3.3 圆的对称性 培优训练 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

苏科版九年级上册第3章 3.3 圆的对称性 培优训练 一、选择题 1、下列命题：①等弧就是长度相等的弧；②同心圆上的弦一定不相等；③三角形外心到三顶点距离相等；④圆绕圆心旋转任意角度都和自身重合；⑤平分弦的直径垂直于弦。其中正确的有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 2、垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（    ） A．B．C．D． 3、如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，在点P运动的过程中，OQ的长度为（　　） A．先变小后变大 B．变小 C．不能确定 D．不变 4、已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB=AC=5，BC=6，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25 5、如图，在中，弦，，，M，N分别为垂足，那么，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 6、⊙半径 13，弦 AB∥弦 CD，AB=24，CD=10，AB、CD 在圆心同侧。则 AB 与 CD 之间的距离为（　　） A．7　　B．17　　C．7 或 17　　D．12 7、如图，是半圆的直径，以弦为折痕折叠后，恰好经过点，则等于（　　） A． B． C． D． 8、已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（　　） A．1个 B．3个 C．6个 D．7个 9、如图，在⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（　　） A． B．1 C． D．2 10、如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 二、填空题（共 15 小题） 11、如图，在中，，连接，，则　　（填“”，“”或“” ）． 12、日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC=BD=5cm,AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD=16cm,⊙O的半径r=10cm,则圆盘离桌面CD最近的距离是 ______． 13、如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为______． 14、如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ． 15、已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为、，当弦的长等于时，点的坐标为 ． 16、如图，是的直径，C为圆上一点，且，的半径为4，P为圆上一动点，Q为的中点，则长度的最大值是 ．    三、解答题（共 15 小题） 17、如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB=6，，求⊙O的半径． 18、如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 19、如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2． （1）求⊙O的直径AE的长； （2）求EC的长． 20、如图所示：残缺的圆形轮片上，弦的垂直平分线交圆形轮片于点C，垂足为D， 解答下列问题： (1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置，并将圆形轮片所在的圆补全； （要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） (2)若弦，，求残缺圆形轮片所在圆半径r． 21、如图，射线平分，为射线上的一点，以为圆心，10为半径作⊙O，分别与两边相交于点A，B和点C，D，连接，此时有． (1)求证：； (2)若弦，求的长． 22、如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． (1)求的长； (2)若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 23、“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 24、如图1，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高为4米，宽为2.8米， (1)请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？为什么？ (2)如图2，若通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，问一辆宽1.4米高3.9米的车能通过这个通道吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版九年级上册3.3圆的对称性 培优训练 答案解析 一、选择题 1、答案：B 解析：等弧：能够完全重合的弧才叫等弧，只长度相等不一定重合，错误； 同心圆半径不同，弦可以相等，错误； 三角形外心是三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等，正确； 圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度与自身重合，正确； 平分弦（弦不能是直径）的直径垂直这条弦，两条直径互相平分但不一定垂直，缺少条件，错误。 正确的是③④，共2个。选B。 2、答案：C 3、答案：D 解析：因为 ，，，所以四边形 四个角都是直角，即 是矩形。 矩形对角线相等且互相平分，， 是 中点，所以 。 是半径等于2，所以 ，长度不变。选D。 4、答案：C 解析：， 等腰，作 于 ，， 由勾股定理：。 外接圆圆心 在 直线上，设半径为 ，，。 在 中： ，选C。 5、答案：C 解析：垂径定理： ，。 已知 ，所以 。 连接 ，（半径） ， 被减数相同，减数 ，所以 ，选C。 结论：同一个圆，弦越长，弦心距越短。 6、答案：A 解析：半径 ，， 弦心距 ；， 弦心距 。 在圆心同侧，距离 ； 如果异侧是 ，题目规定同侧，选A。 7、答案：A 解析：过 作 交圆于 ，折叠后弧 过 ， 说明：点 关于直线 的对称点在圆上。 即 垂直平分 （ 是 对称点，在圆上）， 所以 垂直平分 ，得 ， 半径。 在 中，直角边 斜边 ，可得 ，所以 ，选A。 8、答案：D 解析：直径 ，半径 ，，。 中，。 点 到直线 最短距离 ；最远距离 。 上点到 距离范围：。 整数可取：。 ：1个点（） ：直线上2个点 ：直线上2个点 ：直线上2个点 合计 个，选D。 9、答案：A 解析：连接 。，所以 是直角三角形。 勾股定理：， 为定值半径。要 最大，则 最小。 在弦 上， 最小值是 到 的垂线段， 当 时 最短，此时 是 中点。 ，中点位置，此时 最大，。选A。 10、答案：B 解析：直线 交 ，，， 。 是弦 中点，垂径定理：。 半径 ，，所以 ， 。 即：点 到原点 距离恒等于 ， 轨迹是以 为圆心、半径 的圆。 原点 到直线 的距离：用面积法 ，得 。 点 到直线 最大距离 = 原点到 距离 。 ，选B。 二、填空题 11、答案： 解析：，所以 。 在 中，两边之和大于第三边：，填 。 12、答案： 解析：作 于 ，则 ，，。 勾股定理：。 是圆心到桌面 距离为 。 圆盘最低点到桌面距离：半径 减去圆心到桌面距离 ，得 。 13、答案： 过圆心 作 于 ，连接 。 由垂径定理：。 ，即直径长为8，所以半径 。 。 在 中，。 根据直角三角形性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以 。 在 中，由勾股定理： 。 。 14、答案： 解析：半径3，直径 ，连接OD，交AC于 ， 是弧 中点，所以 ，。 是 中点，由全等可得 。 结合中位线OF=BC= OF + DF = 3OF=3 所以OF =1，BC=2, 是直角三角形（ 为直径，）， 由勾股定理：， 15、答案： 或 连接 ，过 作 于 。 由垂径定理：。 半径 ，在 中： 即点 到直线 的距离为 。 直线 是一、三象限角平分线。 过 作竖直线交 于 ，构造等腰直角三角形 。 由 ，等腰直角三角形斜边： 即点 到直线 的竖直距离等于 ，也就是 。 设 ， 在 上，所以 ，且 。 情况①：P 在直线 y=x 上方 把 代入 ： 解得正根 ，则 ，得到 。 情况②：P 在直线 y=x 下方 把 代入 ： 解得正根 ，则 ，得到 。 16、答案： 解析：取 中点 ， 是 中点， 由中位线定理：（ 半径）。 ，，取 ，作垂线用勾股定理算得 。 ，最大值 。 三、解答题 17题、(1) 证明： 因为 ，由垂径定理，所以 。 又 ，所以 。 是 中点，， 所以 为 中点（三角形中位线）， 即 。 (2) ，所以 ；。 中，。 设半径 ，则 。 中： 。 18题、(1) 证明：过 作 于 。 大圆垂径定理：；小圆垂径定理：。 ，所以 。 (2) ，，， 所以 ，。 大圆半径 ， 中：。 小圆半径 ， 中： 。 19题、(1) 设半径 ，，所以 。 ，垂径定理，。 中： ， 直径 。 (2) 连接BE。 因为AE是⊙O直径 所以∠ABE=90°，由垂径定理可得C是AB中点 所以OC=BE, 所以BE=6， 中：。 20题、(1) 作图：作另一条弦的垂直平分线，交点即为圆心 ，以 为半径画圆。 (2) 连接 ，设半径 ，，。 勾股定理： 。 21题、(1) 证明： 平分 ，所以 。 ，所以 。 所以 ，所以 （等角对等边）。 (2) 过 作 于 ，垂径定理：。 半径 ，所以 。 ，在 中，， 。 22题、(1) ，半径5，，，；，，。 在圆心两侧，。 (2) 作 关于直径 的对称点 ，连接 交 于 ，此时 最小。 算得最小值为 。 23题、(1) 设半径 ，水面弦 ，半弦3，深度1米，圆心到水面距离 。 勾股定理： 米。 (2) 弦变为8米，半弦4，圆心到水面距离 。 原来圆心距离水面： 米。 水面上涨高度 米。 24题、 (1) 卡车宽2.8，一半宽度1.4米。 半圆部分高度：。 总允许高度：，能通过。 (2) 中间隔离带宽0.4，单边可用宽度 ，车宽1.4，半车宽0.7。 半圆部分高度 。 总高度 ，能通过。 学科网（北京）股份有限公司 $