精品解析：江苏省连云港市赣榆实验学校2025-2026学年上学期八年级数学第二次月考试卷

2025－2026学年度第一学期第二次素养评价 八年级数学试卷 （本卷满分165分，共4页，考试时间120分钟） 友情提醒：请将所有答案填写在答题卡规定区域，字迹工整，在其他区域答题无效． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在如图所示的平面直角坐标系中，下列各点中哪个点可能被图中的手盖住的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点坐标为，则该直线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标的位置分别记为，则目标的位置记为（ ） A. B. C. D. 6. 小明和爸爸出门散步，用匀速走了后，爸爸遇到一位朋友，停下与朋友交谈后，用匀速步行回到家里，在下列四个图象中，表示爸爸行走路程与时间之间的函数关系的（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，点 在第二象限，且距离轴个单位长度，距离轴 个单位长度，则点 的坐标为_______． 10. 线段平行于轴，点的坐标为，且，点的坐标为__________． 11. 在平面直角坐标系中有一个轴对称图形，点与点是图形中的一对对称点，此图形中点的对称点坐标为__________． 12. 已知，是一次函数图象上的两点，且，n与b的大小关系是__________． 13. 直线沿轴向下平移3个单位，则平移后直线与轴的交点坐标为________． 14. 若直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 15. 如图，一束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，则点的坐标是____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点B的坐标为__________． 三、解答题（共11题，共117分，其中附加题15分） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的图形； （2）将向左平移5个单位长度得到，画出； （3）若P是线段上一点，经过上述两次变换后，线段上的对应点的横坐标为，则点P的坐标为 ． 18. 根据下列条件求函数表达式 （1）已知一次函数的图象经过点，，求这个一次函数的表达式． （2）已知一次函数的图象过点，并且是由一次函数的图象平移得到的，求该一次函数的表达式． 19. 某超市推出两种购物优惠方案：方案一，单笔消费满200元减50元；方案二，单笔消费打8折．设单笔消费金额为元（），分别写出两种方案的实付金额与的函数表达式，并说明当为何值时，两种方案的实付金额相同． 20. 某收割机的油箱加满油开始工作后，油箱中的剩余油量Q（）与工作时间t（）之间为一次函数关系，已知工作，时，油箱剩余油量分别为，． （1）求Q关于t的函数表达式； （2）求该收割机的油箱容量； （3）一箱油可供该收割机工作多长时间？ 21. 在平面直角坐标系中，已知点，，点是轴上一点，且的面积是6． （1）求点的坐标： （2）若点在轴正半轴上．点A，B，C是一个平行四边形的三个顶点，直接写出第四个顶点D的坐标．（注：平行四边形不相连的边平行且相等） 22. 如图，公路上有A、B、C三个汽车站，一辆汽车8：00从离A站10km的P地出发，向C站匀速行驶，15min后离A站30km． （1）设出发x h后，汽车离A站y km，写出y与x之间的函数表达式； （2）当汽车行驶到离A站250km的B站时，接到通知要在12：00前赶到离B站60km的C站．汽车按原速行驶，能否准时到达？如果能，那么汽车何时到达C站？ 23. 小明骑车从学校去市图书馆借书，然后按原速度原路返回学校，小丽从学校和图书馆之间的文具店出发，沿与小明相同的路线，步行前往图书馆，两人距学校的路程关于时间的函数图象如图所示． （1）小丽的速度是多少？ （2）小明、小丽途中相遇了几次？相遇时，他们距离学校多远？ （3）小丽与小明之间相距的路程为时，直接写出的值． 24. 学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． （1）在平面直角坐标系中，画出函数的图象； ①列表：完成表格 x … 0 1 2 3 … y … ②画出的图象； （2）结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质； （3）直接写出函数与图象的平移关系； （4）求出函数与函数的交点坐标． 25. 已知关于x的一次函数，解决下列问题： （1）如果这个函数的图象经过原点，求m的值． （2）不论m取何值，的图象一定经过某个定点，求这个点的坐标． （3）在坐标系中，点，如果此坐标系中，函数的图象与线段有交点，求m的取值范围，并求m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积． 26. 【构建模型】 （1）如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为腰在第一象限作等腰直角，，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． （2）求（1）中点C的坐标，并求出直线的函数表达式． 【模型应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数表达式． （4）如图3，图1中的B点是y轴上的一个动点，A点保持不变，连接，在点B的运动过程当中，直接写出线段与的和的最小值为 ． 附加题 27. 如图，在平面直角坐标系内，等边的顶点，，于点H，点D为线段上一点，把点D绕点C逆时针旋转至点E． （1）点D从A到H运动的过程中，点E运动的路线长为 ； （2）若点E的坐标为，则y关于x的函数表达式为 ； （3）点D运动过程中，的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期第二次素养评价 八年级数学试卷 （本卷满分165分，共4页，考试时间120分钟） 友情提醒：请将所有答案填写在答题卡规定区域，字迹工整，在其他区域答题无效． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在如图所示的平面直角坐标系中，下列各点中哪个点可能被图中的手盖住的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各个象限内点的坐标特征，解决本题的关键在于明确各象限内点的坐标符号规律． 根据手所在的位置判断其覆盖区域内点的横、纵坐标的正负性即可． 【详解】解：由图像可知，手位于第四象限， 选项A：点在第四象限，故手能盖住； 选项B：点在第二象限，故手不能盖住； 选项C：点在第一象限，故手不能盖住； 选项D：点，在第三象限，故手不能盖住． 故选：A． 2. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，形如的函数是一次函数，据此判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一次函数，符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 故选：． 3. 点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解一元一次不等式组，熟练掌握各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点坐标为，则该直线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求出直线解析式，再令求出其函数值，即可解题． 【详解】解：直线与x轴的交点坐标为， ，解得， 直线解析式为， 当时，， 该直线与y轴的交点坐标为， 故选：D． 5. 如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标的位置分别记为，则目标的位置记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据A，B的位置得到第一个数为所在的圈数，第二个数为从逆时针旋转的度数，进而表示出点D的位置即可． 【详解】∵目标的位置分别记为 ∴目标的位置记为 故选：B 6. 小明和爸爸出门散步，用匀速走了后，爸爸遇到一位朋友，停下与朋友交谈后，用匀速步行回到家里，在下列四个图象中，表示爸爸行走路程与时间之间的函数关系的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据实际行程情况判断函数图象，解题本题的关键在于分析爸爸在不同时间段的运动状态． 根据爸爸先匀速运动，再停止不动，最后匀速运动，由这些状态对应的路程和时间变化来确定函数图象的特征即可． 【详解】解：爸爸用匀速走了， 则路程随时间的增加而均匀增加，图象是一条上升的线段， 爸爸停下与朋友交谈，这期间时间在增加，但路程没有变化， 所以图象是一条水平线段，排除B，C选项； 爸爸用匀速步行回到家里，即路程从逐渐减少到， 图象是一条下降的线段； A选项，停留的时间为，排除A选项． 综上所述，D选项符合题意． 故选：D． 7. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 8. 若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，以及利用函数图象来求解不等式的解集，解决本题的关键在于利用函数图象的交点坐标来确定不等式的解集． 先根据点A在函数上求解出x的值，再结合图象求解不等式即可． 【详解】解：已知交点在函数的图象上， ∴，可得， 即交点的坐标为． 由图象可知，关于的不等式的解集为函数在函数上方的部分包含交点， 即， ∴关于的不等式的解集是． 故选：C． 二、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，点 在第二象限，且距离轴个单位长度，距离轴 个单位长度，则点 的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点所在的象限，确定横纵坐标的符号，根据到轴、轴的距离，确定横纵坐标的数值，本题考查了点的坐标，解题的关键是：掌握四个象限内点的坐标符号特点，和到轴、轴的距离所对应的坐标数值． 【详解】解：点 在第二象限， 横坐标为负，纵坐标为正， 距离轴个单位长度，距离轴 个单位长度， 横坐标：，纵坐标为， ， 故答案为：． 10. 线段平行于轴，点的坐标为，且，点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征． 由于线段平行于轴，点和点的横坐标相同；，分点在点上方和下方两种情况，根据两点间距离公式，纵坐标差的绝对值为，从而点的纵坐标为或． 【详解】点的坐标为，线段平行于轴，因此点的横坐标与点相同，为；设点N的纵坐标为，则，解得或，故点N的坐标为或． 故答案为或． 11. 在平面直角坐标系中有一个轴对称图形，点与点是图形中的一对对称点，此图形中点的对称点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征，在平面直角坐标系里，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．通过点和点的坐标特征，确定图形关于轴对称，再根据轴对称性质求点的对称点坐标． 【详解】点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此图形关于轴对称．点关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，故对称点坐标为． 故答案为． 12. 已知，是一次函数图象上的两点，且，n与b的大小关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的增减性． 利用一次函数的增减性，得到该函数递减，结合，即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小． 又∵， ∴点的横坐标大于点的横坐标， ∴点的纵坐标小于点的纵坐标， 即． 故答案为：． 13. 直线沿轴向下平移3个单位，则平移后直线与轴的交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，平移的规律“左加右减，上加下减”，也考查了一次函数图象上点的坐标特征．直接根据“上加下减”的平移规律求解平移后的直线的解析式，然后令，即可求得平移后直线与x轴的交点坐标． 【详解】解：直线沿轴向下平移3个单位后：， 即， 令，则， 解得， ∴平移后直线与x轴的交点坐标为， 故答案为：． 14. 若直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的交点坐标与方程组解的关系，掌握一次函数图象的交点坐标与方程组解的关系是解题关键．对于函数，，其图象的交点坐标中，的值是方程组的解．先求出的值，再根据一次函数图象交点坐标与方程组解的关系求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， ． 直线与直线相交于点， 关于、的方程组的解是． 故答案为：． 15. 如图，一束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，则点的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反射定律，全等三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数解析式，综合性较强，将知识综合运用是本题的关键． 延长交x轴于点D，利用反射定律，推出等角，从而证明得出，得到，得到，设的直线的解析式为，待定系数法求出解析式，并求出直线与y轴的交点坐标，即C点坐标． 【详解】解：延长交x轴于点D，如图所示： ∵由反射可知：， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，设的直线的解析式为， ∴， 解得， ∴的直线的解析式为， ∴当时，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点B的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的图形旋转以及点的坐标变换，解含有的直角三角形，勾股定理解三角形，解决本题的关键在于确定初始点B的坐标以及旋转的周期性． 本题可先求出点的初始坐标，再分析旋转的规律，进而求出第次旋转后点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，如图， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 根据勾股定理， 则， ∴点的坐标为， ∵绕点逆时针旋转，每次旋转，， ∴每旋转次为一个循环， ∵，其中是余数， 即第次旋转相当于经过了个完整的循环后，又旋转了次， 点初始坐标为， 旋转次后，即逆时针旋转了，此时点落在第三象限， 且与初始位置关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数， ∴此时点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（共11题，共117分，其中附加题15分） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的图形； （2）将向左平移5个单位长度得到，画出； （3）若P是线段上一点，经过上述两次变换后，线段上的对应点的横坐标为，则点P的坐标为 ． 【答案】（1）如图，即为所求作的三角形； （2）如图，即为所求作的三角形； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图和平移作图，求一次函数解析式，解题的关键是作出对应点，熟练掌握待定系数法． （1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，然后依次连接即可； （2）分别将点、、向左平移5个单位长度即可得到、、然后依次连接，并写出坐标即可； （3）先求出直线的解析式为：，得出点，根据将向左平移5个单位长度得到，得出点在上的对应点坐标为，即，根据轴对称得出点P坐标为：． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图形可知：点，， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴点， 将向左平移5个单位长度得到， ∴点在上的对应点坐标为，即， 点关于x轴的对称点坐标为：， ∴点P坐标为：． 【点睛】此题主要考查了三角形的翻折变换、平移变换，解题关键是在坐标系中找准关键点的对称点和对应点的位置． 18. 根据下列条件求函数表达式 （1）已知一次函数的图象经过点，，求这个一次函数的表达式． （2）已知一次函数的图象过点，并且是由一次函数的图象平移得到的，求该一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的表达式求解，涉及到待定系数法求一次函数表达式以及一次函数平移的性质． （1）利用待定系数法，设一次函数为，将点坐标代入一次函数解析式列出方程组求解即可； （2）由平移性质得斜率相同，则该一次函数表达式为，再代入点坐标求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：设一次函数为， 一次函数的图象经过点，， ， 解得， 这个一次函数的表达式为； 【小问2详解】 一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的， ，则该一次函数表达式为， 函数图象过点， ， 解得， 该一次函数的表达式为． 19. 某超市推出两种购物优惠方案：方案一，单笔消费满200元减50元；方案二，单笔消费打8折．设单笔消费金额为元（），分别写出两种方案的实付金额与的函数表达式，并说明当为何值时，两种方案的实付金额相同． 【答案】方案一： 方案二： 当时，两种方案的实付金额相同 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键； 根据题意列出方案一，方案二实付金额与的函数表达式，然后令两种方案的实付金额相同，即可求解． 【详解】解：方案一：当时，；当时，； ∴； 方案二：； ∵两种方案的实付金额相同， ∴， 解得，， ∴当时，两种方案的实付金额相同． 20. 某收割机的油箱加满油开始工作后，油箱中的剩余油量Q（）与工作时间t（）之间为一次函数关系，已知工作，时，油箱剩余油量分别为，． （1）求Q关于t的函数表达式； （2）求该收割机的油箱容量； （3）一箱油可供该收割机工作多长时间？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，其他问题(一次函数的实际应用)，求自变量的值或函数值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先设出Q关于t的函数表达式，再根据工作，时，油箱剩余油量分别为，，列出方程组求解即可； （2），取，求出Q即可； （3），取，求出t即可． 【小问1详解】 解：设Q关于t的函数表达式为， ∵工作，时，油箱剩余油量分别为，， ∴， 解得：， ∴Q关于t的函数表达式为； 【小问2详解】 ， 当时，， ∴该收割机的油箱容量为； 【小问3详解】 ， 当时， ， 解得：， ∴一箱油可供该收割机工作． 21. 在平面直角坐标系中，已知点，，点是轴上一点，且的面积是6． （1）求点的坐标： （2）若点在轴正半轴上．点A，B，C是一个平行四边形的三个顶点，直接写出第四个顶点D的坐标．（注：平行四边形不相连的边平行且相等） 【答案】（1）或 （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意设点的坐标为，则，再由点、的坐标求出的长，根据三角形的面积，可得，即，即可求解； （2）先由，，，求出线段，的长度，再分情况进行求解，即可解得点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，∵点是轴上一点， ∴设点的坐标为， ∴， ∵点，， ∴， ∵的面积是6， ∴, 即， 解得，， ∴点的坐标为或； 【小问2详解】 解：由（1）知点的坐标为或， ∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为， 设第四个顶点D的坐标为， ∵四边形为平行四边形， 当时， ∵，，， ∵， ∴， ∴点D的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴点D的坐标为， ∴综上可知，第四个顶点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，平行四边形的性质，点的坐标与图形的性质．解答本题关键要注意分两种情况进行求解． 22. 如图，公路上有A、B、C三个汽车站，一辆汽车8：00从离A站10km的P地出发，向C站匀速行驶，15min后离A站30km． （1）设出发x h后，汽车离A站y km，写出y与x之间的函数表达式； （2）当汽车行驶到离A站250km的B站时，接到通知要在12：00前赶到离B站60km的C站．汽车按原速行驶，能否准时到达？如果能，那么汽车何时到达C站？ 【答案】(1)函数表达式为；(2)如果按原速行驶，那么汽车11点45分到达C站. 【解析】 【详解】试题分析：1）首先根据15分钟后离A站30千米，求得汽车每小时的速度，再根据路程=速度×时间，进行分析； （2）根据（1）中的函数关系式求得x的值，即可分析汽车若按原速能否按时到达． 试题解析：（1）汽车匀速前进的速度为：=80（千米/时），故y=80x+10． （2）当y=250+60=310时， 80x+10=310， 解得x=3.75（小时）， ∵0.75×60=45（分钟） ∴8时+3时45分=11时45分，即11点45分到达C站. 考点：一次函数的应用. 23. 小明骑车从学校去市图书馆借书，然后按原速度原路返回学校，小丽从学校和图书馆之间的文具店出发，沿与小明相同的路线，步行前往图书馆，两人距学校的路程关于时间的函数图象如图所示． （1）小丽的速度是多少？ （2）小明、小丽途中相遇了几次？相遇时，他们距离学校多远？ （3）小丽与小明之间相距的路程为时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）相遇两次，相遇时距离学校或 （3）当的值为时，小丽与小明之间相距的路程为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，包含一次函数的图象，一次函数解析式的求解，解决本题的关键在于根据图象确定两人的运动状态，通过建立函数关系式来解决问题． （1）根据函数图象可求解小丽行走的路程与时间，结合速度、路程和时间的关系来求解即可； （2）根据函数图象所提供的信息，分别求解出小明和小丽的函数解析式，再结合速度、路程和时间的关系来求解即可； （3）根据小明与小丽对应的函数解析式，列式求解的值． 【小问1详解】 解：由图象可知，小丽的初始位置距离学校，之后距离学校， ∴小丽行走的路程为， ∴小丽的速度为：； 【小问2详解】 解：根据图象可知，小明的行程对应的函数为： 当时，设函数为， ∵点在函数图象上， ∴，解得，此时函数为； 当时，函数为； 当时，设函数为， ∵点与点在函数图象上， ∴，解得，此时函数为； 小丽对应的函数为：设函数为， ∵点与点在函数图象上， ∴，解得，此时函数为； 第一次相遇，即时， ∴可得，解得， 第二次相遇，即时， ∴可得，解得， 综上，相遇两次，相遇时距离学校或； 【小问3详解】 解：当小丽与小明之间相距的路程为时， ，解得； ，解得； ，解得； ，解得； 综上，当的值为时，小丽与小明之间相距的路程为． 24. 学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． （1）在平面直角坐标系中，画出函数的图象； ①列表：完成表格 x … 0 1 2 3 … y … ②画出的图象； （2）结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质； （3）直接写出函数与图象的平移关系； （4）求出函数与函数的交点坐标． 【答案】（1）①3，2，1，0，1，2，3； ②如图所示： （2）①的图象位于第一、二象限，在第一象限y随x的增大而增大，在第二象限y随x的增大而减小，②函数有最小值，最小值为0 （3）函数图象向右平移2个单位得到函数图象 （4）两个函数图象有公共交点，其交点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了描点法画一次函数图象的方法，一次函数的图象的运用，一次函数的性质以及一次函数图象的几何变换． （1）把的值代入解析式计算即可； （2）根据图象所反映的特点写出即可； （3）根据函数的对应关系即可判定． （4）根据图象可知图象交点在第一象限，联立方程组即可求出交点坐标． 【小问1详解】 解：①填表如下： 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 故答案为：3，2，1，0，1，2，3； ② 略 【小问2详解】 解：①的图象位于第一、二象限，在第一象限随的增大而增大，在第二象限随的增大而减小，②函数有最小值，最小值为0； 【小问3详解】 解：函数图象向右平移2个单位得到函数图象． 【小问4详解】 如图画出和，根据图象可知图象交点在第一象限，联立方程组即可求出交点坐标： 由两函数解析式组成方程组得： ， 解得： 两个函数图象有公共交点，其交点坐标为． 25. 已知关于x的一次函数，解决下列问题： （1）如果这个函数的图象经过原点，求m的值． （2）不论m取何值，的图象一定经过某个定点，求这个点的坐标． （3）在坐标系中，点，如果此坐标系中，函数的图象与线段有交点，求m的取值范围，并求m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3）的取值范围为，m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积为21 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何的综合题，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． （1）由一次函数的图象经过原点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）将变形为，代入可求出，进而可得出不论取何实数这个函数的图象都过定点； （3）先求出直线的解析式为．再求出直线的解析式为．直线的解析式为，再通过数形结合求解即可． 【小问1详解】 解：将原点代入函数， 得， 解得； 【小问2详解】 解：函数变形为， 当，即时，与无关， 所以图象一定经过定点； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为．可得 ，解得， 直线的解析式为．函数恒过定点， 设过点的直线与线段相交．当直线经过点时，的值最大；经过点时，的值最小． 设直线的解析式为．可得 ，解得， 直线的解析式为． 设直线的解析式为．可得 ，解得， 直线的解析式为． 所以的取值范围是． 当时，函数为， 当时，函数为， ∴函数与函数的图象和线段所围成的三角形为， 令，得，解得， 设函数为与轴交于点C，则． ， ． 综上，的取值范围为；m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积为21． 26. 【构建模型】 （1）如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为腰在第一象限作等腰直角，，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． （2）求（1）中点C的坐标，并求出直线的函数表达式． 【模型应用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数表达式． （4）如图3，图1中的B点是y轴上的一个动点，A点保持不变，连接，在点B的运动过程当中，直接写出线段与的和的最小值为 ． 【答案】（1），；（2），直线解析式为；（3）；（4）． 【解析】 【分析】本题是一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理． （1）当时，，当时，，即可求解； （2）过点作直线于，由可得，可得，，即可得到；再设直线解析式为，代入，求出直线解析式即可； （3）过点作，交直线于，过点作轴于，先证明，得到，，即可得到，设直线解析式为，代入，计算即可； （4）根据全等三角形的判定和性质得到点C在直线上运动，作A关于直线的对称点，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，， 当时，， ∴点，点， 故答案为：，； （2）如图，过点作直线于， ∴， ∴， ∴， 又∵等腰直角，， ∴， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴， ∴点； 设直线解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线解析式为； （3）由（1）可得直线与轴交于点，与轴交于点， 过点作，交直线于，过点作轴于， ∴， ∴， ∴， 又∵将直线绕点顺时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线解析式为； （4）如图，当B在x轴上方时，过点作轴于， 同理由（2）可得， ∴， 如图，当B在x轴下方时， 同理可得， 即点C在直线上运动， 作A关于直线的对称点，则 可知， 连接， ∴， 则与的和的最小值为 故答案为：． 附加题 27. 如图，在平面直角坐标系内，等边的顶点，，于点H，点D为线段上一点，把点D绕点C逆时针旋转至点E． （1）点D从A到H运动的过程中，点E运动的路线长为 ； （2）若点E的坐标为，则y关于x的函数表达式为 ； （3）点D运动过程中，的最小值为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解含有的直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，函数解析式的求解，解决本题的关键是添加合适的辅助线，构造全等三角形转化边的关系． （1）添加辅助线，证明与全等，由此可得，即可得点E运动的路线长； （2）根据解含有的直角三角形，结合勾股定理求解并注明x的取值范围即可； （3）添加辅助线构造等边三角形，证明与全等，可得结论当点B，点D，点G三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵是绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点E运动的路线长即为点D运动的路线长，即为的长度， ∵， ∴，且， 在中，， ∴点E运动的路线长为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可知，点E在线段上运动， ∵点E的坐标为， ∴，， 过点E作交于点F，如图， 由（1）知，， ∴， ∴，，则， 在中，， 即，整理可得， ∵，， ∴， ∵当点D与点H重合时，过点E作交于点F，如图， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴此时点E的坐标为， ∴， 则y关于x的函数表达式为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：以为边作等边，连接，， 过点G作轴于点K，如图， ∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当点B，点D，点G三点共线时，最小，为的长度， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $