精品解析：内蒙古自治区赤峰市红山区赤峰第十五中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测卷

赤峰第十五中学九年级上学期第一次月考卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 抛物线与轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 图象位于第二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 图象的两个分支关于原点对称 4. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（    ） A. B. C. D. 5. 酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ） A. 当时， B. 随的增大而减小 C. 是的函数 D. 图中曲线是反比例函数的图象 6. 已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 10. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 11. 已知函数（，均为常数）的图象都经过点，当时，x的取值范围是___________． 12. 二次函数 的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的是___________． 三、解答题 13. 解方程： （1） ； （2）； （3） （4） 14. 为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为：______________，自变量x的取值范围是：_________________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为：_____________________． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是该方程的两个实数根，且，求的取值范围． 16. 某超市以每件10元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于20元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）请你直接写出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式； （2）若该超市每天销售这种商品所获利润为750元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获利润最大？最大利润是多 17. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 18. 2026美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 足球离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如下表： … 10 12 14 16 18 … … 4.5 4.8 4.9 4.8 4.5 … （1）求与的函数表达式； （2）已知守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． ①若守门员选择原地接球，能否防守成功？请通过计算说明理由； ②通过系统监测，足球飞行的水平速度为．若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰第十五中学九年级上学期第一次月考卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 2. 抛物线与轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题．通过计算一元二次方程的判别式，判断抛物线与x轴的交点个数，即可作答． 【详解】解：依题意，抛物线与x轴的交点的横坐标即方程的实数根， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故抛物线与x轴有2个交点， 故选：C． 3. 关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 图象位于第二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 图象的两个分支关于原点对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的解析式，将点的坐标代入解析式中，可判断A； 根据反比例函数的解析式，可得出其图象的位置，可判断B； 根据反比例函数的解析式，结合增减性，可判断C； 根据反比例函数的解析式，可判断其对称性，可判断D． 【详解】解：反比例函数， 当时，， ∴点不在它的图象上， 故A错误； ∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大反而减小， 故B错误，C错误； 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确． 4. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移．先确定原抛物线的顶点坐标，根据抛物线平移规则“左减右加，上加下减”，再计算平移后的顶点坐标，从而得到新解析式． 【详解】解：∵原抛物线 的顶点为， ∴向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为；向上平移3个单位长度，顶点纵坐标变为． ∴平移后顶点为， ∴平移后所得抛物线的解析式为． 故选：A 5. 酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ） A. 当时， B. 随的增大而减小 C. 是的函数 D. 图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由图象得，当时，，故A正确； B、图象整体呈下降趋势，随的增大而减小，故B正确； C、图象中每一个值都有唯一确定的值与之对应；是的函数，故C正确； D、当、时，；当、时，，不为定值，该曲线不是反比例函数的图象，故D不正确． 6. 已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得离对称轴越远，函数值越小，据此比较出各点到对称轴距离的大小关系即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点、、都在二次函数图象上，且， ∴， 故选：D． 7. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，列出方程即可． 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 由题意，得：； 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的对称轴是直线， A．由一次函数图象可知，由二次函数图象可知，符号矛盾． B．由一次函数图象可知，，由二次函数图象可知，，即，符号一致． C．由一次函数图象可知，，由二次函数图象可知，，即，符号矛盾． D．由一次函数图象可知，由二次函数图象可知，符号矛盾． 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设宽为x步，则长为步，根据矩形面积公式列方程． 【详解】解：设宽为x步，则长为步．由题意， 得． 故答案为． 10. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 11. 已知函数（，均为常数）的图象都经过点，当时，x的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】将已知交点代入两个函数解析式求出对应参数，联立解析式得到两函数的所有交点，然后结合函数图象求解即可． 【详解】解：∵两个函数图象都经过点 ∴将代入，得，解得； 将代入，得，解得 ∴两个函数的解析式分别为，． 解方程组得，， ∴两个函数的交点为和． 函数，的图象为 由图可得，当时，x的取值范围是或． 12. 二次函数 的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的是___________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据开口方向和与y轴的交点位置以及对称轴可得a、b、c的符号，据此可判断①；根据当时，，结合对称轴公式可判断②③；根据对称性可得当时，，据此可判断④；根据在对称轴处函数有最大值可判断⑤． 【详解】解：∵函数图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，即 ∴，故①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∴，， ∴，故②③正确； ∵当时，， ∴由对称性可知，当时，， ∴，故④正确； ∵函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴， ∴，即，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④． 三、解答题 13. 解方程： （1） ； （2）； （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再开平方． （2）用因式分解法求解，把二次三项式分解成两个一次因式乘积． （3）移项整理成标准形式，因式分解法解方程． （4）移项后提取公因式因式分解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 或 ； 【小问3详解】 解： 或 ； 【小问4详解】 解： 或 ． 14. 为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为：______________，自变量x的取值范围是：_________________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为：_____________________． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】（1）； ； ． （2） （3）因为含药量不低于3毫克的时间是4分钟至16分钟，间隔12分钟，大于10分钟，所以消毒有效． 【解析】 【分析】（1）0分钟至8分钟时间内，设正比例函数的表达式为，代入坐标，求出值，即可求出燃烧时的函数，确定的取值范围；8分钟以后，再设反比例函数为，代入坐标，求出值，即可求出燃烧完后的函数； （2）根据题意，只要让反比例函数大于等于1.6，求出的范围，取等号时，就是最少需要等待的时间； （3）先计算燃烧时每立方米的含药量达到3毫克的时间，再计算消毒时每立方米的含药量达到3毫克的时间，那么根据图示，用即可算出每立方米的含药量不低于3毫克的时间，再用这个时间与10分钟比较，比10分钟长，消毒有效，比10分钟短，消毒无效． 【小问1详解】 解：设正比例函数的表达式为，代入坐标， 得到方程： ，解得， 所以； 如图所示，前8分钟为正比例图象，所以 ； 8分钟以后，设反比例函数为，代入坐标， 得到方程，解得， 所以反比例函数为 ． 【小问2详解】 解： ，解得， 所以从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室． 【小问3详解】 解：先计算燃烧时每立方米的含药量达到3毫克的时间： ，解得（分钟）， 再计算消毒时每立方米的含药量达到3毫克的时间： ，解得（分钟）， 每立方米的含药量不低于3毫克的时间： （分钟）， 因为12分钟大于10分钟， 所以消毒有效． 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是该方程的两个实数根，且，求的取值范围． 【答案】（1）证明： ． 无论取何值，都有，， 该方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）直接求出一元二次方程根的判别式，判断是否一定大于，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，把两根之和、两根之积代入不等式，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 详解见答案． 【小问2详解】 解：、是该方程的两个实数根， ，， ． 16. 某超市以每件10元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于20元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）请你直接写出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式； （2）若该超市每天销售这种商品所获利润为750元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获利润最大？最大利润是多 【答案】（1） （2）销售单价应定为元 （3）销售单价定为元时，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为，结合图形利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据“每天利润每件利润每天的销售量”建立方程求解，即可解题； （3）根据“每天利润每件利润每天的销售量”得到利润的表达式，再结合二次函数最值求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为， 由图知过点，， ， 解得， 每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：该超市每天销售这种商品所获利润为750元， ， 整理得， 解得或， 销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于20元， ， 销售单价应定为元． 【小问3详解】 解：利润 ， ， 当时，利润最大，最大利润为元． 即销售单价定为元时，最大利润为元． 17. 请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】（1） （2） （3）两个实数根分别是，4； 【解析】 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 【小问3详解】 解：一元二次方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大1， ∴的两个实数根分别是，4； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 18. 2026美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 足球离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如下表： … 10 12 14 16 18 … … 4.5 4.8 4.9 4.8 4.5 … （1）求与的函数表达式； （2）已知守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． ①若守门员选择原地接球，能否防守成功？请通过计算说明理由； ②通过系统监测，足球飞行的水平速度为．若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【答案】（1） （2）①不能，理由： ，， ， 当时，， 守门员的最大防守高度为，， 若守门员选择原地接球，不能防守成功． ② 【解析】 【分析】（1）根据表格设二次函数顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出时对应的高度，即可得解；②先求出当时对应的水平距离，进而求出守门员最少后退距离和所用时间，即可得解． 【小问1详解】 解：由表格可知，当和时，的值相同， 对称轴为直线， 顶点为， 设与的函数表达式为， 将，代入得，， 解得：， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①略 ②由题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 当时，， 解得：或， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，则舍去， 此时，即足球的飞行距离为，守门员最少后退， 足球飞行的水平速度为， 足球飞行的时间为， 守门员后退时间为 守门员成功防守的最小后退速度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $