精品解析：吉林吉林市第九中学2026-2027学年度九年级上学期期中考试数学

吉林市第九中学2026-2027学年度上学期期中测试 九年级数学 一、选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1. 若点在函数的图象上，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 2. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 米 D. 米 4. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ 　 ） A. B. C. D. 6. 如图，2026年央视春晚舞台上，有一座大型灯光装饰塔．为保证舞台效果，工作人员从地面点处测得塔顶的仰角为，沿水平方向向塔底方向前进到达点，此时测得塔顶的仰角为．若塔底 在同一条直线上，且 ，则这座灯光装饰塔的高度为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 7. 如图，在中，，则的值是______． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，和是以原点为位似中心的位似图形．若，则点的坐标为_____． 9. 已知函数，当时，y的取值范围____________． 10. 如图，已知，其中，，则与的面积比为______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴，则以为边的正方形的周长为______． 三．解答题（共11小题，12题一14题，每题6分；15题一17题，每题7分；18题，19题，每题8分；20题，21题，每题10分；22题，12分，共87分） 12. 计算： 13. 已知二次函数， （1）求函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 14. 如图，已知，，，，，． （1）求和的度数； （2）求的长． 15. 如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．求证：． 16. 图1是一座风力发电机．图2是某团队使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 17. 图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出的边上的中线． （2）在图②中的边上确定一点，使． （3）在图③中的边上确定一点，使． 18. 西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 工具 皮尺、测领器等测量工具 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），为测得玻璃栈桥正下方地面某一标志物C到桥面的距离，小组成员首先借助测倾器在桥面上寻得一观测点A，使得，然后利用皮尺在桥面上寻得离A点的另一观测点B，利用测倾器测量的度数，最后求得标志物C到桥面的距离． 数据 ，，． 根据上述信息，请你帮助实践小组求出标志物C到桥面的距离．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 19. 掷实心球是吉林中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度（单位：）可近似看作水平距离（单位：）的二次函数、他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是___________． （2）求满足条件的抛物线的解析式． （3）根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分10分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 20. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）抛物线的解析式为______________________，解析式为______________________； （2）若点为线段上一点（不与重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的最大面积； （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21. 如图，在正方形中，，连接两点分别从同时出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度．在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以为邻边作平行四边形．设运动时间为秒，平行四边形和正方形重叠部分的图形面积为． （1）当点在上运动时，用含的代数式表示的长___________； （2）当点在上时，___________； （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，且横坐标为，若轴（点不重合），则的长度为___________； （3）当时，若二次函数的最大值和最小值之差为，请求出的值； （4）已知，连接，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，的取值范围为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第九中学2026-2027学年度上学期期中测试 九年级数学 一、选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1. 若点在函数的图象上，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，直接求解a的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，， 代入得：， 解得：． 故选：A． 2. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 3. 如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】由斜坡的坡比为，可知斜坡坡角为，然后运用正弦函数解答即可． 【详解】解：如图， 因为坡度比为，即， ∴ ， 由题意可知，运动员沿斜坡滑下米， 则其下降的高度米． 4. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 5. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定二次函数的开口方向与对称轴，比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 6. 如图，2026年央视春晚舞台上，有一座大型灯光装饰塔．为保证舞台效果，工作人员从地面点处测得塔顶的仰角为，沿水平方向向塔底方向前进到达点，此时测得塔顶的仰角为．若塔底 在同一条直线上，且 ，则这座灯光装饰塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据列式求出这座灯光装饰塔的高度即可． 【详解】解：根据题意，得． ． 在中， ． ∴． 在中， ． ． 答：这座灯光装饰塔的高度为． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 7. 如图，在中，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据正切定义求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：==4， ∴==， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、正切，理解正切的定义，会利用勾股定理解直角三角形是解答的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，和是以原点为位似中心的位似图形．若，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，且，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 9. 已知函数，当时，y的取值范围____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 10. 如图，已知，其中，，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴，则以为边的正方形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，正方形的性质，根据二次函数的性质得出、关于对称轴对称，根据点的横坐标得出长，再根据正方形的性质求出即可． 【详解】点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴， 的横坐标为，、关于对称轴对称， 点的横坐标是，则 即正方形的边长是， 所以正方形的周长是， 故答案为：． 三．解答题（共11小题，12题一14题，每题6分；15题一17题，每题7分；18题，19题，每题8分；20题，21题，每题10分；22题，12分，共87分） 12. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先计算题目计算式中的 ，，，，，再把它们的结果代入计算式进行加减运算即可得答案. 【详解】解： 13. 已知二次函数， （1）求函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 解：新抛物线不经过，理由如下： 把此抛物线向左平移2个单位、再向下平移2个单位得到的新抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴新抛物线不经过． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移问题，求二次函数的顶点坐标和对称轴，求二次函数的函数值等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，再求出时的函数值即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 略 14. 如图，已知，，，，，． （1）求和的度数； （2）求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、相似三角形的性质，解题的关键熟练掌握相似三角形的性质，列出比例式． （1）根据三角形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质即可得到和的度数； （2）根据相似三角形的相似比可直接得到答案． 【小问1详解】 解： ， ，； 【小问2详解】 ， ∴ ∵，，， ∴， 解得：． 15. 如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．求证：． 【答案】证明：∵的平分线交于点， ， 由题意， ∴, ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由条件分别证明，，即可证明题目． 【详解】略 16. 图1是一座风力发电机．图2是某团队使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 【答案】这座风电塔筒的高度约为． 【解析】 【分析】由图可知四边形是矩形，因此可得 是直角三角形，在中，已知，根据正切定义 ，可求得的长度，进而，即得到塔筒高度． 【详解】解：延长，交于点， ∴根据题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴在中，， ∴ ， ​ ∴， ∴ ， 答：这座风电塔筒的高度约为． 17. 图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出的边上的中线． （2）在图②中的边上确定一点，使． （3）在图③中的边上确定一点，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接即可． （2）取格点，使，且，连接，与的交点即为点． （3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，取格点，使，且，连接交于点， 则点即为所求． 【小问3详解】 如图③，取格点，，使，且，连接交于点， 则， 则， 即， 则点即为所求． 18. 西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 工具 皮尺、测领器等测量工具 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），为测得玻璃栈桥正下方地面某一标志物C到桥面的距离，小组成员首先借助测倾器在桥面上寻得一观测点A，使得，然后利用皮尺在桥面上寻得离A点的另一观测点B，利用测倾器测量的度数，最后求得标志物C到桥面的距离． 数据 ，，． 根据上述信息，请你帮助实践小组求出标志物C到桥面的距离．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 【答案】标志物C到桥面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解一元一次方程等．根据题意过点C作于点 D， 设，再表示出和，最后列出方程计算即可． 【详解】解： 如图，过点C作于点 D， 设， 在中， 在中，， ， ∵， ∴，解得：， 即标志物C到桥面的距离约为． 19. 掷实心球是吉林中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度（单位：）可近似看作水平距离（单位：）的二次函数、他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是___________． （2）求满足条件的抛物线的解析式． （3）根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分10分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）王阳在此次投掷中得到满分． 理由如下： 令则 解得 (不合题意，舍去)． ∴王阳在此次投掷中实心球从起点到落地点的水平距离为，大于，故此次投掷中得到满分． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到抛物线的对称轴为直线根据顶点坐标公式求得顶点坐标，即可求得实心球在空中的最大高度； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）令，计算出实心球落地距离，然后作出判断即可． 【小问1详解】 解：∵当 与 时实心球在同一高度， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当时，实心球在空中的高度最大， ∴实心球在空中的最大高度是， 故答案为∶ ； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， 把， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 略 20. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）抛物线的解析式为______________________，解析式为______________________； （2）若点为线段上一点（不与重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的最大面积； （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出解析式即可； （2）设点坐标为，则点坐标为，可表示出的长，则的面积，可用表示出来，根据二次函数的性质可求出面积的最大值； （3）分两种不同的情况进行讨论：，，利用勾股定理建立方程，解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点， 当时，得：， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点坐标为，则点坐标为， ， ， 当时，的面积最大，最大值为； 【小问3详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 由（1）可得， 设， ，，， 当时，由勾股定理得：， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，由勾股定理得：， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 21. 如图，在正方形中，，连接两点分别从同时出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒2个单位长度．在上的速度为每秒个单位长度．在运动过程中，以为邻边作平行四边形．设运动时间为秒，平行四边形和正方形重叠部分的图形面积为． （1）当点在上运动时，用含的代数式表示的长___________； （2）当点在上时，___________； （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间表示即可； （2）如图1中，当点M落在上时，是等腰直角三角形，构建方程求解即可； （3）分三种情形：如图中，当时，重叠部分是矩形，如图中，当，重叠部分是四边形，如图中，时，重叠部分是五边形，分别求解，可得结论 【小问1详解】 解：∵点Q沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度， ∴点运动到点A时需：秒， ∴点在上时，； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 如图1中，当点M落在上时， ∵以为邻边作平行四边形． ∴，， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点B运动； ∴ ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图中，当时，重叠部分是矩形， 依题意，， 矩形的面积， 即． 如图中，当时，重叠部分是四边形， 过点作， 同理证明是等腰直角三角形 ∴ 由（1）得， ∴ ∴平行四边形的面积， 即． 如图中，当时，重叠部分是五边形， ， 同理证明是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 同理证明是等腰直角三角形， ∴ ． 综上所述，． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，且横坐标为，若轴（点不重合），则的长度为___________； （3）当时，若二次函数的最大值和最小值之差为，请求出的值； （4）已知，连接，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，的取值范围为___________． 【答案】（1） （2）1 （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）结合（1）中抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性即可解答； （3）分和两种情况，结合图象讨论即可； （4）由随的增大而增大可知，再分点M在点P上方和点M在点P下方两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：将代入抛物线， 得：，即， ∴抛物线函数表达式为：； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点横坐标为，点的横坐标为，且轴（点不重合）， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即点与点关于对称轴对称， ∴， 解得：， ； 【小问3详解】 解：设抛物线与y轴交于点B， ， ∴顶点坐标为． 将代入，则， ， ∴点关于对称轴的对称点为， 根据题意：，抛物线图象开口向上，对称轴为直线， 当时，则在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为点，最低点为点， ∵最高点和最低点的纵坐标之差为， ∴，即， 解得：或（舍去）； 当时，则在点和点A之间的部分（包括两点）的最高点为点，最低点为， ∵最高点和最低点的纵坐标之差为， ，即， 解得：或（舍去）； 综上，的值为或； 【小问4详解】 解：， ∴抛物线对称轴是直线． ∵随的增大而增大，点在抛物线上，横坐标为， ∴． 当点M在点P上方时，抛物线在内部没有图象，此种情况不符合题意； 当点M在点P下方时，如图，此种情况符合题意， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴． 综上可知，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $