精品解析：吉林长春市东北师范大学慧仁实验学校2026-2027学年上学期九年级数学期中试题

东北师范大学慧仁实验学校2026-2027学年上学期 九年级期中考试 数学学科 时间：120分钟分数：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键； 分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解： A、，是有理数，故符合题意； B、，是无理数，故不符合题意； C、，是无理数，故不符合题意； D、，是无理数，故不符合题意； 故选：A 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，A错误． 与不是同类二次根式，不能合并，B错误． ，，计算正确，C正确． 与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 通过将方程两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：∵， ∴ 两边加4得 ，即． 故选C． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为． 5. 如图①是商场摆放的花架，图②是其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 故选C． 6. 如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（ ） A. 20m B. C. D. 10m 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，圆的切线性质，理解题意是解题的关键．根据题意画出图形，解即可． 【详解】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 7. 如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用网格平行线性质证明，得出线段比例关系，结合勾股定理求解． 【详解】解：由图可知， ， ， ，  ，  由网格可知， ∴，  ，  由勾股定理得 ， ． 8. 如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( ) A. 25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B. 线段CD的函数解析式为 C. 5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D. 曲线段AB的函数解析式为 【答案】C 【解析】 【分析】直接观察图象可判断A、C，利用待定系数法可判断B、D，由此即可得答案. 【详解】观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误； 设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得 ，解得：， 所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确； 由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200， 把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200， 解得：a=-3， 所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确， 故选C. 本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的． 【点睛】本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把握相关知识是解题的关键. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形代入求值，准确的计算是解决本题的关键． 将所求表达式拆分为，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 10. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，据此列出方程求解． 【详解】解： 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得 故答案为：． 11. 已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 12. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：， 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，，以为边，在第一象限内作正方形，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过点A、B的坐标，利用全等三角形的方法推导点D的坐标，再根据位似图形的坐标变化规律，结合已求得的点D的坐标，得到符合条件的点的坐标． 【详解】过D作轴于E， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴，即D点坐标为．  ∵两个正方形以原点O为位似中心，位似比，且位似图形在第三象限， ∴ ． 14. 如图，在正方形中，点E是边上一点，连接，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，与交于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论序号为________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，即可判断①；证明出，得到，即可判断②；证明出，得到，然后结合即可判断③；设，，则，分别表示出，，即可判断④． 【详解】解：∵在正方形中，是对角线， ∴，是等腰直角三角形，, ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴，，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，故③错误； ∵， ∴设，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论序号为①②④． 三．解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项得到最简结果，再代入计算即可． 【详解】解： ； 将代入得：原式． 16. 第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，再得出小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：短道速滑、冰壶、冰球这三个项目分别用A、B、C表示，画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪被分配到同一项目组的结果有3种， ∴小冰和小雪被分配到同一项目组的概率为 ． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中的边上找到一点，使； （3）在图③中的边上找到一点E，使得点E到边的距离相等． 【答案】（1） 如图①，即为所求； （2） 如图②，点F即为所求． （3） 如图③所示，的角平分线，点E即为所求，如图③即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的对角线互相平分即可得到答案； （2）根据相似三角形的判定和性质得出即可作图； （3）根据勾股定理作等腰三角形，再结合三线合一的性质可知平分，根据角平分线的性质即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，甲楼的高度为，经测得，甲楼的底端B处与乙楼的底端D处相距，从甲楼顶部A处看乙楼顶部C处的仰角的度数为．求乙楼的高度（结果精确到）．[参考数据：，，]． 【答案】乙楼的高约为． 【解析】 【分析】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．作于E．在中，根据正切函数的定义得出，由求解即可． 【详解】解：如图，作于E． 由题意，得，，． 在中，∵，， ∴， ∴． 答：乙楼的高约为． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证方程有两个不相等实数根． （2）若为方程的实数根，且，求k的值． 【答案】（1）证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，，根据题意，代入解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴． 20. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为（精确到0.1）． （2）估算盒子里有白球 ___________个． （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】（1）0.6 （2）24 （3）10 【解析】 【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得； （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案； （3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值． 本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【小问1详解】 解：根据表中的数据可知，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； 【小问2详解】 估算盒子里约有白球（个）， 故答案为：24； 【小问3详解】 根据题意知，， 解得， 答：可以推测出x最有可能是10． 21. 已知一个二次函数． （1）将二次函数转化为的形式，并写出转化过程； （2）对称轴为直线_________； （3）随的增大而减小时自变量的取值范围为_________； （4）当时，的取值范围为_________； 【答案】（1）  解： ； （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线； ∴当时，随的增大而减小； 【小问4详解】 解：∵ ， ∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线； ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为；当时，函数值最大为4； ∴的取值范围为. 22. 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 3 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.6米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分． 【解析】 【分析】（1）根据图表即可求解； （2）根据顶点坐标可设抛物线的解析式为，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时的值， 通过图表可得：当时，， 即在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米， ∵当时，；当时，， ∴对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 略 23. 课题学习： 【证明体验】 （1）如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）若将（1）中改为如图2中的锐角，其他条件不变，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形．点在边上，点在边上，点在边上，且，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ； （2）结论成立，证明如下： 设， ， ，， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用直角互余，推导出一组等角，证明，再由相似三角形对应边成比例，变形得到乘积式； （2）成立，类比第（1）问，用三角形内角和定理和平角推出，证明，同样利用比例式变形得到乘积式； （3）由（1）（2）得，利用相似三角形的性质算出，再利用角度代换得到，推出，得到比例式，设，列一元二次方程求解，最后算出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是等腰直角三角形， ，， ， ， 点在边上， 由（1）（2）得， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 如图，在中，，，，于点，点为射线上一动点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接、、． （1）_________；_________； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当四边形为轴对称图形时，求的值； （4）当时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）证明：点和关于点对称，点和关于点对称， ，, 四边形是平行四边形． （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据已知得出，进而根据正切值的定义，即可求解； （2）根据对称的性质可得，，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （3）分情况讨论：①当四边形为矩形时，②当四边形是菱形时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （4）当在的左侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交于点，则四边形是矩形，得，即点到的距离，根据对称性可得，到的距离相等，则，证明，得出，求得的长；证明得出，进而根据，即可求解；当在的右侧时，同理可得，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况讨论， ①当四边形为矩形时，则， ∴在上， 如图，过点作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当四边形是菱形时，则， ∴，重合，如图， ∵， ∴， ∵，即， ∴（负值已舍去）， 综上所述，四边形为轴对称图形时，或； 【小问4详解】 解：当在的左侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即点到的距离， ∵，关于点对称，点在射线上， ∴，到的距离相等， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（负值已舍去）， ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在的右侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交延长线于点， 同理可得，， ∴，即， ∴（负值已舍去）， 同理可得，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学慧仁实验学校2026-2027学年上学期 九年级期中考试 数学学科 时间：120分钟分数：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图①是商场摆放的花架，图②是其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（ ） A. 20m B. C. D. 10m 7. 如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( ) A. 25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B. 线段CD的函数解析式为 C. 5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D. 曲线段AB的函数解析式为 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 已知，则的值为___________． 10. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 11. 已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 12. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，，以为边，在第一象限内作正方形，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为，则点的坐标是______． 14. 如图，在正方形中，点E是边上一点，连接，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，与交于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论序号为________． 三．解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中的边上找到一点，使； （3）在图③中的边上找到一点E，使得点E到边的距离相等． 18. 如图，甲楼的高度为，经测得，甲楼的底端B处与乙楼的底端D处相距，从甲楼顶部A处看乙楼顶部C处的仰角的度数为．求乙楼的高度（结果精确到）．[参考数据：，，]． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证方程有两个不相等实数根． （2）若为方程的实数根，且，求k的值． 20. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为（精确到0.1）． （2）估算盒子里有白球 ___________个． （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 21. 已知一个二次函数． （1）将二次函数转化为的形式，并写出转化过程； （2）对称轴为直线_________； （3）随的增大而减小时自变量的取值范围为_________； （4）当时，的取值范围为_________； 22. 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 3 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.6米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 23. 课题学习： 【证明体验】 （1）如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）若将（1）中改为如图2中的锐角，其他条件不变，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形．点在边上，点在边上，点在边上，且，若，请直接写出线段的长． 24. 如图，在中，，，，于点，点为射线上一动点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接、、． （1）_________；_________； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当四边形为轴对称图形时，求的值； （4）当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $