精品解析：江苏连云港市赣榆初级中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

2026-2027学年度第一学期八年级数学学情调研 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 实数9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 在实数3.1415，，，中，无理数是（ ） A. 3.1415 B. C. D. 3. 如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，测得，，则点，间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是5×5的正方形网格，以点D．E的两个顶点作位置不同的格点三角形（顶点在网格横线与竖线的交点上的三角形称为格点三角形），使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画几个（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 7. 小乐同学在国庆假期去方特游玩时乘坐了海盗船（如图①），如图②，当静止时，海盗船中心位于铅垂线上，转轴到地面的距离为；当海盗船中心摇摆到处时，于点；此时测得处到地面的距离为；当海盗船中心从处摇摆到处时，于点．则此时点到的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 计算：_______． 10. 年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 11. 如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 12. 如图，中，，的垂直平分线交于点D，且的周长是，则________． 13. 如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则的面积为_____________． 14. 如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得，此时点B到AD的距离为______． 15. 如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点，连接的延长线交于点，若，则的长为__________． 16. 如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 三、解答题 17. 计算：； 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 20. 已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 21. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 22. 【新情境】 图①是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图②，将图①所示的仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D、点E分别在边，上，沿AF画一条射线，交于点P．是的平分线吗？如果是说明理由 （2）如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，求的面积． 23. 如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． （1）求的长； （2）试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； （3）若，则___________． 24. （1）已知：如图①，，，点为上一点，，垂足为，且，求证：平分； （2）尺规作图：如图②，已知，，在上作一点，使点到点的距离和点到边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）． 25. 综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数．无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ， 的整数部分是2，小数部分是． （1）的整数部分是_________； （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值； （3）已知，其中是整数，且，求的值． 26. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型初现】 （1）如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A． B． C． D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 （2）如图2，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边，、交于点，证明：，并求出的度数； 【模型深化】 （3）如图3，、是等腰直角三角形，，，，连接、，探究、的数量关系与位置关系，并给出证明； 【拓展延伸】 （4）如图4，是等腰直角三角形，其中，，，连接，请直接写出、、之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期八年级数学学情调研 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 实数9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2. 在实数3.1415，，，中，无理数是（ ） A. 3.1415 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在实数3.1415，，，中，只有是无理数，3.1415，，都是有理数； 故选C． 3. 如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，测得，，则点，间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的实际应用，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 在中，由三角形三边关系可得，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 则由三角形三边关系可得， 四个选项中满足的是， 故选：B． 4. 如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答． 【详解】选项A，添加， 在和中， ， ∴≌（ASA）， 选项B，添加， 在和中，，，，无法证明≌； 选项C，添加， 在和中， ， ∴≌（SAS）； 选项D，添加， 在和中， ， ∴≌（AAS）； 综上，只有选项B符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 5. 如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 6. 如图是5×5的正方形网格，以点D．E的两个顶点作位置不同的格点三角形（顶点在网格横线与竖线的交点上的三角形称为格点三角形），使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画几个（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的判定，勾股定理等知识，取格点，，，，分别连接，，，，，，，，由可得，，，，即可得出答案，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，，，，分别连接，，，，，，，， 由图可知，， ， ， ， ， ∴，， 在和中， ， ∴， 同理：，，， ∴共有个与全等， 故选：B． 7. 小乐同学在国庆假期去方特游玩时乘坐了海盗船（如图①），如图②，当静止时，海盗船中心位于铅垂线上，转轴到地面的距离为；当海盗船中心摇摆到处时，于点；此时测得处到地面的距离为；当海盗船中心从处摇摆到处时，于点．则此时点到的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于点F，先证，进而证明，推出，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，作于点F， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 点到的距离是． 8. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，由题意得的周长为，其中为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到A，B关于对称，得到，当A，M，D三点共线时，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，且为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接，， 由题意可得A，B关于对称， ∴， ∴当A，M，D三点共线时，， 在等腰中，点D为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 计算：_______． 【答案】5 【解析】 【详解】解：． 10. 年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】解：生活中利用三角形构造支撑结构，应用了三角形具有稳定性的原理，因此该应用的数学原理是三角形具有稳定性． 11. 如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题分情况讨论，分别为底边长为或腰长为两种情况，再结合三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：∵等腰三角形周长为，其中一边长为， ∴分两种情况讨论： 当底边长为时， 腰长为， 此时三边长分别为，，， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 当为腰长时， 底边长为， 此时三边长为，，， 由于，不满足三角形三边关系，故舍去； 综上，该等腰三角形的底边长为． 12. 如图，中，，的垂直平分线交于点D，且的周长是，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长， ，的周长是， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可；本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形 中线平分三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：∵点为边的中点， ∴； ∵点为边的中点， ∴， ∴； ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得，此时点B到AD的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，构造直角三角形，再利用等边三角形的性质，得出，求解即可， 【详解】解：如图：作交于点， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ， 中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形，做辅助线构造直角三角形是解题的关键． 15. 如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点，连接的延长线交于点，若，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由作图痕迹可得，判定为等边三角形，求出和的度数，进而利用直角三角形两锐角互余及角的和差关系证得，得出即可求解. 【详解】解：由作图痕迹可得，， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ． 16. 如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 三、解答题 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方根解方程； （2）利用立方根解方程． 【小问1详解】 解：， 两边开平方，得：； 【小问2详解】 解：， 整理得，， 两边开立方，得：， 解得． 19. 已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根是 【解析】 【分析】根据平方根和立方根的定义得到关于m、n的方程，解得m和n的值，然后再求得代数式的值，再求其算术平方根可得答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∴， ∴的算术平方根是． 【点睛】本题主要考查有关平方根、立方根、算术平方根的有关计算，解决本题的关键是掌握平方根的定义和立方根的定义． 20. 已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】略 21. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1） 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 22. 【新情境】 图①是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图②，将图①所示的仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D、点E分别在边，上，沿AF画一条射线，交于点P．是的平分线吗？如果是说明理由 （2）如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，求的面积． 【答案】（1） 解：是，理由如下： 由题意，，， ∵点O与顶点A重合，点D、点E分别在边，上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）12 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，角平分线的性质，是解题的关键： （1）证明，得到，即可； （2）根据角平分线的性质，结合三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：是的平分线， ∴点到的距离相等， ∵， ∴点到的距离均为的长， ∵，， ∴的面积． 23. 如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． （1）求的长； （2）试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； （3）若，则___________． 【答案】（1）20 （2） 解：点在边的垂直平分线上， 理由：连接， 与是，的垂直平分线， ， ， 点在边的垂直平分线上； （3） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论； （3）根据线段垂直平分线的性质得到，进而求出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：垂直平分， ， 同理， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：垂直平分线段垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 24. （1）已知：如图①，，，点为上一点，，垂足为，且，求证：平分； （2）尺规作图：如图②，已知，，在上作一点，使点到点的距离和点到边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，点为所作． ． 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，作垂线、平行线的性质，等边对等角． （1）先证明，求得，利用等边对等角求得，得到，即可得到平分； （2）作的平分线交于点，再过点作交于点，即可． 【详解】（1）略 （2）略 25. 综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数．无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ， 的整数部分是2，小数部分是． （1）的整数部分是_________； （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值； （3）已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中的方法求解即可； （2）求出的小数部分，的整数部分，代入计算即可； （3）求出的整数部分是，小数部分是．代入计算即可． 【小问1详解】 解： ， ∴的整数部分是3． 【小问2详解】 解： ， ∴的整数部分是1，小数部分． ， ∴的整数部分． ∴ 【小问3详解】 解：∵的整数部分是1，小数部分是． ∴的整数部分是，小数部分是． ∵，是整数，且， ∴， ∴． 26. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型初现】 （1）如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A． B． C． D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 （2）如图2，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边，、交于点，证明：，并求出的度数； 【模型深化】 （3）如图3，、是等腰直角三角形，，，，连接、，探究、的数量关系与位置关系，并给出证明； 【拓展延伸】 （4）如图4，是等腰直角三角形，其中，，，连接，请直接写出、、之间的数量关系． 【答案】（1）C （2） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵，， ∴ ， ∵， ∴ ； （3） ，且， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）通过角的和差运算得到两边的夹角相等，结合已知的两组等边，可用判定三角形全等； （2）先利用等边三角形的边、角性质证得 ，再通过角的等量代换结合三角形内角和求出； （3）由角的和差得夹角相等证得 ，再通过角的转化证明两线夹角为，得出 ； （4）利用“同角的余角相等”推出，再代入的内角和定理得到三个角的数量关系． 【小问1详解】 解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是手拉手模型的经典呈现，核心是共顶点等腰三角形通过证全等，得对应边相等且夹角等于原顶角，拓展题则巧用同角的余角相等结合三角形内角和完成角的转化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $