶点坐标是_______________ 10. 已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是___． 11. 已知一个直角三角形两直角边长之和为，则这个直角三角形的最大面积为____________． 12. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1） （2） （3） （4） 14. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 15. 已知抛物线 （1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴总有两个交点． （2）若，抛物线与轴交于和，求的值． 16. 已知二次函数的图象与轴的交点为，． （1）______；______； （2）求该图象的顶点坐标； （3）画出这个函数的图象，并回答： ①当时，的取值范围是_____； ②当时，的取值范围是_____． 17. 某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 18. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作拋物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系：，已知，落点的水平距离是，竖直高度是． （1）点的坐标是______，点的坐标是______； （2）求与的函数关系式； （3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $