精品解析：天津市第四十五中学2025-2026学年高二上学期第三次考查数学试卷

2025-2026学年度第一学期高二年级数学学科第三次考查 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 若数列－1，a，b，c，－9是等比数列，则实数b的值为（ ） A. －5 B. －3 C. 3 D. 3或－3 7. 如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图所示，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A. 440 B. 330 C. 220 D. 110 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知抛物线的AB弦过它的焦点，直线AB的斜率为1，则弦AB的长为______. 11. 已知为等比数列的前项和，，，则的值为______． 12. 已知是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为,那么的值为________． 13. 已知数列满足，且，则_____ 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 15. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______. 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． （1）准线方程为； （2）焦点在直线上． 17. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 18. 记为正项等比数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 20. 已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二年级数学学科第三次考查 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 2. 若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的渐近线方程求出，进而求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意，，所以双曲线的离心率为. 故选：B 3. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程. 【详解】， 抛物线的准线方程为， 即，故选A . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题. 4. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差. 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 联立，解得. 故选：C. 5. 已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】因为点在抛物线上，，解得， 利用抛物线的定义知 故选：D 6. 若数列－1，a，b，c，－9是等比数列，则实数b的值为（ ） A. －5 B. －3 C. 3 D. 3或－3 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解． 【详解】由题意，又数列的奇数项同号，即，所以． 故选：B． 7. 如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及图象可得，结合已知条件求得，即可. 【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、， 设，则由已知得，由抛物线的定义得， 故， 在直角三角形中，，， 又因为， 则，从而得， 又因为， 所以. 故选：B. 8. 如图所示，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨令，利用勾股定理可得，根据双曲线的定义可求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出，再根据双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】， 不妨令， 又由双曲线的定义得， ， ， 在中，， 又. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 9. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A. 440 B. 330 C. 220 D. 110 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，数列如下： 则该数列的前项和为 ， 要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设， 所以，则，此时， 所以对应满足条件的最小整数，故选A. 点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知抛物线的AB弦过它的焦点，直线AB的斜率为1，则弦AB的长为______. 【答案】8 【解析】 【分析】由抛物线以及直线的方程，联立方程组，由韦达定理结合抛物线的定义求解即可． 【详解】设,，,，抛物线的焦点为点，准线方程为， 则直线AB方程为如图： 由方程组得：，则：； 设，到准线的距离分别为，； 由抛物线定义可知； 即弦的长为8． 故答案为：8． 11. 已知为等比数列的前项和，，，则的值为______． 【答案】40 【解析】 【分析】可结合等比推论也成等比数列直接求解 【详解】因为数列为等比数列，所以也成等比数列， 即也成等比数列，解得，， 即 故答案为：40 12. 已知是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为,那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合双曲线定义化简即可得到结果. 【详解】由双曲线方程知，，由双曲线的定义得，①，②，①+②得，. 故答案为：． 13. 已知数列满足，且，则_____ 【答案】1011 【解析】 【分析】化简的递推关系，可以判定为常数列，从而求得的通项公式，进而求出 【详解】因为 所以 所以 所以数列为常数列 又 所以 所以 所以 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 15. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出，由此能求出的最小值． 【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为， 令在双曲线的右支上， 由双曲线的定义， 由椭圆定义， 可得，， 又， ， 可得， 得， 即， 可得， 则 ， 当且仅当，上式取得等号， 可得的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用． 三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． （1）准线方程为； （2）焦点在直线上． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）设抛物线的方程为，由，求得，即可求出物线的标准方程； （2）分别令或，求出抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线的标准方程． 【小问1详解】 准线方程为，即，故抛物线的焦点在轴的正半轴上， 设其方程为． ，故所求抛物线的标准方程为． 【小问2详解】 令得；令得． 抛物线的焦点为或， 所求抛物线的标准方程为或． 17. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程； （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案. 【小问1详解】 由已知，， 又，则， 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 由，得， 则， 设，，则，， 所以. 18. 记为正项等比数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设正项等比数列的公比为，根据可构造方程求得，根据求得，进而求得的通项公式； （2）由（1）可得，采用错位相减法即可求得结果. 【小问1详解】 设正项等比数列的公比为， 因为，所以，所以． 又， 解得． 所以． 【小问2详解】 由题知， 所以， ， 两式相减得． 所以． 19. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项公式和求和公式列方程组求得，，即可求解通项公式； （2）由（1）得，所以，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可知， 解得，，故； 【小问2详解】 由（1）得，所以， 数列的前项和为. 20. 已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：因为，所以， 所以当时，； 当时， ， 综上可得. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意可得，对于取，即可求出、，从而求出通项公式； （2）①首先求出，即可得到，从而求出其前20项和；②由，分及两种情况讨论，当时利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，得，即， 由，取，得，即， 解得，，所以； 【小问2详解】 ①由（1）知，，所以， 因为， 所以，所以的前20项和为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $