精品解析：吉林吉林市第二十三中学2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

吉林市第二十三中学2026—2027学年度九上期中教学质量检测 数学试卷 一、选择题（共计6小题，每小题3分，共计18分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，再作出判断． 【详解】解：，当时，不是关于x的一元二次方程，故A不符合； 中含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故B不符合； 是关于x的一元二次方程，故C符合； 中分母含有字母，不是关于x的一元二次方程，故D不符合， 故选：C． 2. 已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴． 3. 河东东，海营营是东营这座美丽城市的形象代言人．体现“黄河入海，生态东营”的内涵，两幅图成中心对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线平移的左加右减、上加下减规律求解． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，得；再向上平移2个单位，得，即． 5. 已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“总盈利每盆总株数平均单株盈利”，分别表示出每盆总株数和平均单株盈利，即可列出方程． 【详解】解：设每盆多植株， ∵原来每盆植3株， ∴现在每盆总株数为株， ∵每增加1株，平均每株盈利减少元， ∴增加株后，平均单株盈利为元， ∵要求每盆盈利达到20元， ∴列出方程为 ． 6. 下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可知二次函数值在之间由负变为正，那么对应的一元二次方程的一个解也属于这个范围，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在之间，二次函数的函数值由负变正， ∴方程的一个解x的范围是， 故选：C． 二、填空题（共计5小题，每小题3分，共计15分） 7. 已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，横纵坐标均互为原坐标的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，关于原点对称的点的横、纵坐标分别是原横、纵坐标的相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 8. 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，请写出一个符合题意的k的值______． 【答案】0（答案不唯一，满足k<1即可）． 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得到k-1＜0，然后取k<1即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴k-1＜0， ∴k<1 故k=0 故答案为：0（答案不唯一，满足k<1即可）． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数中的几何意义，过图象上任意一点作坐标轴的垂线，该点与垂足及原点构成的三角形面积等于，代入即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 轴于点， ， ． 10. 抛物线与轴交于两点，分别是，，则的值为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】抛物线与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的实数根，已知其中一个交点的横坐标为-1，可通过根与系数的关系求解另一交点的横坐标m． 【详解】解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，可得一元二次方程的两个实数根为和， ∵该方程中二次项系数，一次项系数， ∴根据根与系数的关系，两根之和为， 即， ∴． 11. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为______ 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意的纵坐标为， 把代入， 得 ， ，， ． 故答案为：8． 三、解答题（共计11小题，共计87分） 12. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 13. 已知二次函数的图像顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 【点睛】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求． 14. 如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B顺时针方向旋转，得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，勾股定理． （1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得 的度数； （2）根据旋转的性质可知，，，，根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理即可得的长． 【小问1详解】 解：∵为等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可知， ∴； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知：，，， ∵，， ∴ ∵，， ∴． 15. 如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心处竖直放置一根水管，在水管的顶端处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点到池中心的距离为8米． （1）写出水柱离水面（轴）的最大高度，并求水管的长度； （2）若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯，且景观射灯的顶端恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离． 【答案】（1）5米， （2）7米 【解析】 【分析】（1）将点B的坐标代入求出解即可； （2）将代入关系式即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得水柱离水面的最大高度是5米， 将点代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 所以水管的长度是米； 【小问2详解】 解：根据题意，令， 则， 解得（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， 所以景观射灯与池中心的水平距离为7米． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于原点中心对称的，请画出，并直接写出点的坐标． （2）利用无刻度直尺在网格中确定一点，使得交于点． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，点的坐标为． （2） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，中心对称图形的画法，平移的性质，正确掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据关于原点对称点的坐标特征，将点、、的横纵坐标分别乘以，得到对应点、、的坐标，然后顺次连接即可． （2）将点往右平移4格得到点，再向上一格得到点，将点往下4格，得到点，连接，可证明，那么，接着推出，然后再把向左平移2个单位，再向下3个单位长度，得到点，此时，连接交点，则，根据全等三角形的性质与判定，结合平行线的性质即可确定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，，求的值． 【答案】（1）证明： ， ∵，，， ∴． ， ，即， 无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，解答即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是原方程的两根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 18. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】（1）上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 （2）本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【小问1详解】 解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； 【小问2详解】 解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 19. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求的面积； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，直接写出此时点的坐标； （3）点为轴下方抛物线上一动点，当时，直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1）6 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再求出，即可得出答案； （2）根据点A关于对称轴的对称点是B，可知，根据两点之间线段最短连接交对称轴于点P，再求出直线的关系式，然后令可得答案； （3）设点Q的坐标，再根据面积相等得出答案． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点； 当时，， 解得， ∴点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴是， ∴点A关于对称轴的对称点是B， ∴， 根据两点之间线段最短，可知连接交对称轴于点P，此时的值最小， 设直线的关系式为，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点； 【小问3详解】 解：设Q的坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点或． 20. 如图，在中，，，，动点E从点C出发，沿CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动．将线段CE绕点C顺时针旋转120°，得到线段CF，以CE、CF为邻边作，与重合部分面积为S．当点E与点A重合时停止运动，设点E的运动时间为t秒． （1）求BC的长； （2）当点D落在AB边上时，求t的值； （3）当重合部分是四边形时，求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1） 在中，利用和，由三角函数或勾股定理求． （2） 由旋转和平行四边形性质证明为等边三角形，得，进而判定为含角的直角三角形，求出即得． （3）先证明恒为等边三角形，再分两种情况讨论：当时，重合部分为直角梯形，利用梯形面积公式求解；当时，重合部分为四边形，利用求解；当时重合部分为五边形，舍去． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ． 【小问2详解】 解：连， 由题意得， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ， ， 平行四边形中，， 是等边三角形， ， 在中，， ， ， 在中，， 是等边三角形， ， ． 【小问3详解】 解：由(2)知，是等边三角形， ， 点在上， ， 四边形中，， ， 过点作于点， 是等边三角形， 为的中点， ，， ，， ， 又， 四边形是矩形， ，， 当时，点在内部（或边界上）， 此时重合部分为四边形， ， 当时，， 此时，，点B在上，此时，与重合部分为四边形， 当时，点在上方，且， 此时重合部分为五边形，不符合题意，舍去， 当时，点在上方，且， 设与交于点， 在中，，， ， ， 过点H作于点L， ， ， ． 21. 【问题呈现】某同学在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题；如图①，，分别是正方形的，边上的动点，连接，和，．若，，试求的长度． 【问题解决】该同学的思路是：如图②，将绕点逆时针旋转，可以得出和全等，然后再证明，从而得到．请你帮助该同学完成余下的解题过程． ∵是绕点逆时针旋转得到的， ∴．，，． ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴、、在同一直线上， …… （1）补全上述解题过程； 【方法应用】 （2）如图③，在中，，，点，在边上，且．若，，则线段的长为____________； 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，于点．若，，则的面积为____________． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】[问题解决] 将绕点逆时针旋转，证、、共线，再证求解． [方法应用] 将绕点逆时针旋转，构造用勾股定理求，再证得． [拓展提升] 将绕点逆时针旋转，证四边形为正方形，再证得，在中列勾股定理方程求． 【小问1详解】 解：∵是绕点逆时针旋转得到的， ∴．，，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴、、在同一直线上， ． ， ， ． 在和中， ，，， ， ． 【小问2详解】 解：将绕点逆时针旋转得到，连接． 在中，，， ． 旋转， ，，，． ． ， ， ． 在和中， ，，， ， ． 在中，，，， ， ． 【小问3详解】 解：将绕点逆时针旋转得到，延长交于点E，连接， ， ． 旋转， ，，，，． ，，， 四边形是矩形． 又， 四边形是正方形， ，． ， ． 旋转，． 在和中， ，，， ， ． ， ． 设，则正方形的边长为． ，． 在中，， ， ， 或（不合题意，舍去）， ． ． 22. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）当时，y的取值范围是______； （3）当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ （4）当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的图象与性质等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，根据函数图象开口向下得到离对称轴越远函数值越大，据此可确定最小值，进而可得答案； （3）当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，据此分别建立方程求解即可； （4）求出直线分别经过点C，点P和抛物线的顶点时m的值，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 在中，当时， ∵， ∴当时，函数的最小值为，最大值为9，即； 【小问3详解】 解：解：由（2）得抛物线的顶点坐标为， 在中，当时，，解得或， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或， ∴时，图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得（舍去）， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为； 【小问4详解】 解：当直线恰好经过点C时， 则时， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点，如图： 当直线恰好经过点P时， 则， 解得或（舍去）， 此时图象与直线有且只有两个公共点，如图： 当直线恰好经过抛物线的顶点时， 则， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点； 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得（舍去）， 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得； 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第二十三中学2026—2027学年度九上期中教学质量检测 数学试卷 一、选择题（共计6小题，每小题3分，共计18分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 河东东，海营营是东营这座美丽城市的形象代言人．体现“黄河入海，生态东营”的内涵，两幅图成中心对称的是（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A. B. C. D. 二、填空题（共计5小题，每小题3分，共计15分） 7. 已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 8. 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，请写出一个符合题意的k的值______． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接，则____________． 10. 抛物线与轴交于两点，分别是，，则的值为____________． 11. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为______ 三、解答题（共计11小题，共计87分） 12. 解方程：； 13. 已知二次函数的图像顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 14. 如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B顺时针方向旋转，得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 15. 如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心处竖直放置一根水管，在水管的顶端处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点到池中心的距离为8米． （1）写出水柱离水面（轴）的最大高度，并求水管的长度； （2）若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯，且景观射灯的顶端恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于原点中心对称的，请画出，并直接写出点的坐标． （2）利用无刻度直尺在网格中确定一点，使得交于点． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，，求的值． 18. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 19. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求的面积； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，直接写出此时点的坐标； （3）点为轴下方抛物线上一动点，当时，直接写出符合条件的点的坐标． 20. 如图，在中，，，，动点E从点C出发，沿CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动．将线段CE绕点C顺时针旋转120°，得到线段CF，以CE、CF为邻边作，与重合部分面积为S．当点E与点A重合时停止运动，设点E的运动时间为t秒． （1）求BC的长； （2）当点D落在AB边上时，求t的值； （3）当重合部分是四边形时，求S与t之间的函数关系式． 21. 【问题呈现】某同学在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题；如图①，，分别是正方形的，边上的动点，连接，和，．若，，试求的长度． 【问题解决】该同学的思路是：如图②，将绕点逆时针旋转，可以得出和全等，然后再证明，从而得到．请你帮助该同学完成余下的解题过程． ∵是绕点逆时针旋转得到的， ∴．，，． ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴、、在同一直线上， …… （1）补全上述解题过程； 【方法应用】 （2）如图③，在中，，，点，在边上，且．若，，则线段的长为____________； 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，于点．若，，则的面积为____________． 22. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）当时，y的取值范围是______； （3）当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ （4）当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $